创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
用最小二乘法进行多项式拟合（matlab实现）之马
矢奏春创作
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日 西安交通大学
徐彬华
算法分析：
对给定数据 (i=0 ,1,2,3,..,m),一共m+1个数据点，
取多项式P(x),使
函数P(x)称为拟合函数或最小二乘解，令似的 使得
其中，a0，a1,a2,…,an为待求未知数，n为多项式的最高次幂，由此，该问题化为求
的极值问题。由多元函数求极值的需要条件： j=0,1,…,n 得到：
j=0,1,…,n 这是一个关于a0，a1,a2,…,an的线性方程组，用矩阵暗示如下： 因此，只要给出数据点 及其个数m，再给出所要拟合的参数n，则即可求出未知数矩阵（a0，a1,a2,…,an） 试验题1 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日 创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
编制以函数 xkk0为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi≡1) xi yi -1.0 - - - - n总共有7个数据点，令m=6
第一步：画出已知数据的的散点图，确定拟合参数n; x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552]; plot(x,y,'*') xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on
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因此将拟合参数n设为3. 第二步：计算矩阵
A=注意到该矩阵为（n+1）*(n+1)矩阵，
多项式的幂跟行、列坐标（i,j）的关系为i+j-2,由此可建立循环来求矩阵的各个元素，程序如下： m=6;n=3; A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1
A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end
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end; 再来求矩阵 B=
B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1
B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end
第三步：写出正规方程，求出a0,,a1…,an. B=B'; a=inv(A)*B;
第四步：画出拟合曲线 x=[-1.0:0.0001:2.0];
z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z)
legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图')
总程序附下：
x=-1.0:0.5:2.0;y=[-4.447,-0.452,0.551,0.048,-0.447,0.549,4.552]; plot(x,y,'*')
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xlabel 'x轴' ylabel 'y轴' title '散点图' hold on m=6;n=3; A=zeros(n+1); for j=1:n+1 for i=1:n+1 for k=1:m+1
A(j,i)=A(j,i)+x(k)^(j+i-2) end end
end;
B=[0 0 0 0]; for j=1:n+1 for i=1:m+1
B(j)=B(j)+y(i)*x(i)^(j-1) end end B=B'; a=inv(A)*B;
x=[-1.0:0.0001:2.0];
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z=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3; plot(x,z)
legend('离散点','y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.^2+a(4)*x.^3') title('拟合图')
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