山西省临汾市关王庙中学2021-2022学年高三数学理模
拟试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 如图，《宋人扑枣图轴》是作于宋朝的中国古画，现收藏于中国台北故宫博物院.该作品简介：院角的枣树结实累累，小孩群来攀扯，枝桠不停晃动，粒粒枣子摇落满地，有的牵起衣角，有的捧着盘子拾取，又玩又吃，一片兴高采烈之情，跃然于绢素之上.甲、乙、丙、丁四人想根据该图编排一个舞蹈，舞蹈中他们要模仿该图中小孩扑枣的爬、扶、捡、顶四个动作，四人每人模仿一个动作.若他们采用抽签的方式来决定谁模仿哪个动作，则甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”的概率是（ ）
宋人扑枣图轴
A. B. C. D.
参：
B 【分析】
依题意，基本事件的总数为A包含1
2
24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿“扶”，则事件
14个基本事件，故P（A）可求．
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【详解】依题意，基本事件的总数为“扶”，
①若甲模仿“扶”，则A包含1②若甲模仿“捡”或“顶”则A包含2综上A包含6+8＝14个基本事件，
24，设事件A表示甲不模仿“爬”且乙不模仿
6个基本事件；
8个基本事件，
所以P（A）故选：B．
，
【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，分类讨论的思想，属于基础题．
2. 已知函数
A.
，若，则函数的零点个数是（ ）
B.
1
2 C．3 D.4
参：
D 略
3. 函数f1（x）=，f2（x）=（x）是( ) A．奇函数但不是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数
，…，fn+1（x）=，…，则函数f2015
B．偶函数但不是奇函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
参：
A
【考点】函数奇偶性的判断． 【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数奇偶性的定义和性质进行判断即可．
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【解答】解：f1（x）=，则f（x）是奇函数不是偶函数，
f2（﹣x）=数，
=﹣=﹣f2（x），则f2（x）为奇函数不是偶函
f3（﹣x）=数， …
=﹣=﹣f3（x），则f3（x）为奇函数不是偶函
则由归纳推理可得函数f2015（x）为奇函数不是偶函数， 故选：A
【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的性质是解决本题的关键．
4. 右图给出的是计算件是( )
A.
B.
的一个程序框图，其中判断框内应填入的条
C.
D.
参：
B
略 5. 函数
是（ ）
A. 最小正周期为的偶函数 B. 最小正周期为的奇函数
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C. 最小正周期为参： B
的偶函数 D. 最小正周期为的奇函数
6. “x＜2”是“ln（x﹣1）＜0”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
参：
B
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据对数函数的性质结合集合的包含关系判断即可． 【解答】解：由ln（x﹣1）＜0，得：0＜x﹣1＜1，解得：1＜x＜2， 故x＜2是1＜x＜2的必要不充分条件， 故选：B．
7. 在平面直角坐标系中，O为坐标原点，设向量
若
是
，C点所有可能的位置区域用阴影表示正确的
（ ）
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参： 答案：A
8. 已知向量与的夹角为120，且||＝||＝4，那么.(2＋)＝( ) A.32 B.16
C.0
D.—16
参：
C
9. 函数
A. 最小值4 ，则
B. 最大值4 有（ ） C.最小值-4
D. 最大值-4
参： A 略 10. 函数
的图象大致是（ ）
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参： D
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知的值等于 .
参：
0
12. （5分）（2013?兰州一模）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在以O为球心的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，若三棱锥S﹣ABC的体积为则球O的表面积为 _________ ．
，
参：
4π 略
13. 若复数z满足（i为虚数单位），则|z|= ．
参：
【考点】复数求模．
【专题】方程思想；数系的扩充和复数．
【分析】利用行列式的性质可得z﹣i（1﹣2i）=0，再利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．
【解答】解：∵复数z满足（i为虚数单位），
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∴z﹣i（1﹣2i）=0， 化为z=i+2． 则|z|=故答案为：
=．
．
【点评】本题考查了行列式的性质、复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
14. 已知x和y是实数，且满足约束条件参：
的最小值是 .
做出不等式对应的可行域如图，由
得
，做直线
，平移直线
，由图象可知当直
线经过C点时，直线标函数得
的截距最小，此时最小，此为
。
,代入目
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15. （坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为 (为参数)，圆的参
数方程为 (为参数), 则圆心到直线的距离为_________．
参：
16. 设随机变量答。） 参：
，且DX=2，则事件“X=1”的概率为 （作数字作
略
17. 以点M（2，0）、N（0，4）为直径的圆的标准方程为 ．
参：
（x﹣1）2+（y﹣2）2=5 【考点】圆的标准方程．
【分析】根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，由点M、N的坐标结合中点坐标公式可得C的坐标，又由2r=|MN|，结合两点间距离公式可得r的值，由圆的标准方程计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设要求圆的圆心即点M、N的中点为C（x，y），半径为r，
又由点M（2，0）、N（0，4）；则有又有2r=|MN|=
=
，解可得
，则r2=5；
，
故要求圆的方程为：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5；
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故答案为：（x﹣1）+（y﹣2）=5．
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三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 在平面直角坐标系xOy中，已知点P(转x弧度得到向量
．
，)，将向量绕原点O按逆时针方向旋
（1）若x=，求点Q的坐标；
（2）已知函数f（x）=，令g(x)=f(x)·f(x+)，求函数g（x）的值域．
参：
【考点】平面向量数量积的运算． 【分析】（1）P点坐标化为（cos（
，sin
），故Q点坐标（cos（
），sin
）），利用和角公式计算即可；
（2）用三角恒等变换化简f（x）的解析式，得出g（x）的解析式，根据正弦函数的性质得出g（x）的值域． 【解答】解：（1）P（（coscos（
）=
﹣
，sin
=），
，
sin（）=+=． cos（
，
∴点Q的坐标为
（2）f（x）==
∴g（x）=cosx?cos（x+
+x）+，
sin（+x）
）=cos2x﹣
sinxcosx=﹣sin2x=﹣sin（2x﹣
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）． 因
，故g（x）的值域为
．
19.
参：
20.
（12分） 已知函数
（）求函数的最小正周期;
() 当时,求函数的最大值,最小值
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参：
解析: (1) …… 3分
的最小正周期为
………………… 5分
(2)
, ………………… 7
分
………………… 10分
………………… 11分
当时,函数的最大值为1,最小值 ………… 12分
21. （12分）（2016?兴安盟一模）如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为（a，b）（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
（Ⅰ）求某个家庭得分为（5，3）的概率？
（Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
（Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为X，求X的分布列及数学期望．
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参：
【考点】概率的应用；相互事件的概率乘法公式．
【分析】（1）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，由几何概型公式可得，得5分与3分的概率，由相互事件概率的乘法公式，计算可得答案；
（2）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，分析可得获奖的得分包括（5，5），（5，3），（3，5）三种情况，由互斥事件的概率加法公式，计算可得答案；
（3）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，分析可得X可取的值为0、1、2、3、4、5，由n次重复实验中恰有k次发生的概率公式计算可得X取0、1、2、3、4、5时的概率，列表可得X的分步列，由期望的计算公式可得X的期望． 【解答】解：（Ⅰ）记某个家庭得分情况为（5，3）为事件A，
由几何概型公式可得，得5分与3分的概率均为；
P（A）=×=．
所以某个家庭得分情况为（5，3）的概率为．
（Ⅱ）记某个家庭在游戏中获奖为事件B，则符合获奖条件的得分包括（5，5），（5，3），（3，5），共3类情况．
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所以P（B）=×+×+×=，
所以某个家庭获奖的概率为．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是，而X可取的值为0、1、2、3、4、5，
P（X=0）=C50（）0（1﹣）5=，
P（X=1）=C51（）1（1﹣）4=，
P（X=2）=C5（）（1﹣）=
223
，
P（X=3）=C53（）3（1﹣）2=，
P（X=4）=C54（）4（1﹣）1=，
P（X=5）=C5（）（1﹣）=所以X分布列为： X P 550
，
0 1 2 3 4 5 所以EX=0×+1×+2×+3×+4×+5×=，
所以X的数学期望为．
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【点评】本题考查互斥事件、相互事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算量比较大，注意准确记忆公式并正确计算．
22. 如图，平面ABCD平面是正方形，ABEF是矩形，且
，G是EF的中点，
（1）求证平面AGC
平面BGC；
（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值。 13分 参：
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