数学分析：数系的扩充
数系的扩充
公理化地定义⾃然数
定义⾃然数的⽅法很多，其中根据 佩亚诺公理 可以给出定义⾃然数的⼀种标准⽅法。当然这并不是定义⾃然数的唯⼀⽅法。⽐如：
通过讨论集合的势公理化的定义⽅法，⾃古有之。
欧⼏⾥得在给出点、线、⾯等基础概念后，结合⼏个公理，形成了⼀套严密的⼏何理论。基于这种公理化的定义⽅法，可以 公理化 地给出⾃然数的定义。先给出⼏个基础概念：
0；
增长运算 ++。
⽰例：0,0++,(0++)++,((0++)++)++,⋯。当然，为了简化描述，可以定义：1:=0++；
2:=(0++)++=1++；⋯
注：这时的 0,1,2,⋯ 与我们所认知的⾃然数先区分开，这⾥可以先理解为⼀种简化符号，分别表⽰ 0，0 的增长 0++，0 的增长的增长 (0++)++，⋯ 在没有给出公理之前，它们均不是⾃然数。佩亚诺提出了五个公理⽤于定义⾃然数。公理 1：0 是⼀个⾃然数。
公理 2：若 n 是⼀个⾃然数，n 的增长 n++ 也是⼀个⾃然数。公理 3：0 不是任何⾃然数的增长。公理 4：不同的⾃然数，有不同的增长。
公理 5（数学归纳原理）：设 P(n) 表⽰⾃然数 n 的任意⼀个性质，若 P(0) 为真，且 P(n) 为真时⼀定有 P(n++) 也为真，，那么对于任意的⾃然数 n，P(n) ⼀定为真。下⾯逐步体会每个公理的巧妙之处。
公理 1：0 是⾃然数。这是定义的最基本的概念，也是最初的逻辑出发点。公理 2：若 n 是⼀个⾃然数，则 n 的增长 n++ 也是⾃然数。由公理 1、公理 2可知：
0 是⾃然数，0 的增长 0++ 也是⾃然数，(0++)++ 也是⾃然数，(((0++)++)⋯)++ 也是⾃然数。现在，为了书写⽅便，可以先简化这些符号：1:=0++；
2:=(0++)++=1++；⋯
n:=(((0++)++)⋯)++；⋯
由公理 1、公理 2：
0 是⾃然数，1 是⾃然数 0 的增长，因此 1 是⾃然数；1 是⾃然数，2 是⾃然数 1 的增长，因此 2 是⾃然数；
2 是⾃然数，3 是⾃然数 2 的增长，因此 3 是⾃然数；……
因此，我们有 0,1,2,⋯,n,⋯ 均为⾃然数。
但是，不要被经验认知骗到！这时的“⾃然数”是我们所熟悉的⾃然数吗？思考这种情况：某⼀个”⾃然数“ n=0。⽐如：
0,1,2,3,0,1,2,3,0,⋯：这种情形会出现“循环节”，显然与我们所认知的⾃然数不同！在现实中也有相符的情形：计算机中的字节在内存溢出后会归零。
0,0,0,⋯：这种情形会出现循环点，⾃然数 0 的增长 0++ 也是 0，即 0++=0，显然也在公理 1、2下，也是允许成⽴的。为了避免这种特殊情况，并向我们所认知的⾃然数靠拢，需要公理 3。
公理 3：0 不是任何⾃然数的增长。这样⼀来，就可以排除上⾯的特殊情形。0 是⾃然数，根据公理 3，0 不是任何⾃然数的增长，因此 0≠0++，⽽ 1:=0++，因此 0≠1，不等号是相互的，即 1≠0。更多地，由 公理 1、公理 2、公理 3 ：
0 是⾃然数，1 是⾃然数 0 的增长，因此1 是⾃然数，1≠0；1 是⾃然数，2 是⾃然数 1 的增长，因此 2 是⾃然数，2≠0；3 是⾃然数，3 是⾃然数 2 的增长，因此 3 是⾃然数，3≠0；……
因此，我们有 0,1,2,3,⋯ 均是⾃然数，且 1,2,3,⋯ 均不等于 0。
这样⼀来，好像与我们所认知的⾃然数靠接了些，但仍有不相符的特殊情形：
0,1,2,3,4,2,3,4,2,3,4,⋯：不同于之前的 0 作为循环点，这种情形下，从某⼀项开始出现了”循环节“。另外，也有循环点的情形 0,1,2,3,3,3,⋯，以及更多类似的情形。
现在看来，在 公理 1、公理 2、公理 3 下，仍有各种病态情形出现，为了消除上述病态情形，需要公理 4。
公理 4：不同的⾃然数有不同的增长。由公理 1、2 、3 知，⾃然数 1≠0，即 0 和 1 是两个不同的⾃然数。紧接着，由公理 4 ，0 的增长不同于 1 的增长，即 1≠2。1 和 2 是不同的⾃然数，因此有 2≠3,3≠4,⋯更多地，由公理 1、公理 2、公理 3、公理 4：
0 是⾃然数，1 是⾃然数 0 的增长，1 是⾃然数，1≠0；
1 是⾃然数，2 是⾃然数 1 的增长，2 是⾃然数，2≠0，1≠2；
2 是⾃然数，3 是⾃然数 2 的增长，3 是⾃然数，3≠0，3≠2，3≠1；……
因此，我们有 0,1,2,3,⋯ 均是⾃然数，且彼此之间，互不相等！
现在看来，这样所定义的“⾃然数”已经与我们所认知的⾃然数好像⼀致了，但是不要被表象迷惑了，注意，⽬前为⽌，我们只能证明 0,1,2,3,⋯ 是⾃然数，但不能证明⾃然数仅由这些组成！（谁知道真实的⾃然数⾥会不会有什么杂七杂⼋的东西）。
因此，我们还需要⼀个公理，⽤以证明，真实的⾃然数就是前⾯已经定义出的 0,1,2,3,⋯，再没有什么其它形式的⾃然数了。即，真实的⾃然数是可以通过对⾃然数 0 进⾏增量运算得到的。
Processing math: 100%
