专题训练(三) 不规则图形面积的五种求法
求与圆有关的面积时，有时候可以直接运用公式求出，但大多数都要通过转化后再求其面积，常用的方法有：作差法、等积变形法、平移法、割补法等．
► 类型一 利用“作差法”求面积
1．如图3－ZT－1，在⊙O中，半径OA＝6 cm，C是OB的中点，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．
图3－ZT－1
2．如图3－ZT－2，△OAB中，OA＝OB＝4，∠A＝30°，AB与⊙O相切于点C，求图中阴影部分的面积．(结果保留π)
图3－ZT－2
1
3．如图3－ZT－3，在⊙O中，弦AB所对的劣弧长是圆周长的，其中圆的半径为4 cm.
3(1)求AB的长；
(2)求阴影部分的面积．
图3－ZT－3
► 类型二 利用“等积变形法”求面积
4．如图3－ZT－4所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB＝30°，CD＝2 3，则阴影部分图形的面积为( )
图3－ZT－4
A．4π B．2π 2πC．π D.
3
5．如图3－ZT－5，E是半径为2 cm的⊙O的直径CD延长线上的一点，AB∥CD且1
AB＝CD，求阴影部分的面积．
2
图3－ZT－5
► 类型三 利用“平移法”求面积
6．如图3－ZT－6是两个半圆，点O为大半圆的圆心，AB是大半圆的弦且与小半圆相切，且AB＝24，求图中阴影部分的面积．
图3－ZT－6
7．如图3－ZT－7，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，O1，O2，O3，O4分别是OA，OD，OB，OC的中点．若⊙O的半径是2，求阴影部分的面积．
图3－ZT－7
► 类型四 利用“旋转法”求面积 8．2017·济宁如图3－ZT－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，将Rt△ABC︵绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，点B经过的路径为BD，则图中阴影部分的面积是( )
图3－ZT－8
πππ11
A. B. C.－ D. 63222
9．当汽车在雨天行驶时，司机为了看清楚道路，要启动前方挡风玻璃上的雨刷．如图3－ZT－9是某汽车的一个雨刷的转动示意图，雨刷杆AB与雨刷CD在B处固定连接(不能转动)，当杆AB绕点A转动90°时，雨刷CD扫过的面积是图中阴影部分的面积，已知CD＝80 cm，∠DBA＝20°，AC＝115 cm，DA＝35 cm，试从以上信息中选择所需要的数据，求出雨刷扫过的面积．
图3－ZT－9
► 类型五 利用“割补法”求面积
10．如图3－ZT－10所示，小方格都是边长为1的正方形，则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为________．
图3－ZT－10
11．如图3－ZT－11，扇形AOB与扇形COD的圆心角都是90°，连接AC，BD. (1)求证：AC＝BD；
(2)若OA＝2 cm，OC＝1 cm，求图中阴影部分的面积．
图3－ZT－11
详解详析
1．解：过点C作CD⊥AO，交AO的延长线于点D. ∵OB＝6 cm，C为OB的中点， ∴OC＝3 cm. ∵∠AOB＝120°， ∴∠COD＝60°， ∴∠OCD＝30°， 13
∴在Rt△CDO中，OD＝OC＝ cm，
22∴CD＝OC2－OD2＝33 332－（）2＝(cm)，
22
113 39 3
∴S△AOC＝AO·CD＝×6×＝(cm2)．
2222120π·62
又∵S扇形AOB＝＝12π(cm2)，
360
9 324π－9 3∴S阴影＝S扇形AOB－S△AOC＝12π－＝(cm2)，
22
24π－9 3即阴影部分的面积为 cm2.
22．解：连接OC，如图所示．
∵AB与⊙O相切， ∴OC⊥AB. ∵OA＝OB，
∴∠AOC＝∠BOC，∠A＝∠B＝30°. 在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝4， 1
∴OC＝OA＝2，∠AOC＝60°，
2
∴∠AOB＝120°，AC＝OA2－OC2＝2 3， 即AB＝2AC＝4 3，
120π×2214π
则S阴影＝S△AOB－S扇形＝×4 3×2－＝4 3－.
23603
3．解：(1)过点O作OC⊥AB于点C，如图所示．
1
∵弦AB所对的劣弧长是圆周长的，
3∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°， ∴AC＝OA×sin∠AOC＝2 3 cm， ∵OC⊥AB，∴AB＝2AC＝4 3 cm.
120π×42116
(2)阴影部分的面积＝－×4 3×2＝(π－4 3)cm2.
360234．[解析] D 连接OD.
1
∵CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝3，
2故S△OCE＝S△ODE，
则阴影部分的面积等于扇形BOD的面积． 又∵∠CDB＝30°，∴∠BOD＝60°， ∴△BOD是等边三角形，∴OB＝2， 60π×222π
故S扇形BOD＝＝，
36032π
即阴影部分的面积为.故选D.
3
5．解：连接OA，OB.∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△AOB. ∴S阴影＝S扇形AOB.
1
∵AB＝CD＝AO＝OB＝2 cm，
2
∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°， 60π·222∴S扇形AOB＝＝π(cm2)，
36032
即阴影部分的面积为π cm2.
36.
[解析] 将小圆向右平移，使其圆心与大圆的圆心重合，阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积．
解：将小圆向右平移，使两圆变成同心圆，如图所示，连接OB，过点O作OC⊥AB于点C，则AC＝BC＝12.
∵AB是大半圆的弦且与小半圆相切， ∴OC为小半圆的半径，
1111
∴S阴影部分＝S大半圆－S小半圆＝π·OB2－π·OC2＝π(OB2－OC2)＝πBC2＝72π.
2222
7．解：如图，顺次连接点A，C，B，D，易知四边形ACBD是正方形．
将阴影弓形平移到中间空白处，阴影部分的面积恰好是正方形ACBD的面积， 11
即S阴影＝AB×CD＝×4×4＝8.
22
8．[解析] A ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝1， 30×π×（2）2π
∴AB＝2，∴S扇形ABD＝＝. 3606
又∵Rt△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ABC， π
∴S阴影部分＝S△ADE＋S扇形ABD－S△ABC＝S扇形ABD＝.故选A.
6
9．解：由题意可知：△ABD≌△AB′D′，△ACD≌△AC′D′，
且大扇形半径AC＝115 cm，小扇形半径AD＝35 cm，且圆心角都为直角，
90π×115290π×352π
所以雨刷CD扫过的面积为S扇形CAC′－S扇形DAD′＝－＝×(115＋35)
3603604×(115－35)＝3000π(cm2)．
答：雨刷扫过的面积为3000π cm2. 10．[答案] 2π－4
90π×221
[解析] 连接AB.由题意，得阴影部分的面积＝2(S扇形AOB－S△OAB)＝2×(－×2
3602×2)＝2π－4.
11．解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°， 即∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD， ∴∠AOC＝∠BOD.
又∵AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD，∴AC＝BD. (2)由(1)知△AOC≌△BOD，∴阴影部分的面积＝扇形AOB的面积－扇形COD的面积．
90π·OA290π·OC290π×（OA2－OC2）90π×（22－12）3则S阴影＝－＝＝＝π(cm2)．
3603603603604
