酉阳土家族苗族自治县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题

班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 底面为矩形的四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的表面上，且O在底面ABCD内，PO⊥平面ABCD，当四棱锥P-ABCD的体积的最大值为18时，球O的表面积为（ ） A．36π C．60π

在直线方程为（ ）

A．xy60 B．xy60 C．xy60 D．xy60 3． 设i是虚数单位，若z=cosθ+isinθ且对应的点位于复平面的第二象限，则θ位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4． 如图，已知双曲线

﹣

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，P是双曲线右支上一点，B．48π D．72π

2． 若动点A(x1,y1)、B(x2,y2)分别在直线： xy110和l2：xy10上移动，则AB中点M所

直线PF2交y轴于点A，△AF1P的内切圆切边PF1于点Q，若|PQ|=1，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A．y=±x B．y=±3x C．y=±x D．y=±x

mn2

5． 设m，n是正整数，多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为﹣16，则含x项的系数是（ ） A．﹣13 B．6 C．79 D．37 6． 若等边三角形ABC的边长为2，N为AB的中点，且AB上一点M满足CMxCAyCB， 则当

14取最小值时，CMCN（ ） xy22A．6 B．5 C．4 D．3 7． 已知向量a(m,2)，b(1,n)（n0），且ab0，点P(m,n)在圆xy5上，则

|2ab|（ ）

A．34 B． C．42 D．32 第 1 页，共 16 页

8． 下列四个命题中的真命题是（ ）

A．经过定点P0x0,y0的直线都可以用方程yy0kxx0表示

B．经过任意两个不同点P1x1,y1、P2x2,y2的直线都可以用方程yy1x2x1xx1y2y1 表示

xy1表示 abD．经过定点A0,b的直线都可以用方程ykxb表示

C．不经过原点的直线都可以用方程9． 函数f（x）=ax2+bx与f（x）=log

x（ab≠0，|a|≠|b|）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）

A． B． C．

D．

10．已知A,B是球O的球面上两点，AOB60，C为该球面上的动点，若三棱锥OABC体积的最大值为183，则球O的体积为（ ）

A．81 B．128 C．144 D．288

【命题意图】本题考查棱锥、球的体积、球的性质，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力、方程思想、运算求解能力．

二、填空题

11．已知圆C的方程为xy2y30，过点P1,2的直线与圆C交于A,B两点，若使AB

22最小则直线的方程是 ．

12．一个算法的程序框图如图，若该程序输出的结果为，则判断框中的条件i＜m中的整数m的值是 ．

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13．在（x2﹣）9的二项展开式中，常数项的值为 ．

14．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若△ABC不是直角三角形，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）

①tanA•tanB•tanC=tanA+tanB+tanC ②tanA+tanB+tanC的最小值为3

③tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数 ④若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则A=45° ⑤当

tanB﹣1=

2

时，则sinC≥sinA•sinB．

15．已知数列{an}满足an+1=e+an（n∈N*，e=2.71828）且a3=4e，则a2015= ．

16．函数的值域是 ．

三、解答题

17．若已知

18．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上． （1）求证：平面AEC⊥平面PDB； （2）当PD=

AB，且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．

，求sinx的值．

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19．在数列（Ⅰ）当

中，时，求

，使

，

的值；

构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； ，使得

．

，其中

，

．

（Ⅱ）是否存在实数（Ⅲ）当

时，证明：存在

20．（本小题满分12分）

在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，(31)acosB2bcosAc， （Ⅰ）求

tanA的值； tanB6，B（Ⅱ）若a

4，求ABC的面积．

21．（本小题满分14分）

设函数f(x)axbx1cosx，x0,（其中a，bR）.

22（1）若a0，b1，求f(x)的单调区间； 2第 4 页，共 16 页

（2）若b0，讨论函数f(x)在0,上零点的个数.

2【命题意图】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，最值、通过研究函数图象与性质，讨论函数的零点个数，考查考生运算求解能力、转化能力和综合应用能力，是难题.

22．直三棱柱ABC﹣A1B1C1 中，AA1=AB=AC=1，E，F分别是CC1、BC 的中点，AE⊥ A1B1，D为棱A1B1上的点． （1）证明：DF⊥AE；

（2）是否存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为若不存在，说明理由．

？若存在，说明点D的位置，



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酉阳土家族苗族自治县实验中学2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题（参） 一、选择题

1． 【答案】

【解析】选A.设球O的半径为R，矩形ABCD的长，宽分别为a，b， 则有a2＋b2＝4R2≥2ab，∴ab≤2R2，

1

又V四棱锥P－ABCD＝S矩形ABCD·PO

3

12＝abR≤R3. 332

∴R3＝18，则R＝3， 3

∴球O的表面积为S＝4πR2＝36π，选A. 2． 【答案】D 【解析】

考

点：直线方程 3． 【答案】B

【解析】解：∵z=cosθ+isinθ对应的点坐标为（cosθ，sinθ）， 且点（cosθ，sinθ）位于复平面的第二象限， ∴故选：B．

【点评】本题考查复数的几何意义，考查三角函数值的符号，注意解题方法的积累，属于中档题．

4． 【答案】D

【解析】解：设内切圆与AP切于点M，与AF1切于点N， |PF1|=m，|QF1|=n，

由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，即有m﹣（n﹣1）=2a，① 由切线的性质可得|AM|=|AN|，|NF1|=|QF1|=n，|MP|=|PQ|=1， |MF2|=|NF1|=n， 即有m﹣1=n，②

，∴θ为第二象限角，

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由①②解得a=1， 由|F1F2|=4，则c=2， b=由双曲线

=﹣

，

=1的渐近线方程为y=±x，

x．

即有渐近线方程为y=故选D．

【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查切线的性质，运用对称性和双曲线的定义是解题的关键．

5． 【答案】 D

【解析】

二项式系数的性质． 【专题】二项式定理．

（﹣2）+

（﹣5）=﹣16，

【分析】由含x一次项的系数为﹣16利用二项展开式的通项公式求得2m+5n=16 ①．，再根据m、n为正整

2

数，可得m=3、n=2，从而求得含x项的系数．

mn

【解答】解：由于多项式（1﹣2x）+（1﹣5x）中含x一次项的系数为

可得2m+5n=16 ①．

再根据m、n为正整数，可得m=3、n=2， 故含x项的系数是

2

2

（﹣2）+

2

（﹣5）=37，

故选：D． 6． 【答案】D 【解析】

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．

BACACB；MkBA试题分析：由题知BMCMCBxCA(y1)CB，设B可得xy1，当

，则xk,y1k，

14y4x14144xy取最小值时，xy5时取到，此，最小值在xyxyxyxyyx第 7 页，共 16 页

时y211,x，将CMxCAyCB,CNCACB代入，则3322211xy12CMCNxCAyCBCACB3xy33.故本题答案选D.

22233考点：1.向量的线性运算；2.基本不等式． 7． 【答案】A 【解析】

考点：1、向量的模及平面向量数量积的运算；2、点和圆的位置关系. 8． 【答案】B 【解析】

考

点：直线方程的形式.

【方法点晴】本题主要考查了直线方程的表示形式，对于直线的点斜式方程只能表示斜率存在的直线；直线的斜截式方程只能表示斜率存在的直线；直线的饿两点式方程不能表示和坐标轴平行的直线；直线的截距式方程不能表示与坐标轴平行和过原点的直线，此类问题的解答中熟记各种直线方程的局限性是解答的关键.111] 9． 【答案】 D

＞0，则

，不符合对数的底数范围，B不正确； ，则

，所以f（x）=log ，则

，所以f（x）=log

x在定义

，不符合对数的底数范围，A不正确；

2

【解析】解：A、由图得f（x）=ax+bx的对称轴x=﹣

＞0，则，由图得

，由图得

B、由图得f（x）=ax2+bx的对称轴x=﹣C、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=函数，C不正确；

x在定义域上是增

D、由f（x）=ax2+bx=0得：x=0或x=域上是减函数，D正确．

【点评】本题考查二次函数的图象和对数函数的图象，考查试图能力．

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10．【答案】D

【解析】当OC平面AOB平面时，三棱锥OABC的体积最大，且此时OC为球的半径．设球的半径为R，则由题意，得Rsin60R183，解得R6，所以球的体积为

1132243R288，故选D． 3二、填空题

11．【答案】xy30 【解析】

试题分析：由圆C的方程为xy2y30，表示圆心在C(0,1)，半径为的圆，点P1,2到圆心的距

22离等于2，小于圆的半径，所以点P1,2在圆内，所以当ABCP时，AB最小，此时

kCP1,k11，由点斜式方程可得，直线的方程为y2x1，即xy30.

考点：直线与圆的位置关系的应用. 12．【答案】 6 ．

【解析】解：第一次循环：S=0+第二次循环：S=+第三次循环：S=+第四次循环：S=+第五次循环：S=+故答案为：6．

【点评】本题考查程序框图，尤其考查循环结构．对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律．本题属于基础题

13．【答案】 84 ．

29

【解析】解：（x﹣）的二项展开式的通项公式为 Tr+1=

=，i=1+1=2；

=，i=2+1=3； =，i=3+1=4； =，i=4+1=5；

=，i=5+1=6；输出S，不满足判断框中的条件；

∴判断框中的条件为i＜6？

•（﹣1）r•x18﹣3r，

令18﹣3r=0，求得r=6，可得常数项的值为T7=故答案为：84．

==84，

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．

14．【答案】 ①④⑤

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【解析】解：由题意知：A≠

，B≠

，C≠

，且A+B+C=π

∴tan（A+B）=tan（π﹣C）=﹣tanC， 又∵tan（A+B）=

，

∴tanA+tanB=tan（A+B）（1﹣tanAtanB）=﹣tanC（1﹣tanAtanB）=﹣tanC+tanAtanBtanC， 即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，故①正确； 当A=

，B=C=

时，tanA+tanB+tanC=

＜3

，故②错误；

若tanA，tanB，tanC中存在两个数互为倒数，则对应的两个内角互余，则第三个内角为直角，这与已知矛盾，故③错误；

3

由①，若tanA：tanB：tanC=1：2：3，则6tanA=6tanA，则tanA=1，故A=45°，故④正确；

当tanB﹣1=

，

时， tanA•tanB=tanA+tanB+tanC，即tanC= ，C=60°，

2

此时sinC=

sinA•sinB=sinA•sin=sinA•（120°﹣A）（cos2A=

sin（2A﹣30°）

≤

，

cosA+sinA）=sinAcosA+

sin2A=

sin2A+﹣

2

则sinC≥sinA•sinB．故⑤正确；

故答案为：①④⑤

【点评】本题以命题的真假判断为载体，考查了和角的正切公式，反证法，诱导公式等知识点，难度中档．

15．【答案】 2016 ．

【解析】解：由an+1=e+an，得an+1﹣an=e， ∴数列{an}是以e为公差的等差数列， 则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e． 故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

16．【答案】 [0，3] ．

2

【解析】解：令t=5+4x﹣x，由二次函数的图象与性质可得：该函数的最大值为9 要使函数的解析式有意义，t≥0

2

故0≤5+4x﹣x≤9，

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故0≤故函数

故答案为：[0，3]

≤3

的值域是[0，3]

三、解答题

17．【答案】 【解析】解：∵∴sin（

）=﹣

）﹣

=﹣

]=sin（

．

，∴

＜

＜2π，

）sin

=﹣． ）cos

﹣cos（

∴sinx=sin[（x+=﹣

﹣

【点评】本题考查了两角和差的余弦函数公式，属于基础题．

18．【答案】 【解析】（Ⅰ）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD， ∵PD⊥底面ABCD，

∴PD⊥AC，∴AC⊥平面PDB， ∴平面AEC⊥平面PDB．

（Ⅱ）解：设AC∩BD=O，连接OE， 由（Ⅰ）知AC⊥平面PDB于O， ∴∠AEO为AE与平面PDB所的角， ∴O，E分别为DB、PB的中点， ∴OE∥PD，

，

，

又∵PD⊥底面ABCD， ∴OE⊥底面ABCD，OE⊥AO， 在Rt△AOE中，

∴∠AEO=45°，即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．

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【点评】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．

19．【答案】

【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】（Ⅰ）（Ⅱ）即

，

将

，

，成等差数列，

， ，即

．

代入上式， 解得的公差不为0． ，使

，

令， ，

……

，

将上述不等式相加，得 取正整数20．【答案】

【解析】（本小题满分12分）

，就有

，即

．

．

构成公差不为0的等差数列．

, ． ．

，

．

，

经检验，此时存在（Ⅲ）又 由

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解： （Ⅰ）由(31)acosB2bcosAc及正弦定理得

(31)sinAcosB2sinBcosAsinCsinAcosB+cosAsinB， （3分）

tanA∴3sinAcosB3sinBcosA，∴3（6分）

tanB（Ⅱ）tanA3tanB3，A3，basinB42， （8分） sinAsin36sin62， （10分） 411621(33)（12分） ∴ABC的面积为absinC622242sinCsin(AB)21．【答案】

【解析】（1）∵a0，b∴f(x)1， 211（2分） x1cosx，f(x)sinx，x0,.

222令f(x)0，得x.

6当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，

662所以f(x)的单调增区间是,，单调减区间是0,. （5分）

626第 13 页，共 16 页

若

110，0，则f()a又f()f(由零点存在定理，00,，使f(0)0)a，10，

222所以f(x)在(0,0)上单调增，在0,上单调减.

22a1. 又f(0)0，f()24214a10，此时f(x)在0,上有两个零点； 故当a2时，f()2422241a10，此时f(x)在0,上只有一个零点. 当2a时，f()242第 14 页，共 16 页

22．【答案】

【解析】（1）证明：∵AE⊥A1B1，A1B1∥AB，∴AE⊥AB， 又∵AA1⊥AB，AA1⊥∩AE=A，∴AB⊥面A1ACC1， 又∵AC⊂面A1ACC1，∴AB⊥AC，

以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系A﹣xyz，

则有A（0，0，0），E（0，1，），F（，，0），A1（0，0，1），B1（1，0，1）， 设D（x，y，z），则 D（λ，0，1），所以∵

=（0，1，），∴

•=（=

且λ∈，即（x，y，z﹣1）=λ（1，0，0），

，，﹣1）， =0，所以DF⊥AE；

．

（2）结论：存在一点D，使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为理由如下：

设面DEF的法向量为=（x，y，z），则∵

=（

，，），

=（

，﹣1），

，

∴，即，

令z=2（1﹣λ），则=（3，1+2λ，2（1﹣λ））． 由题可知面ABC的法向量=（0，0，1）， ∵平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为∴|cos＜，＞|=

=

，即

，

=

，

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解得或（舍），所以当D为A1B1中点时满足要求．

【点评】本题考查空间中直线与直线的位置关系、空间向量及其应用，建立空间直角坐标系是解决问题的关键，属中档题．

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