概率论与数理统计习题集及答案_1

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《概率论与数理统计》作业集及答案 第 1 章 概率论的基本概念

§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=

(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d . §1 .2 随机事件的运算

1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ， xHAQX74J0X

§1 .3 概率的定义和性质

1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE

2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3, §1 .4 古典概型

1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。 §1 .6 全概率公式 1.

有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19 2.

第一盒中有 4 个红球 6 个白球，第二盒中有 5 个红球 5 个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球， 求取到红球的概率。dvzfvkwMI1 §1 .7 贝叶斯公式 1．

某厂产品有 70%不需要调试即可出厂，另 30%需经过调试，调试后有 80%能出厂，求（1）该厂产品能 出厂的概率， （2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。rqyn14ZNXI 2． 将两信息分别编码为 A 和 B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作 B 的概率为 0.02， B 被误收作 A 的概率为 0.01，信息 A 与信息 B 传递的频繁程度为 3 : 2，若接收站收到的信息是 A，问 原发信息是 A 的概率是多少？EmxvxOtOco §1 .8 随机事件的性

1. 电路如图，其中 A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互，且每一开关闭合的概率均为 p,求 L 与 R 为通路（用 T 表示）的概率。SixE2yXPq5 A L C D B R 3.

甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5 和 0.6，是否命中，相互， 求下列 概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。6ewMyirQFL 第 1 章作业答案

§1 .1 1： （1） S ? {HHH, HHT, HTH , THH , HTT , THT , TTH , TTT } ； （2） S ? {0, 1, 2： （1） A ? {1, 2, 3}

3, 5} B ? {3, 4, 5, 6} ； （2） A ? { 正正，正反 }, B ? { 正正，反反 }, C ? { 正正，正反，反正}。 §1 .2 1： (1) ABC ；(2) ABC ；(3) A B C ；(4) A ? B ? C ；(5) AB ? AC ? BC ； (6) A B ? A C ? B C 或 ABC ? ABC ? ABC ? ABC ；

2： (1) A ? B ? {x : 1 ? x ? 4} ；(2) AB ? {x : 2 ? x ? 3}；(3) A B ? {x : 3 ? x ? 4} ； 2 / 19 （4） A ? B ? {x : 0 ? x ? 1或 2 ? x ? 5} ； （5） AB ? {x : 1 ? x ? 4} 。 §1 .3 1： (1) P( AB) =0.3, (2) P( A B) = 0.2, (3) P( A ? B) = 0.7. 2： P( AB) )=0.4. 2 8 10 10 1 9 8 10 10 1 9 10 §1 .4 1：(1) C8 ,(2)( ,(3)1-( C22 . C22 / C30 （C22 ? C8 C22 ? C82C22 ） / C30 ? C8 C22） / C30 2： P43 / 4 3 . §1 .5 1：. 2/6； 2： 1/4。 §1 .6 1： 设 A 表示第一人“中” ，则 P(A) = 2/10 设 B 表示第二人“中” ，则 P(B) = P(A)P(B|A) + P( A )P(B| A ) = 2 1 8 2 2 ? ? ? ? 10 9 10 9 10

两人抽“中‘的概率相同, 与先后次序无关。 2： 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为： p = 0.5 × 0.4 + 0.5 × 0.5 = 0.45 §1 .7 1： （1）94% （2）70/94； 2： 0.993； §1 .8. 1： 用 A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB∪CD, 从而，由概率的性质及 A,B,C,D 的相互性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) ? p2 ? p2 ? p4 ? 2 p2 ? p4

2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；kavU42VRUs (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第 2 章 随机变量及其分布

§2.1 随机变量的概念，离散型随机变量

1 一盒中有编号为 1，2，3，4，5 的五个球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取出的 3 个球 中的最大号码., 试写出 X 的分布律. 2 某射手有 5 发子弹，每次命中率是 0.4，一次接

一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用 X 表示射 击的次数, 试写出 X 的分布律。y6v3ALoS §2.2

0 ? 1 分布和泊松分布

1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X 是服从λ =4 的泊松分布，求 (1)每分钟恰有 1 次呼叫的概率；(2)每分钟只少有 1 次呼叫的概率； (3)每分钟最多有 1 次呼叫的概率； 2 设随机变量 X 有分布律： X 2 3 , Y～π (X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y≤2)； (2)P(Y≤2)； (3) 已知 Y≤2, 求 X=2 的概率。 §2.3 1

贝努里分布

一办公室内有 5 台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相 互，问在同一时刻 M2ub6vSTnP (1) 恰有 2 台计算机被使用的概率是多少？ 3 / 19

(2) 至少有 3 台计算机被使用的概率是多少？ (3) 至多有 3 台计算机被使用的概率是多少？ (4) 至少有 1 台计算机被使用的概率是多少？ 2 设每次射击命中率为 0.2，问至少必须进行多少次射击，才能使至少击中一次的概率不小于 0.9 ？ §2.4

随机变量的分布函数

x ? ?1 ? 0 ? 1 设随机变量 X 的分布函数是： F(x) = ?0.5 ? 1 ? x ? 1 ? 1 x ?1 ? （1）求 P(X≤0 )； P ?0 ? X ? 1? ；P(X≥1)，(2) 写出 X 的分布律。 2 设随机变量 X 的分布函数是：F(x) = ?1 ? x ? Ax ? ? ?0 x?0 x?0

, 求（1）常数 A, (2) P ?1 ? X ? 2? . §2.5

连续型随机变量

1 设连续型随机变量 X 的密度函数为： f ( x) ? ? ?kx 0 ? x ? 1 ?0 其 他

（1）求常数 k 的值； （2）求 X 的分布函数 F(x)，画出 F(x) 的图形， （3）用二种方法计算 P(- 0.50.5). §2.6

均匀分布和指数分布 4 / 19

1 设随机变量 K 在区间 (0, 5) 上服从均匀分布, 求方程 4 x + 4Kx + K + 2 = 00YujCfmUCw 有实根的概率。 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从 ? ? 0.2 的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试 求你等待： （1）超过 10 分钟的概率； （2）10 分钟 到 20 分钟的概率。eUts8ZQVRd 2 §2.7

正态分布

P(X>3)；sQsAEJkW5T

1 随机变量 X～N (3, 4), (1) 求 P(22), (2)确定 c，使得 P(X>c) = P(X

(2) P(X≥1) = 0.981684, (3) P(X≤1) = 1 - P(X≥2) = 1 – 0.908422 = 0.091578。 2：(1) 由乘法公式：

P(X=2,Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2)= 0.4× ( e ?2

? 2e ?2 ? 2e ?2 )= 2 e ?2

（2）由全概率公式：P(Y≤2) = P(X=2) P(Y≤2 | X=2) + P(X=3) P(Y≤2 | X=3)zvpgeqJ1hk = 0.4× 5e ?2 + 0.6×

17 ?3 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458 2 （3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=

P( X ? 2, Y ? 2) 0.27067 ? ? 0.516 P(Y ? 2) 0.52458

§2.3 1： 设 X 表示在同一时刻被使用的台数，则 X ～B(5, 0.6),

2 (1) P( X = 2 ) = C5 0.6 2 0.43 3 4 (2) P(X ≥3 ) = C5 0.630.4 2 ? C5 0.6 4 0.4 ? 0.65 4 (3) P(X ≤3 ) = 1 - C5 0. 0.4 ? 0.65 (4)P(X ≥1 ) = 1 - 0.4 5

2： 至少必须进行 11 次射击.

§2.4 1： （1）P(X≤0 )=0.5； P ?0 ? X ? 1? = 0.5；P(X≥1) = 0.5， (2) X 的分布律为： X P -1 0.5 1 0.5 2： (1) A = 1,

(2) P ?1 ? X ? 2? =1/6

x?0 0 ? x ?1； x ?1 0 0.5 ? 0.5 0

?0 ? 2 §2.5 1： （1） k ? 2 ， （2） F ( x ) ? ? x ?1 ? （3）P(- 0.5

第 3 章 随机变量 §3.1 1.

二维离散型随机变量

设盒子中有 2 个红球，2 个白球，1 个黑球，从中随机地取 3 个，用 X 表示取到的红球个数，用 Y 表示 取到的白球个数，写出 (X, Y) 的联合分布律及边缘分布律。1nowfTG4KI

2. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为： X Y 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； (1) P( X ? 1) ? 0.6 ； (2) P( X ? 1 | Y ? 2) ? 0.5 ； 0 1 0 0.1 0.1 1 0.2 b

2 a 0.2fjnFLDa5Zo

(3)设 F ( x) 是 Y 的分布函数， F (1.5) ? 0.5 。 §3.2 1.

二维连续型随机变量

?k ( x ? y) 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 ( X、Y ) 的联合密度函数为： f ( x, y) ? ? 其 他 ? 0 求（1）常数 k； （2）P(X

1. (X, Y) 的联合分布律如下， 试根椐下列条件分别求 a 和 b 的值； (1) P(Y ? 1) ? 1 / 3 ； X Y 1 2 1 1/6 a 2 1/9 b 3 1/18 1/9

(2) P( X ? 1 | Y ? 2) ? 0.5 ； （3）已知 X 与 Y 相互。

2. (X,Y) 的联合密度函数如下，求常数 c，并讨论 X 与 Y 是否相互？ 2 ?c x y 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 f ( x, y ) ? ? 其 他 ?0 第 3 章作业答案

§3.1 X Y 1 2 2： (1) a=0.1 b=0.3HbmVN777sL 1 0.4 0.3 0.7 (2) a=0.2 b=0.2 2 0.3 0. 0.3 (3) a=0.3 b=0.1 0.7 0.3 1 §3.2 1：(1) k = 1；(2) P(X

3. 设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律为： X Y 已知 E ( XY ) ? 0.65， 0 0 0.1 1 0.2 2 a

则 a 和 b 的值是： 1 0.1 b 0.2AVktR43bpw （A）a=0.1, b=0.3； （B）a=0.3, b=0.1； （C）a=0.2, b=0.2； （D）a=0.15, b=0.25。ORjBnOwcEd

4．设随机变量 (X, Y) 的联合密度函数如下：求 EX , EY , E ( XY ? 1) 。 ? xy 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2 f ( x, y) ? ? 他 ?0 其 §4.2

数学期望的性质

0 1 2 3 0.4 （D）4. 则 E ( X 2 ? 2 X ? 3) 是： 1．设 X 有分布律： X （A）1；

p 0.1 （B）2； 0.2 0.3 （C）3；

?5 ? y x2 ? y ? 1 f ( x , y ) ? 2. 设 ( X , Y ) 有 ，试验证 E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ，但 X 与 Y 不 ?4 ? 其 他 ?0

相互。 §4.3 方差

1．丢一颗均匀的骰子，用 X 表示点数，求 EX , DX . 2． X 有密度函数： f ( x) ? ? ?( x ? 1) / 4 ?0 0? x?2 其 他 ，求 D(X). 9 / 19 §4.4

常见的几种随机变量的期望与方差

1． 设 X ~ ? (2) , Y ~ B(3, 0.6) ,相互，则 E( X ? 2Y ), D( X ? 2Y ) 的值分别是： 3． -1.6 和 4.88； （B）-1 和 4； （C）1.6 和 4.88； （D）1.6 和-4.88.

2. 设 X ~ U (a, b), Y ~ N (4, 3) ， X 与 Y 有相同的期望和方差，求 a, b 的值。 （A） 0 和 8； （B） 1 和 7； （C） 2 和 6； （D） 3 和 5. §4.6

性与不相关性 矩

1．下列结论不正确的是（ ） （A） X 与 Y 相互，则 X 与 Y 不相关； （B） X 与 Y 相关，则 X 与 Y 不相互； （C） E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ，则 X 与 Y 相互； （D） f ( x, y) ? f X ( x) f Y ( y) ，则 X 与 Y 不相关； 2．若 COV ( X , Y ) ? 0 ，则不正确的是（ ）

（A） E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) ； （B） E ( X ? Y ) ? E ( X ) ? E (Y ) ； （C） D( XY ) ? D( X ) D(Y ) ； （D） D( X ? Y ) ? D( X ) ? D(Y ) ； 3． （ X , Y ）有联合分布律如下，试分析 X 与 Y 的相关性和性。 X －1 0 1 Y －1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 ） 1 1/8 1/8 1/8 . 4． E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 是 X 与 Y 不相关的（

（A）必要条件； （B）充分条件： （C）充要条件； （D）既不必要，也不充分。 5. E ( XY ) ? E ( X ) E (Y ) 是 X 与 Y 相互的（ ）

3．必要条件； （B）充分条件： （C）充要条件； （D）既不必要，也不充分。 6. 设随机变量 (X, Y) 有联合密度函数如下：试验证 X 与 Y 不相关，但不。 10 / 19

?21x 2 y / 4 x 2 ? y ? 1 f ( x, y) ? ? 其 他 ?0 第 4 章作业答案

§4.1 §4.2 §4.3 §4.4 §4.5 §4.6 1： B； 2：3/2, 2, 3/4, 37/； 3： D； 4： 2/3，4/3，17/9；

2MiJTy0dTT 1： D； 1：7/2, 35/12； 2：11/36； 1：A； 2： B； 1：0.2， 0.355； 2：－1/144, －1/11； 1：C； 2：C； 3： X 与 Y 不相关，但 X 与 Y 不相互；4：C；5：A；

第 5 章 极限定理

*§5.1 大数定理 §5.2 中心极限定理 3.

一批元件的寿命（以小时计）服从参数为 0.004 的指数分布，现有元件 30 只，一只在用，其余 29 只 备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求 30 只元件至少能使用一年（8760 小时）的近似概率。gIiSpiue7A 4.

某一随机试验， “成功”的概率为 0.04，重复 100 次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成 功”6 次的概率的近似值。uEh0U1Yfmh 第 5 章作业答案

§5.2 2：0.1788； 3：0.8， 0.841； 第 6 章 数理统计基础 §6.1

1．

数理统计中的几个概念 ，

有 n=10 的样本；1.2， 1.4， 1.9， 2.0， 1.5， 1.5， 1.6， 1.4， 1.8， 1.4，则样本均值 X = 样本均方差 S ? 2

，样本方差 S ? 2

。IAg9qLsgBX 。

2．设总体方差为 b 有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，样本均值为 X ，则 Cov( X 1 , X ) ? §6.2

数理统计中常用的三个分布 ，

2 ?0 .1 (5) =

1. 查有关的附表，下列分位点的值： Z 0.9 = 2

， t 0.9 (10) = 。

2．设 X 1 , X 2 ,?, X n 是总体 ? (m) 的样本，求 E( X ), D( X ) 。 §6.3

一个正态总体的三个统计量的分布 11 / 19

1．设总体 X ~ N (?, ? 2 ) ，样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，样本均值 X ，样本方差 S ，则 2 X ?? ?/ n 1 n ~ ，

X ?? ~ S/ n ， ， ? 2 ?(X i ?1 i ? X )2 ～ 1 ? 2 ?(X i ?1 n i

? ?)2 ～ ，

第 6 章作业答案 §6.1 §6.2 1． x ? 1.57,

s ? 0.254, s 2 ? 0.06； 2. Cov( X 1 , X ) ? b 2 / n ； 2． E( X ) ? m,

1．-1.29， 9.236， -1.3722； D( X ) ? 2m / n ；

§6.3 1. N (0, 1), t (n ? 1), ? 2 (n ? 1), ? 2 (n) ； 第 7 章 参数估计

§7.1 矩估计法和顺序统计量法 ? ? ?x ? ?0 ? ?1

1.设总体 X 的密度函数为： f ( x) ? ? 计。 0 ? x ?1 其 他

，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，求未知参数 ? 的矩估

2.每分钟通过某桥量的汽车辆数 X ~ ? (? ) ，为估计 ? 的值，在实地随机地调查了 20 次，每次 1 分钟，结 果如下：次数： 2 3 4 5 量数： 9 5 试求 ? 的一阶矩估计和二阶矩估计。 6 3

WwghWvVhPE 7 4 §7.2

极大似然估计 ? ?( ? ? 1) x ? ?0 ?

1.设总体 X 的密度函数为： f ( x) ? ? 极大似然估计。 0 ? x ?1 其 他

，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，求未知参数 ? 的 §7.3

估计量的评价标准

? ? 2 X ? 1 是 a 的无偏估计。 3. 设总体 X 服从区间 (a, 1) 上的均匀分布，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，证明 a

4. 设总体 X ～ ? (? ) ，有样本 X 1 , X 2 ,?, X n ，证明 a X ? (1 ? a)S 2 是参数 ? 的无偏估计（ 0 ? a ? 1 ） 。 §7.4 1.

参数的区间估计

测量其纤度为： 1.36， ? 2 ) ,抽取 9 根纤维， 2

纤度是衡量纤维粗细程度的一个量， 某厂化纤纤度 X ~ N (? ,

1.49， 1.43， 1.41， 1.27， 1.40， 1.32， 1.42， 1.47， 试求 ? 的置信度为 0.95 的置信区间， （1） 若? ? 0.0 4 8 2 ,

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（2）若 ? 未知 asfpsfpi4k 2 2.

2. 为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16 个另件，测量其长度，得 x ? 12.075㎜，s = 0.0494 ㎜, 设另件长度 X ~ N ( ? , ? 2 ) ,取置信度为 0.95 ， （1） 求 ? 的置信区间， （2） 求 ? 的置信区间。 ooeyYZTjj1 2

第 7 章作业答案 §7.1 1： ( X 2 ) ； 1? X n

2： 5， 4.97； §7.2 1： ( ? ln X i ?1 n ? 1) 2 ； i

§7.3 §7.4

1： （1.377，1.439） ， （1.346，1.454） ； 2： （0.0013，0.0058） ；(0.036, 0.076)BkeGuInkxI 第8章 §8.1

假设检验

假设检验的基本概念

400) ,随机抽取 25 个元件，测得平均电阻值 x ? 992， , 1. 某种电子元件的阻值（欧姆） X ~ N (1000

试在 ? ? 0.1下检验电阻值的期望 ? 是否符合要求？

2 2. 在上题中若 ? 未知，而 25 个元件的均方差 s ? 25 ，则需如何检验，结论是什么？ §8.2

假设检验的说明

X ~ N (? , ) ,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质 1. 设第一道工序后，半成品的某一质量指标

量指标作假设检验 H 0 : ? ? ? 0 ， H1 : ? ? ? 0 ； n ? 16 ，当 X 与 ? 0 的绝对偏差不超过 3.29 时，许进入 下一工序，试推算该检验的显著性水平。PgdO0sRlMo §8.3

一个正态总体下参数的假设检验

1. 成年男子肺活量为 ? ? 3750毫升的正态分布，选取 20 名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定 他们的肺活量，得平均值为 x ? 3808毫升，设方差为 ? （取 ? ? 0.02 ）？3cdXwckm15 2

? 1202 ，试检验肺活量均值的提高是否显著 第 8 章作业答案 §8.1 §8.2 §8.3 1：拒绝 H 0 : ? ? 1000； 1：0.1； 1：拒绝 H 0 ； 13 / 19 2： 接受 H 0 : ? ? 1000；

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