初三圆的有关概念性质

【课前展练】

1.如图，已知BD是⊙O直径，点A、C在⊙O上，ABBC，∠AOB=60，则∠BDC的度数是 ° ° ° D. 40°

2.如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的大小为（ ） A．28° B．56° C．60° D．62°

DOABC

3.如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C=50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是( ) ￥

A．45° B．85° C．90° D．95°

4.如图，⊙P内含于⊙O，⊙O的弦AB切⊙P于点C，且AB∥OP．若阴影部分的面积为9，则弦AB的长为（ ） A．3 B．4 C．6 D．9

5.在⊙O中，直径AB⊥CD于点E，连接CO并延长交AD于点F,且CF⊥AD.求∠D的度数.

6.如图，圆内接四边形ABCD，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于E。 （1）请你写出四个不同类型的正确结论； （2）若BE=4，AC=6，求DE。

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【要点提示】圆的基本性质应用要点：垂径定理，圆周角定理。垂径定理是圆中利用勾股定理进行计算的基础，圆周角定理是圆中角度转换的基本依据。 【考点梳理】

1．圆的有关概念：（1）圆：（2）圆心角： （3）圆周角： （4）弧： （5）弦： 2．圆的有关性质：

（1）圆是轴对称图形，其对称轴是 ；

垂径定理：垂直于弦的直径 ，并且 ． *

推论：平分弦（不是直径）的直径 ，并且 ．

（2）圆是中心对称图形，对称中心为 ．圆是旋转对称图形，圆绕圆心旋转任意角度，都能和原

来的图形重合（这就是圆的旋转不变性）.

弧、弦、圆心角的关系：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所 对应的其余各组量都分别相等．

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；

直径所对的圆周角是 ；900的圆周角所对的弦是 ． 3．三角形的内心和外心:

（1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． )

（2）三角形的外心： （3）三角形的内心： 4. 圆周角定理

同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都相等，等于它所对的圆心角的一半． 圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 【课堂小结】

垂径定理、圆心角与弧关系定理、圆周角定理是证明和解决圆中线段之间、弧之间、圆心角、圆周角这间和差倍分关系的基本理论依据.

与圆有关的位置关系

【课前展练】 .

1.⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定

2.如图，国际奥委会会旗上的图案是由五个圆环组成，在这个图案中反映 出的两圆位置关系有（ ） A．内切、相交 B．外离、相交 C．外切、外离 D．外离、内切

3. 已知⊙O1半径为3cm，⊙O2半径为4cm，并且⊙O1与⊙O2相切，则这两个圆的圆心距为（ ） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm或7cm

5. 已知⊙O的半径是3，圆心O到直线AB的距离是3，则直线AB与⊙O的位置关系是 . 《

【要点提示】点、直线、圆与圆的位置关系可以由相关的数据关系来确定，反过来，由相关的数据关系可以确定点、直线、圆与圆的位置关系。这是考查的重点所在。 【知识梳理】

1. 点与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ ；对应的点到圆心的距离d和半径r之间的数量关系分别为：

①d r，②d r，③d r.

2. 直线与圆的位置关系共有三种：① ，② ，③ . 对应的圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的数量关系分别为： ①d r，②d r，③d r.

3. 圆与圆的位置关系共有五种：（两圆圆心距为d，半径分别为r1,r2）

/

相交r1r2dr1r2； 外切dr1r2；

内切dr1r2； 外离dr1r2； 内含0dr1r2

切线的性质与判定

【课前展练】

1. 如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为（ ）

A． 3cm B． 4cm C． 6cm D． 8cm

A

F BAF

ONEM CDB 第1题图 ! 第5题图 第4题图 2. … 3. 如图，某航天飞机在地球表面点P的正上方A处，从A处观测到地球

AQ，若∠QAP=，地球半径为R，则航天飞机距地球表面的最近距离Q两点间的地面距离分别是（ ）

PDEC上的最远点AP，以及P、

R(90)RRR B. R,,sin180sin180R(90)RR(90)RC. D. R,R,sin180cos180A.

QO4. 如图，AM、AN分别切⊙O于M、N两点，点B在⊙O上，且∠MBN =70°，则

A= ．

5. 如图，直径分别为CD、CE的两个半圆相切于点C，大半圆M的弦与小半圆N相切于点F，且AB∥CD，AB=4，设CD、CE的长分别为x、y，线段ED的长为z，则z(xy)的值为____________. 6. 如图，正方形ABCD中，半圆O以正方形ABCD的边BC为直径，AF切

AF的延长线交CD于点E，则DE：CE= 。

7. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，BC∥OA，⊙P分BC相切于点E、D、B，与AB交于点F．已知A（2,0），B（1，2），则tan∠FDE= ．

8. 如图1，⊙O内切于△ABC，切点分别为

连结OE，OF，DE，DF， D，E，F．B50°，C60°，

则EDF等于（ ） :

A E O C F 半圆O于点F，别与OA、OC、

》 B A．40° B．55° C．65° D．70° 【考点梳理】

考点1：切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 切线的判定常用方法有三种：

（1）和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。

（2）和圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线。

（3）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ~

辅助线的作法：

证明一条直线是圆的切线的常用方法有两种：

（1）当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来,则得到半径，然后证明直线垂直于这条半径，记为“点已知，连半径，证垂直。”应用的是切线的判定定理。

（2）当直线和圆的公共点没有明确时，过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离（d）等于半径(r)，记为“点未知，作垂直，证半径”。应用的是切线的判定方法（2）。 考点2：切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。 辅助线的作法：

有圆的切线时，常常连接圆心和切点得切线垂直半径。记为“见切线，连半径，得垂直。”

…

考点3：切线长定理：

从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角． 对于切线长定理，应明确：

（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；

（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；

（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；

（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补； （5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

【要点提示】

切线的判定和性质在中考中是重点内容，试题题型灵活多样，多以填空、选择、解答题出现，在孝感市历年中考中，几何的考查基本集中在考查切线的性质和判定定理。 【典型例题】 A例1：如图15，以Rt△ABC的直角边AC为直径作⊙O，交斜边AB于点D，

DE为BC边的中点，连DE.

O⑴请判断DE是否为⊙O的切线，并证明你的结论. ⑵当AD：DB=9：16时，DE=8cm时，求⊙O的半径R. 例2：如图，AB为

O的直径，PQ切O于T，ACPQCEA B于C，交

O于D．

（1）求证：AT平分BAC；（5分） ,

（2）若AD2，TC]O T D C Q P B3，求O的半径．（5分）

APM例3：如图，等边△ABC内接于⊙O，P是AB

上任一点（点P不与点A、B重合），连AP、BP，过点C 作CM∥BP交的延长线于点M.

（1）填空：∠APC=______度，∠BPC=_______度； （2）求证：△ACM△BCP；

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.

BOC例4：如图1，⊙O是边长为6的等边△ABC圆，点D在⌒BC上运动(不与点B、C重合)，过DE∥BC交AC的延长线于点E，连接AD、CD． (1)在图1中，当AD＝210时，求AE的长． (2)如图2，当点D为⌒BC的中点时：

①DE与⊙O的位置关系是 ；

②求△ACD的内切圆半径r．

B

D

~

A

的外接点D作

A O

C E

图1

B

D 图2 O

C E