G1SXZH048

学 科

数学

年 级

高一

编稿老师

孙力

【同步教育信息】

一. 本周教学内容：

简单多面体（一）棱柱与棱锥

二. 知识结构：

【典型例题】

[例1] 斜三棱柱的底面是等腰三角形ABC，AB=10，AC=10，BC=12。棱柱顶点A1到A、B、C三点等距离，侧棱长是13，求该三棱柱的侧面积。

解：解法1：如图1，取BC的中点D，连结AD，则BC⊥AD 作A1O⊥底面ABC于O，则由已知，点O在AD上，故

BC面AA1D BCAA1AA1面AA1DBCBB1AA1//BB1则侧面

BCC1B1为矩形，S矩形BCC1B1BCBB11312156

取AB中点E，连结OE、A1E 由A1A=A1B，则A1E⊥AB 由已知可求得A1E则SABB1A1A1A2AE212

SACC1A1ABA1E1012120

ACC1A1故S侧SABB1A1SS矩形BCC1B12120156396

即侧面积为396

1

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

A1B1C1AEOBCD 图1 解法2：如图2，取BC中点D，连结AD、A1D、A1B、A1C 由ABACADBC BC平面ADA1由A1BA1CA1DBCBCAA1AA1平面ADA1作DE⊥AA1于E，连结BE、CE。则 AA1⊥平面BCE。故AA1⊥BE，AA1⊥CE 即BEC为棱柱的直截面

故S侧(BEC的周长)侧棱长

5，则 1312120故sinEAB EBABsinEAB 1313120同理EC 1312012)13396 所以S侧(213在等腰三角形A1AB中，cosEABA1B1C1EABDC 图2 小结：斜棱柱的侧面积的计算可利用求各侧面的面积和，如解法1；也可利用求直截面的周长与侧棱之积，如解法2。 [例2] 已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1，底面边长为a，点E在棱D1D上，BD1∥平面AEC，且平面AEC与底面ABCD所成的角为45，求：三棱锥B1EAC的体积。 解：解法1：如图3所示。连结BD交AC于O 由D1D底面ABCDEOAC

DOAC则EOD为面AEC与底面ABCD所成的二面角的平面角。即EOD45

2易得AC=BD=2a，DOa，EOa，DD1DB2a

22

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

故四边形BDD1B1为正方形 连结B1D交BD1于P，交EO于Q 由B1DBD1，EO∥BD1，则B1D⊥EO

由AC平面BDD1B1ACB1D B1D平面BDD1B1故B1D面AEC，则B1Q为三棱锥B1AEC的高 33由DOPQ，则B1QB1Da 42122123又SAECACEOa 故VB1AECSAECB1Qa 2234D1A1B1QPDOAB 图3 解法2：连结B1O，则三棱锥B1AEC可以看成由三棱锥AB1OE和三棱锥C1ECCB1OE合成的，故

VB1AECVAB1OEVCB1OE1SB1OEAC 332a 4而由E、O分别为正方形BDD1B1中DD1、BD的中点，则SB1OE故VB1AEC23a 4小结：解法1直接利用锥体体积公式求解，而解法2利用切割的方法，将所求三棱锥的体积分割成两个三棱锥体积之和。合理分割或拼补可以简化体积运算，这需要一定的空间想象能力和逻辑推理能力，应加强这方面的训练。

[例3] 已知某三棱锥的侧棱长均为l，侧面三角形的顶角中有两个均为，另一个为，求该三棱锥的体积。

APBAPC，BPC，解：如图4，设三棱锥PABC中，PA=PB=PC=l

作AO平面PBC于O，由APBAPC则O在BPC的平分线上，故

BPOCPO2

作OE⊥BP于E，OF⊥CP于F，连结AE、AF，则AE⊥BP，AF⊥CP。

且AE=AF

在RtAPE中，AElsin，PElcos 在RtPOE中，OEPEtan在RtAOE中

3

版权所有 不得复制

2lcostan2

Www.chinaedu.com

AOAE2OE2l2sin2l2cos2tan2 lsincostan2222

2112又SBPCBPCPsinlsin 22113222则VABPCSBPCAOlsinsincostan 36213222由VPABCVABPC，故所求三棱锥的体积为lsinsincostan 62A

PFEOBC 图4 小结：本题若直接计算以ABC为底面的三棱锥PABC的体积，运算非常繁琐，但利用体积变换转化求等体积的另一个三棱锥，问题就非常简单了。我们在有关体积的计算问题中，经常运用这种体积变换的思想方法。 [例4] 如图5，平行四边形ABCD中，A60，AD=a，AB=2a，M、N分别是边CD、AB的中点，沿MN将面ADMN折起 （1）当二面角AMNB为60时，求三棱柱ABNDCM的侧面积和体积； （2）当二面角AMNB为多大时，这个三棱柱体积有最大值，并求出该最大值。 DDOAN图5 解： （1）折叠前，连结BD，并设BDMNO 在ABD中，ADa，AB2a，A60，由余弦定理，有 MABC BD2a24a22a23a2

222由ABADBD，则ADBD，又由MN//AD，故BDMN于点O 折叠后，由BO⊥MN，DO⊥MN，则BOD为二面角AMNB的平面角

3a 即BOD60 由BD3a，则BODO24

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

连结BD，正三角形BOD为三棱柱的直截面，故

S侧CBODl3VSBOD3332aaa 22132333l(a)sin60aa

2216（2）设BOD，由直截面为BOD，并且SBOD故三棱柱的体积为VSBODl当sin1，即132(a)sin 2233asin 83832时，三棱柱体积有最大值为a

小结：棱柱的侧面积可用直截面的周长与侧棱长乘积求得，棱柱的体积除用底面积与高乘积求得外，还可利用直截面面积与侧棱乘积求得。设棱柱高为h，侧棱为l，则体积公式为：VSh，或VS直截面l。

[例5] 如图6，正三棱锥ABCD中，底面边长为a，侧棱长为2a，过点B作与棱AC、AD相交的截面，在这样的截面三角形中

（1）求周长的最小值；

（2）求周长最小时截得小三棱锥的侧面积；

（3）求用此周长最小的截面所截的小三棱锥与原棱锥体积之比。

解：

（1）如图7，将正三棱锥的侧面沿侧棱AB展开。当B、E、F共线时，BE、EF、FB长度之和即BB的长，为截面周长的最小值。

在ACB中，AB=AC=2a，由余弦定理

AB2AC2BC24a24a2a27 cosBAC282ABAC8a3由BAB3BAC，则cosBAB4cosBAC3cosBAC

7377 4()3()

88128在ABB中，ABAB2a。由余弦定理，有

BBAB2AB22ABABcosBAB

112227 (2a)(2a)2(2a)a

128411故截面BEF的最小值为a

45

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

ABECPQFDB' 图7 （2）小三棱锥ABEF的侧面积即ABB的面积，由cosBAB则sinBAB1cosBAB1(27 128723315 )128128113323315故SABBABABsinBAB4a15a2 221283315a2 故截面BEF周长最小时，截得小三棱锥ABEF和侧面积为（3）当棱锥截面BEF周长最小时，有EF∥CD，过A作AQ⊥CD 交CD于Q，交BB于P 在RtAPB中，

711cosBAB128315a APABcosBAP2a2a228CD2a15)(2a)2()2a 222SAP29由EF∥CD，则AEF∽ACD AEF()

SACDAQ16VVS9由VABEFVBAEF，VABCDVBACD则ABEFBAEFAEF

VABCDVBACDSACD169即截面周长最小时，小三棱锥与原棱锥体积之比为

16在RtAQC中，AQAC2(小结：在空间图形中，若求某几何体两个面内两点的最短距离时，常把几何体沿棱或母线展开成平面图形，从而把空间折线或曲线转化成平面图形的直线来处理。

【模拟试题】

一. 选择题：

1. 棱柱成为直棱柱的一个必要但不充分的条件是（ ） A. 棱柱有一条侧棱与底面垂直

B. 棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直 C. 棱柱有一个侧面是矩形且它与底面垂直 D. 棱柱有两个相邻的侧面互相垂直 2. 下述棱柱中为长方体的是（ ） A. 直平行六面体

B. 对角面是全等矩形的四棱柱

6

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

C. 侧面都是矩形的直四棱柱 D. 底面是矩形的直棱柱

3. 下面说法中正确的是（ ）

（1）若棱锥的侧棱都相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心

（2）侧面与底面所成的二面角都相等，侧棱与底面所成的角也相等的棱锥是正棱锥 （3）若棱锥的顶点在底面的射影是底面三角形的垂心，则棱锥的对棱必互相垂直 （4）侧面都是等腰三角形的棱锥一定是正棱锥 A.（1）（2）（3）（4） B.（1）（2）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（3） 4. 两个对角面都是矩形的平行六面体（ ）

A. 正方体 B. 长方体 C. 直平行六面体 D. 正四棱柱 5. 三棱柱的底面是边长为4的正三角形，侧棱长为8，一条侧棱与底面相邻两边均成45角，则这三棱柱的侧面积为（ ）

A. 322 B. 4(21) C. 16(21) D. 32(21)

二. 填空题：

1. 长方体的一条对角线长为29，且有两个侧面的对角线长分别为5和25，则该长方体的全面积等于 。

2. 若正三棱锥的全面积是底面积的4倍，则此正三棱锥侧面与底面所成的二面角等于 。

三. 解答题：

1. 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，已知ABAD2a，AA1a，A1AD

DABA1AB60

（1）求证：AA1平面B1D1C；

（2）求平行六面体的体积。

7

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com

【试题答案】

一.

1. B 2. D 3. D 4. C 5. D 二.

1. 52 2. arccos 三.

证： （1）略 （2）VC1B1D1C而VC1B1D1C1 311123SB1D1CCC122a2aa 3323V3 故V22a 6学科 数学 年级

高一 内容标题 棱柱、棱锥和棱台 8

版权所有 不得复制

Www.chinaedu.com