第二类曲线积分的计算

定义

设P(x,y),Q(x,y)为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线LAB上的函数,对LAB任一分割T,它把LAB分成n个小弧段Mi1Mi(i1,2,,n)；其中A=M0,BMn.记各个小弧段Mi1Mi弧长为

si

,分割T的细度为

Tmax{Si}1in,又设T的分点的坐标为Mi(xi,yi),并记

xixixi1,yiyiyi1

,(i1,2,,n) .

在每个小弧段Mi1Mi上任取一点i,i,若极限

存在且与分割T与点i,i的取法无关,则称此极限为函数P(x,y),Q(x,y)在有向线段LAB上的第二类曲线积分,记为

P(x,y)dxQ(x,y)dyL或

ABP(x,y)dxQ(x,y)dy

也可记作

P(x,y)dxQ(x,y)dyLL

或

ABP(x,y)dxQ(x,y)dyAB

FdsFx,yP(x,y),Q(x,y)ds注：(1) 若记=,dx,dy则上述记号可写成向量形式:L.

(2) 倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,

P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为

按照这一定义 , 有力场

F(x,y)P(x,y) , Q(x,y)

沿平面曲线L从点A到点B所作的功为WABPdxQdy.第二类曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性 . 对二类曲线积分有

ABBA,定积分是第二类曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场

F(x,y,z)P(x,y,z) , Q(x,y,z) , R(x,y,z)

沿空间曲线LAB所作的功. 为空间曲线LAB上的第二类曲线积分

ABP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

.

与第一类曲线积分的区别

首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是 第二类曲线积分就是

P(,)xQ(,)yP(x,y)dxQ(x,y)dyliml0iiiiii1ni

（1）

这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分中是乘的弧的弧长，总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的，与，与是可正可负的。当积分的路径反向时，，是一小段坐标的增量不变，而反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。

设曲线的参数方程为则第一类曲线积分的计算公式为 这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有，也就有，

这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿曲线上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点B。

历年真题

1、设曲线，具有一阶连续偏导数，过第二象限内的点M和第四象限

内的点N，为L上从点M到点N的一段弧，则下列小于零的选项是

(A) (B)

(C) (D)

【解析】

设点，的坐标分别为，，则有题设可知

答案为B。

，数一，4分)

(20072、计算曲线积分

，其中是曲线上从点到点的一段。

(2008，数一，9分)

【解析】

3、设是柱面针方向，则曲线积分

与平面的交线，从轴正方向往轴负方向看去为逆时 (2011，数一，4分)

【解析】

采用斯托克斯公式直接计算

4、已知是第一象限中从点的曲线段，计算曲线积分

沿圆周到点,再沿圆周到点 (2012，数一，10分)

【解析】

5、已知的方程，起点为，终点为，计算曲线积分

(2015，数一，10分)

【解析】

曲线L的参数方程为：