20.2 第二型曲线积分 数学分析课件(华师大 四版) 高教社ppt 华东师大教材配套课件

第二型曲线积分的定义

在物理中还遇到过另一

y种类型的曲线积分问题. 例如一质点受力F(x,y)的作用沿平面曲线L从点A 移动到点B, 求力F(x,y)所作的功,见图

O图202后退

B(Mn)L(x,y)M1Mn1PA(M0)M2QFx20-2.

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§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

为此在曲线AB内插入n1个分点M1,M2,Mn1,它们与AM,BM一起把有向曲线AB分成n

0nM(i1,2,,n).若记小曲线个有向小曲线段Mi1iM的弧长为s,则分割T的细度为段Mii1i||T||maxsi.1in设力F(x,y)在x轴和y轴方向的投影分别为P(x,y)与Q(x,y),那么

F(x,y)(P(x,y),Q(x,y)).M在x轴和y轴上的投影分别为又设小曲线段Mi1ixixixi1与yiyiyi1,数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

其中(xi,yi)与(xi1,yi1)分别为点Mi与Mi1的坐标. 记LMi1Mi(xi,yi),M上所作的功于是力F(x,y)在小曲线段Mi1iWiF(i,i)LMi1MiP(i,i)xiQ(i,i)yi,M上任一点.其中(,)为小曲线段Miii1i因而力F(x,y)沿曲线AB所作的功近似地等于

WWiP(i,i)xiQ(i,i)yi.i1i1i1nnn当细度||T||0时,上式右边和式的极限就应该是所求的功. 这种类型的和式极限就是第二型曲线积分.

数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

定义1设函数P(x,y)与Q(x,y)定义在平面有向可求长度曲线L:AB上.对L的任一分割T,它把L分成n个小曲线段

Mi1Mi(i1,2,,n),其中M0A,MnB.记个小曲线段Mi1Mi的弧长

si.又设T的分点为si,分割T的细度||T||max1inMi的坐标为(xi,yi),并记

xixixi1,yiyiyi1,(i1,2,,n).数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

定义1在每个小曲线段Mi1Mi上任取一点(i,i),若极限

||T||0limP(i,i)xilimQ(i,i)yii1||T||0i1nn存在且与分割T 与点(i,i)的取法无关,则称此极

限为函数P(x,y),Q(x,y)沿有向曲线L 上的第二型曲线积分, 记为

P(x,y)dxQ(x,y)dyL或

P(x,y)dxQ(x,y)dy(1)AB数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

定义1上述积分(1)也可写作

或

LP(x,y)dxQ(x,y)dyLLABP(x,y)dxQ(x,y)dyAB为书写简洁起见, (1)式常简写成

PdxQdy或

ABPdxQdy.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

若L为封闭的有向曲线, 则记为

LPdxQdy.(2)若记F(x,y)(P(x,y),Q(x,y)),ds(dx,dy),则(1)式可写成向量形式

Fds或LABFds.(3)于是, 力F(x,y)(P(x,y),Q(x,y))沿有向曲线

L:AB对质点所作的功为

WP(x,y)dxQ(x,y)dy.L数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

若L为空间有向可求长曲线, P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)为定义在L上的函数, 则可按上述办法类

似地定义沿空间有向曲线L上的第二型曲线积分,

并记为

LP(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz,(4)或简写成

高等教育出版社LPdxQdyRdz.数学分析第二十章曲线积分§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

当把

F(x,y)(P(x,y),Q(x,y),R(x,y))与ds(dx,dy,dz)看作三维向量时, (4)式也可表示成(3)式的向量形式.第二型曲线积分与曲线L 的方向有关. 对同一曲线, 当方向由A 到B 改为由B 到A 时, 每一小曲线段的方向改变,从而所得的xi,yi也随之改变符号,故有

高等教育出版社ABPdxQdyPdxQdy.BA(5)数学分析第二十章曲线积分§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

而第一型曲线积分的被积表达式只是函数f(x,y)与弧长的乘积, 它与曲线L的方向无关这是两种类型

. 曲线积分的一个重要区别.

类似与第一型曲线积分, 第二型曲线积分也有如下一些主要性质:

1．若PidxQidy(i1,2,,k)存在，则

L(cP)dx(cQ)dy也存在, 且

Liiiii1i1kkL(ciPi)dx(ciQi)dyci(PidxQidy);i1i1i1Lkkk数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

2. 若有向曲线L由有向曲线L1,L2,,Lk首尾衔接而成,

LiPdxQdy,(i1,,k)都存在, 则

PdxQdy也存在, 且Lki1LiLPdxQdyPdxQdy.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

第二型曲线积分的计算

第二型曲线积分也可化为定积分来计算.设平面曲线

x(t),L:t[,],y(t),其中(t),(t)在[,]上具有一阶连续导函数,且点A与B的坐标分别为((),())与((),()).数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

又设P(x,y)与Q(x,y)为L上的连续函数,则沿L从A到B的第二型曲线积分

[P((t),(t))(t)Q((t),(t))(t)]dt.LP(x,y)dxQ(x,y)dy(6)读者可仿照§1中定理20.1的方法分别证明

高等教育出版社LP(x,y)dxP((t),(t))(t)dt,LQ(x,y)dxQ((t),(t))(t)dt,由此便可得公式(6).

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对于沿封闭曲线L的第二型曲线积分(2)的计算, 可在L 上任意选取一点作为起点, 沿L所指定的方向前进, 最后回到这一点.例1 计算

y321B(2,3)Lxydx(yx)dy,C其中L 分别沿图20-3中的路线:

A(1,1)1D(2,1)O23x(i) 直线段AB;2(ii)ACB抛物线:y2(x1)1;(iii)ADBA(三角形周界).

数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社图203§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

解(i)直线L的参数方程为

x1t,t[0,1].y12t,故由公式(6)可得

y321B(2,3)CABxydx(yx)dyA(1,1)1D(2,1)[(1t)(12t)2t]dt01O23x图20325(15t2t)dt.0612数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

2(ii)曲线ACB为抛物线y2(x1)1,1x2,所以

ACB2xydx(yx)dy22{x[2(x1)1][2(x1)1x]4(x1)}dx110(10x32x35x12)dx.13(iii)这里L是一条封闭曲线, 故可从A开始, 应用上段

232的性质2, 分别求沿AD,DB,BA上的线积分然后相

加即可得到所求之曲线积分.

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由于沿直线AD:xx,y1(1x2)的线积分为3xydx(yx)dyxydxxdxAD1AD2沿直线DB:x2,yy(1y3)的线积分为

2DBxydx(yx)dy(yx)dy(y2)dy0.DB13沿直线BA的线积分可由(i)及公式(5)得到

25xydx(yx)dy=xydx(yx)dy.BAAB63825.所以Lxydx(yx)dy2036数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

例2 计算Lxdyydx,这里L 为

(i) 沿抛物线y2x,从O到B的一段(图20-4);(ii) 沿直线OB:y2x;(iii) 沿封闭曲线OABO.2y12B(1,2)解(i)

[x(4x)2x]dxL1xdyydx2O0A(1,0)x1(ii)Lxdyydx(2x2x)dx42.021626xdx2.031图204数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

(iii)在OA一段上, y0,0x1;在AB一段上, x1,0y2;在BO一段上与(ii)一样是y2x从x1到x0的一段. 所以

xdyydx0dx0,OA012xdyydx1dy2,AB0因此

BOxdyydxxdyydx2.(见(ii))

OB高等教育出版社LxdyydxOAABBOxdyydx0220.数学分析第二十章曲线积分§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

沿空间有向曲线的第二型曲线积分的计算公式也与

(6) 式相仿. 设空间有向光滑曲线L 的参量方程为

xx(t),L:yy(t),t,zz(t),起点为(x(),y(),z()),终点为(x(),y(),z()),则PdxQdyRdzL[P(x(t),y(t),z(t))x(t)Q(x(t),y(t),z(t))y(t)R(x(t),y(t),z(t))z(t)]dt.(7)这里要注意曲线方向与积分上下限的确定应该一致.

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例3 计算第二型曲线积分Ixydx(xy)dyx2dz,L是螺旋线: xacost,yasint,zbtL从t0到tπ上的一段.

解由公式(7),

I(acostsintacostasintcostabcost)dt0π3222222132121133asintasinta(1b)(tsin2t)2223012a(1b)π.2数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

例4 求在力F(y,x,xyz)作用下.

(i)质点由A沿螺旋线L1到B所作的功(图20-5), 其中L1:xacost,yasint,zbt,0t2π;(ii)质点由A沿直线L2到B所作的功.解如本节开头所述, 在空间

曲线L上力F所作的功为

WFdsydxxdy(xyz)dz.LL数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

(i) 由于dxasintdt,dyacostdt,dzbdt,W(asintacostabcostabsintbt)dt02π222222π(πba).(ii) L2的参量方程

xa,y0,zt,0t2πb.22由于dx0,dy0,dzdt,所以

W2πb0(at)dt2πb(aπb).数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

例5 设L为球面xyza和平面xyz0的交线, 若面对x 轴正向看去, L是沿逆时针方向的,求(i)

2222Lxdxydyzdz;(ii)

Lzdxxdyydz.解L的参数方程为

aaacost,xcostsint,y662aazcostsint,t[0,2π].62数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

222(i)Lydya0costsintdt0.由对称性，

3LxdxLzdz0,因此，Lxdxydyzdz=0.(ii)

Lydz022aaacostsintcostdt66232aπ.3由对称性，

Lzdxxdyydz数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社3a.2§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

(x)是[a,b]上的连续*例6 设G是R2 中的有界闭域，

可微函数, P(x,y),Q(x,y)是在G上的连续函数.

L{(x,(x))x[a,b]}intG,则对任意0, 存在0,对于任意分割

T:ax0x1xnb,只要Tmaxxixi1:i1,,n,必有

PdxQdyPdxQdy,Ll其中l是以AiAi(xi,(xi)),i1,2,,n为端点

的折线.

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证由P,Q,的有界性,存在M0,使得

supP(x,y)(x,y)GM,supQ(x,y)(x,y)GM,sup(x)x[a,b]M..0,令(12M)(ba)由P,Q在G 的一致连续性, 存在0.使得A(x,y),B(x,y)G,yy,就有P(x,y)P(x,y),Q(x,y)Q(x,y).数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

由,在[a,b]上的一致连续性, 存在0,使得x,x[a,b],xx,就有

(x)(x),(x)(x).

任意分割T:ax0x1xnb,满足

Tmaxxixi1:i1,,n.令AiAi(xi,(xi)),设li为连接Ai1与Ai的线段,其斜率为

(xi)(xi1)xixi1高等教育出版社(i),i[xi1,xi],i1,2,,n.数学分析第二十章曲线积分§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

lli,设l的方程为l(x),x[a,b].则

i1nx[a,b],l(x)(x).于是

P(x,(x))P(x,l(x)),Q(x,(x))(x)Q(x,l(x))(i)Q(x,(x))(x)Q(x,(x))(i)Q(x,(x))(i)Q(x,l(x))(i)2M,设L在Ai1到Ai的那段曲线为Li,i1,2,,n.则

LLi.i1n数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

因此

PdxQdyPdxQdyLlni1LinPdxQdyPdxQdylixii1xQ(x,(x))(x)Q(x,l(x))(i)dxni1xii1xi1ni1P(x,(x))P(x,l(x))dxni1xixi12Mxixi1(12M)(ba).注例6 说明曲线上的积分可用折线上的积分来逼近.

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*两类曲线积分的联系

虽然第一型曲线积分与第二型曲线积分来自不同的物理原型, 且有着不同的特性, 但在一定条件下, 如在规定了曲线方向之后, 可以建立它们之间的联系.设L为从A到B的有向光滑曲线, 它以弧长s为参数, 于是

xx(s),L:0sl,yy(s),其中l为曲线L的全长, 且点A与B的坐标分别为(x(0),y(0))与(x(l),y(l)).数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

曲线L上每一点的切线方向指向弧长增加的一方.现以(t,x),(t,y)分别表示切线方向t与x轴与y轴正向的夹角, 则在曲线上的每一点的切线方向余弦是

dxdycos(t,x),cos(t,y).(8)dsds若P(x,y),Q(x,y)为曲线L上的连续函数, 则由(6)式得

lLPdxQdy[P(x(s),y(s),cos(t,x)Q(x(s),y(s))cos(t,y)]ds0[P(x,y)cos(t,x)Q(x,y)cos(t,y)]ds,L(9)数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社§2 第二型曲线积分第二型曲线积分的定义第二型曲线积分的计算两类曲线积分的联系

最后一个等式是根据第一型曲线积分化为定积分的公式.

注当(9)式左边第二型曲线积分中L改变方向时, 积分值改变符号, 相应在(9)式右边第一型曲线积分中,

曲线上各点的切线方向指向相反的方向(即指向弧长减少的方向). 这时夹角(t,x)和(t,y)分别与原来的夹角相差一个弧度π,从而cos(t,x)和cos(t,y)都要变号. 因此, 一旦方向确定了, 公式(9)总是成立的.

数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社复习思考题

1. 设f(x,y)在光滑曲线L上连续, L满足

(x,y)L(x,y)L.若f(x,y)满足条件:f(x,y)f(x,y),是否有

f(x,y)dx0?L又若f(x,y)满足f(x,y)f(x,y),是否有

f(x,y)dx2Lf(x,y)dx?L其中L(x,y)L:x0.数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社复习思考题

2. 第二型曲面是否也有轮换对称性？设f(x,y)在光滑曲线L上连续, L满足

(x,y)L(y,x)L.是否亦有

f(x,y)dxLLf(y,x)dy?数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社复习思考题

3. 设f(x,y,z)在空间光滑曲线L上连续, L满足

(x,y,z)L(y,z,x)L(z,x,y)L.若f(x,y,z)满足条件:(x,y,z)L,f(x,y,z)f(y,z,x)f(z,x,y),是否亦有

f(x,y,z)dxLLf(y,z,x)dyLf(z,x,y)dz?数学分析第二十章曲线积分高等教育出版社