２０１３年第２期第２２卷 Ｎｏ２．２０１３ ｖｏ１．２２ 讨论函数零点的判定方法 王明礼 （邢台学院数学系，河北邢台，０５４００１） 【摘要】函数零点问题是高等数学的重要问题，解法各有所长，讨论连续函数及其导函数零点 的判定方法，不仅能加深对微积分知识的理解，而且能掌握解决这类问题的方法技巧，从而提高数学 素养。 【关键词】零点；极值；极限；积分；微分中值定理 如果存在实数Ｘ－－ＸＯ，使ｆ ＤＪ＝Ｏ，则 。称 例２证明函数 ）：（ 一１）ｌｎｘ—ｌｎ２＋１ｎ ｒ１＋ 为函数， 的零点，零点并非是一个点，而是 使得， ＝Ｏ的实数的 值，函数的零点又称为 在（０，１）内只有一个零点。 方程厂 ＝０的实根。讨论函数零点的判定方 证明：ｆ ）＝（ 一１）ｌｎｘ一１ｎ２＋Ｉｎ（１－Ｉｘ） 法，在高等数学中具有重要的应用价值。 １、利用零点定理判断函数零点 ？（ ？而Ｉ 例１证明方程Ｘ．＝ＣＯＳ在（Ｄ， ）内至少 令 ∞＝ｏ可解得 ＝等一１ 存在一个实数根。 证明：令函数 －＇Ｘ＇ＣＯＳＸ，则函数咖 且当茹＞手一１时， ＞０； 在［Ｄ，手】上连续，且 ｆＤＪ—Ｉ＜０，咖（孚） 当 ＜等一１时，， ∞＜０ ＝ ０。 所以，ｆ 在 一１处有极小值・ 由零点定理知，函数咖 ＝Ｘ－－ＣＯＳＸ在【０， ］内至少存在一点ｃ，使得咖ｆｃＪ －－ＣＯＳＸ＂Ｏ， 由于 ）在（等一１，１）上严格单调递增， 从而，∽在（ ｑｌ＂一１，１）上有零点，至多只能有 即方程Ｘ－－ＣＯＳＸ在（Ｄ， ）内至少存在一个实 一个。 数根。 利用零点定理证明函数零点的存在性是最 同理厂 ）在（０， 一１）上有零点，也至多 常用的方法之一。零点定理只能保证函数零点 只能有一个。 的存在性，但没有指明零点的具体个数． 因为ｌｉｍ ｆ１ １７ ０。ｌｉｍ ｆＩ Ｉ？？？ ？ｒ ？０ 收稿日期：２０１２－０９—２８ 作者简介：王明礼（１９６７一 ），河北南宫市人，理学硕士，邢台学院数学系副教授。研究方向：基础数学与数 学应用。 １００ 王明礼：讨论函数零点的判定方法 又因为／ ）连续，且 ＝ 一１为极小值点 证明：设 ， ）？Ｆｕｎ，∽？Ａ 若 ）在（ａ，＋ｏｏ）是常数函数，即ｆ ）＝Ａ， 所以 （军一１）＜ｏ，ｆ ）在（０，１）有且仅 则？ｃ７ ，？？｛，有ｆ （ｃ）＝Ｏ。 有一个零点。 若 ）在 ，＋∞）不是常数函数，不妨设 零点定理常常与最值、极值问题相结合，利 ？ 。？ 口，？？Ｉ，使ｆ㈨＞Ａ，即 用函数的单调性证明方程仅有几个零点存在，进 ｌｉＩ ，（ ）？ｌｉｍ，（ ）７ Ａ？， ｏ －－行特殊值验证正负时，特殊值一般为端点或极值 Ⅵ 一 根据函数极限的保号性，？ ？？ａ，ｘｏＩ，使厂 ） 点． ２、利用极限判断连续函数零点 ㈨，ｊＸ２ Ｅ ，＋。。），使ｆ㈨＜ ㈨ 例３设 ）在【ａ，ｂ】上连续，ｆ（ （６）＝０， 又已知 ∽在 ｔ， ２］上连续，则函数 ∽ 并且， （ ｆ （６）＞Ｏ。证明：存在 ∈（０，ｂ）使 在 ，瑚能取得最大值，显然最大值点不能是 ＝Ｏ。 区间【 ｔ， ２］的端点 ， ，只能在开区间（ ， 证明：分两种情况讨论： 之内，此时的最大值点就是极大值点。设此 （１）若， （口）＞０且ｆ （６）＞Ｏ 极大值点就是ｃ，因为可导函数 ∽的极大值点ｃ 必是稳定点，所以ｆ （ｃ）＝０，ｆ∽在（ａ，＋∞）内 因为。？ ）？ — ｄ ｒ， 至少有一点ｃ，使ｆ （ｃ）＝０。 由保号性知，存在 ７ ０，当 ？（口，ａ？ １） ４、利用积分判断函数的零点 时，有 ｘ ｌ ＞０ 鬻？ｘ ｌ ｎ 。 例５若ａｏ，０１，０．２，…，ａＩＩ为满足ａｏ＋ ＋．．・＋ ａ所１）．Ｘｆ ）＞０ ＋ 牛＝０的实根，证明ａ０十Ｊ ＋口 ＋ ＋…＋ ＝Ｏ 取 ？（口，口？ ），则 ）＞Ｏ 在【０，１】内至少有一个实根。 类似￣ｆｌ３ｆ （６）＞哦 ２ ７ ０ 使 （易？ ２，６） 证明：令ｆ（ ＝ｃＥｄ＋口 ＋口 ＋…＋ｎ， “，贝０ 时，有 ＞０，即等？。 ，ｌ Ｊ。，∽ 时争 。＋ ＋ ０（水） 所ｌ ∽＜０ 由（木）式以及定积分定义可得 （ 在 取 ２ ７‘ ？ ２，ｂ ，贝０厂 ２）＜０ ［０，１】上不可恒正或恒负， 所以 ∽在 。，列两端点的值异号 所以， （１）ｆ ）三０， ∈【０，１］，从而结论 成立。 故？ ？（ ｌ， ２）？（口，６），使，（ ）？ｏｏ （２）存在 ， 。∈【０，ｌ】，使 （ ｆ（ ２）＜ （２）若， ＜０且厂 （６）＜Ｏ，类似可证 ０，从而由ｆ ）在【０，１］内连续，可得， ∈ ？ ？（口，６），使，（ ）？０ ， ２）ｃ【０，１】，使厂（ ＝０，即方程ｆ ）＝０在 【０，１］内至少有一个实根。 综上所述存在？ ？（口，６），使，（ ）？０ 例６设 ∽在【０，１】上连续，在（０，１） 对于连续函数的零点问题，若条件中有导函 ，１ 数或是函数的两端点值为特殊值时，常将导函数 内，－７导，且３ Ｉ 争 ｆ ） （Ｄ），证明：在（０，１） 转化为极限问题予以考虑，在利用介值性来判断 内至少存在一点ｃ，使ｆ （ｃ）＝Ｏ。 函数零点的存在性． 证明：由于函数 ）在［０，１】上连续，则 ３、利用极值判断连续函数零点 由积分中值定理知，至／ｋ－存在一点 ∈［ ，１］， 例４若函数 ）在（ａ，＋∞）内可导，且 ，（ ）？ ，（ ），则在（。，＋∞）内至少有一 使ｆ （ ） （ ・（１一 ２）＝ （ ，即３』 点ｃ，使厂 ）＝０。 ） 。 １０１ 王明礼：讨论函数零点的判定方法 又因为ｆ １ ，（ ） （Ｄ），所以厂（ （Ｄ）， 用罗尔定理，存在 ∈ －，， ），使／”（ ＝０ （ｋ＝ｌ，２，…，ｎ），即 ” ）：０至少有，｝一１个相异 且由函数ｆ ）在【０，胡上连续，在（０， ）内 实根，重复以上做法知：ｆ ）＝Ｏ至少有ｎ一２个 可导，由罗尔定理知，至少存在一点Ｃ，使ｆ （ｃ） 相异实根，所以，广 ）＝Ｏ至少有一个实根。 将函数零点问题视为某函数的导函数零点问 ＝０ｏ ５、利用Ｔａｙｌｏｒ判断函数的零点 题，然后判断是否仍符合罗尔定理，再运用罗尔 例７设函数ｆ ）在【Ｏ，＋∞）上有连续的 定理进行讨论． 二阶导数，且 （Ｄ）＞０，／ （Ｄ）＜０， ”（Ｄ）＜０ ７、利用拉格朗日中值定理判断导函数零点 例９若函数厂∽在［０，１］可导，且 （Ｄ）＝ （０≤ ＜＋∞）。试证：在区间（０，一≠ ）内 ０，Ｖ Ｅ［０，１】，：ＲＩｆ （ ｌ≤ｌ厂 ）ｌ，则 （ ＝０， ∽至少有一实根。 Ｖｘ∈【０，１】。 证明：根据Ｔａｙｌｏｒ公式，对任意ｘ＞Ｏ，存在 证明：Ｖｘ∈［０，１】，有 ∈ （Ｄ， ）有 ∽ （Ｄ） ，（Ｄ） ＋ ，因 Ｉ ∞Ｉ＿ｌ ＿ （Ｄ）ｌ＿／ ㈤Ｉ ＝Ｉ ㈨－／（Ｄ）Ｉ 此，可知 ∽在区间【ｏ，一≠ 】的两个端点 ＝Ｉ ㈣Ｉ缸≤Ｉ ㈣Ｉ Ｉ ㈣－／（Ｄ）Ｉ ｚ２ ＝Ｉ ㈥Ｉ ：≤Ｉ ㈣Ｉ ，≤…≤Ｉ ㈥Ｉ ｎ 异号，故函数厂∽在区间（０，一≠ ）内至少 （其中０《 ＜… 《《 ） 厂 ）有一实根。 已知，（ 在【０，１】连续，从而ｆ（ ）在 ６、利用罗尔定理判断导函数零点定理 【０，１】有界，即｜Ｍ＞０，Ｙｘ∈【０，１］，有ｌ厂∽Ｉ≤ 例８设，∽为ｎ阶可导函数，若方程 ∽ Ｍ。Ｖ ∈［０，１），有ｌ ∽ｌ≤Ｉ，㈥Ｉ矿≤Ｍｘ“ ＝０有ｎ＋１个相异的实根，则方程ｆ‘ ∽＝Ｏ至少 有一个实根。 因为ｌｉａｒ矿＝Ｏ（０≤ ≤１），则Ｖｘ Ｅ【０，１）， ｎ— ∞ 证明：设方程ｆ ）－ｏ的ｎ＋１个相异实根为 有ｆ ）＝０ ｌ＜ｘ２＜ｘ３＜… ＜‰ 对 ∽在每个区间 ， 因为 ）在点１左连续，所以 （１）＝０ Ｘｋ＋１］（ｋ＝ｌ，２，…，ｎ）上应用罗尔定理知，存 所以Ｖｘ∈［０，ｌ】有 （ｏ）＝０成立。 在 ｕ∈（机，Ｘｋ￣１），使ｆ ｌ －－０（ ＝１，２，…， 求解函数的零点问题有很多种方法，只要我 ｒｔ），ｌ！ｐｆ ∽＝０至少有／１，个相异实根。 们能够掌握并灵活运用微积分学的基本理论与方 再对 ∽在ｎ－１个区间【 －ｋ，刍，－＋ｋ】上应 法，就能从更多的角度判定函数的零点． 参考文献： 【１】钱吉林．数学分析题解精粹［Ｍ］．武汉：崇文书局，２００３． 【２】刘玉链．数学分析第二版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１． ［３】华东师范大学数学系．数学分析第三版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１． １０２
