泰勒展开式的推导

(2014-03-27 15:24:52)

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泰勒展开式的推导

泰勒展开式的证明

泰勒级数的证明 泰勒展开式 泰勒多项式

分类： 数学·分析

泰勒展开式真是个好东西。可以很方便的把一个函数展开成幂级数。即

从函数的线性近似来估计函数值。当△x相当小的时候。

这种计算方式简单又相当准确。可以从心里感悟到数学美。此外，二阶近似又比线性近似提高了一个级别的精确度。可以从心灵里感悟到近似函数典线努力的往原本的函数典线靠近。可想而知，再提高阶数，就更精确了。

当把阶数拓展到n阶（很大，甚至到无穷），就成了泰勒展开式了。这样的好东西，是怎么推导出来的呢？

在《直来直去微积分》看到了这个推导过程（在第10章，本文不是原创，只是一个学习笔记 ~_~）。

之前也思考了一下这个，但是没有什么太大的收获。现在知道了，原来是从微积分基本定理：

推导来的哦。

把上面微积分式子变形一下，

（1）

再做一个换元x=a+t，则dx=(a+t)'dt=dt。

把其中的f'(a+t)也同以上（1）式进行转换

（2）

对（2）中最后一个式子继续换元

把其中的f''(a+t1)再次根据以上（1）式进行转换

看到泰勒展开式的雏形了没？

接下来公式的整理，就交给你啦。~_~

关于那最后一项，有好多重积分的，还有关于泰勒展开式的余项。这个你就自己去百度百科里搜索一下“泰勒公式”、“泰勒公式余项”。~_~