圆
一、知识点梳理 知识点1：圆的定义：
1. 圆上各点到圆心的距离都等于 .
2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；
圆又是 对称图形， 是它的对称中心. 知识点2：弦、弧、半圆、优弧、同心圆、等圆、等弧、圆心角、圆周角等与圆有关的概念
1.在同圆或等圆中，相等的弧叫做 2. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 .
3. 直径所对的圆周角是 ，90°所对的弦是 . 例1 P为⊙O内一点，OP=3cm，⊙O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为________；•最长弦长为_______．
例2 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90度．点P是半圆弧AC的中点，连接BP交AC于点D，若半圆弧的圆心为O，点D、点E关于圆心O对称．则图中的两个阴影部分的面积S1，S2之间的关系是（ ）
A．S1＜S2 B．S1＞S2 C．S1=S2 D．不确定
例3 如图，正方形的边长为a，以各边为直径在正方形内画半圆，所围成的图形（阴影部分）的面积为（ ）
A．πa2-a2 B．2πa2-a2 C．1πa2-a2 D．a2-1πa224 例4 车轮半径为0.3m的自行车沿着一条直路行驶，车轮绕着轴心转动的转速为100转/分，则自行车的行驶速度（ ）
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A．3.6π千米/时 B．1.8π千米/时 C．30千米/时 D．15千米/时
例5 如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一条直线上，图中弦的条数有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 知识点3：圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两个圆周角中有一组量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 .
知识点4：垂径定理
垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ； 平分弦(不是直径)的 垂直于弦，并且平分 .
例1、如图（1）和图（2），MN是⊙O的直径，弦AB、CD•相交于MN•上的一点P，•∠APM=∠CPM．
（1）由以上条件，你认为AB和CD大小关系是什么，请说明理由． （2）若交点P在⊙O的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
例2 在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（ ）
A．6分米 B．8分米 C．10分米 D．12分米
例3 小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（ ）
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A．2 B．5 C．22 D．3 例4如图所示，某宾馆大厅要铺圆环形的地毯，工人师傅只测量了与小圆相切的大圆的弦AB的长，就计算出了圆环的面积，若测量得AB的长为20米，则圆环的面积为（ ）
A．10平方米 B．10π平方米 C．100平方米 D．100π平方米 例5 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．8.8cm B．8cm C．9cm D．10cm
例6 如图，BE是半径为6的圆D的1圆周，C点是弧BE上的任意一点，⌒
4△ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（ ） A．12＜P≤18 B．18＜P≤24 C．18＜P≤18+6≤12+62 2 D．12＜P知识点5：确定圆的条件及内切圆
三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的___________、这个圆的圆心叫做三角形的 、这个三角形是圆的 . 切线的判定与性质
判定切线的方法有三种：①利用切线的定义：即与圆有 的直线是圆的切线。
②到圆心的距离等于 的直线是圆
的切线。
③经过半径的外端点并且 于这条
半径的直线是圆的切线。
切线的五个性质：①切线与圆只有 公共点；
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②切线到圆心的距离等于圆的 ； ③切线垂直于经过切点的 ；
④经过圆心垂直于切线的直线必过 ； ⑤经过切点垂直于切线的直线必过 。
三角形内切圆
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的 ，三角形内切圆的圆心叫三角形的 . 切线长定理
经过圆外一点作圆的切线，这点与 之间的线段的长度，叫做
这点到圆的切线长.过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .
例1 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，CD=3，AB=4A．522，则⊙O的直径等于（ ）
2 B．32 C．52 D．7 例2 如图，在坐标平面上，Rt△ABC为直角三角形，∠ABC=90°，AB垂直x轴，M为Rt△ABC的外心．若A点坐标为（3，4），M点坐标为（-1，1），则B点坐标为何（ ）
A．（3，-1） B．（3，-2） C．（3，-3） D．（3，-4） 例3 如图所示，已知⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，连接CD，若AD=3，AC=2，则cosD的值为（ ） A．3 B．5 C ．5232 D．2
3知识点6：点与圆的位置关系
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(1)点与圆的位置关系：点在圆内、点在圆上、点在圆外. 其中r为圆的半径，d为点到圆心的距离， 位置关系 点在圆内 点在圆点在圆外 上 数量(d与r)的大小d r 关系 例1 如图，在Rt△ABC中，直角边AB3，BC4，点E，F分别是BC，AC的中点，以点A为圆心，AB的长为半径画圆，则点E在圆A的_________，点F在圆A的_________．
4)．例2 在直角坐标平面内，圆O的半径为5，圆心O的坐标为(1，试
1)与圆O的位置关系． 判断点P(3，d r d r 例3 如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ
上A处距离O点240米，如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为（ ）
A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．24秒 例4 矩形ABCD中，AB=8，BC=35，点P在边AB上，且BP=3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是（ ） A．点B、C均在圆P外 B．点B在圆P外、点C在圆P内
C．点B在圆P内、点C在圆P外 D．点B、C均在圆P内
例5 一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm，则圆的半径为（ ）
A．16cm或6cm B．3cm或8cm C．3cm D．8cm
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知识点7：直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有三种：相交 、相切、相离．
设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离，直线与圆的位置关系如下表： 位置关系 公共点个数 数量关系 d r d r d r 相离 0 相切 1 相交 2 例1、 在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？
例2．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB=•∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径． 例3 如图，在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，则直线y=x-O的位置关系是（ ）
2与⊙A．相离 B．相切 C．相交 D．以上三种情况都有可能 例4 如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90° 知识点8：圆和圆的位置关系
设两圆半径分别为R和r。圆心距为d。(R＞r) 1. 两圆外离
_____________； 2. 两圆外切
_____________；
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3. 两圆相交______________； 4. 两圆内切
_____________； 5. 两圆内含
______________.
例1．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上． （1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（－2，0）且与⊙A相切，求B点坐标． 例2已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．内切 C．外切 D．外离
例3如图，⊙O1，⊙O，⊙O2的半径均为2cm，⊙O3，⊙O4的半径均为1cm，⊙O与其他4个圆均相外切，图形既关于O1O2所在直线对称，又关于O3O4所在直线对称，则四边形O1O4O2O3的面积为（ ）
A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2
例4定圆O的半径是4cm，动圆P的半径是2cm，动圆在直线l上移动，当两圆相切时，OP的值是（ ）
A．2cm或6cm B．2cm C．4cm D．6cm 课堂小结：
一、这章有三条常用辅助线：一是圆心距，第二是直径圆周角，第三条是切线径，就是连接圆心和切点的，或者是连接圆周角的距离。
二、有几个分析题目的思路，在圆中有一个非常重要，就是弧、弦与圆周角互相转换，那么怎么去应用，就根据题目条件而定。
作业
一、选择题
1．（北京市西城区）如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，
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PA切⊙O于点A，如果PA＝
3，PB＝1，那么∠APC等于 （）
（A）15 （B）30 （C）45 （D）60
2．（北京市西城区）如果圆柱的高为
20厘米，底面半径是高的1，
4那么这个圆柱的侧面积是 （）
（A）100π平方厘米 （B）200π平方厘米 （C）500π平方厘米 （D）200平方厘米
3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为 （ ）
（A）25寸 （B）13寸 （C）25寸 （D）26寸
24．（北京市朝阳）已知：如图，⊙O半径为5，PC切⊙O于点C，PO交⊙O于点A，PA＝4，那么PC的长等于（ ） （A）6 （B）2
5
C）2
10 （D）2
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5．（北京市朝阳）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于（ ） （A）2厘米 （B）28厘米
二、填空题
1．（北京市东城区）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、
2厘米
（C）4厘米 （D）
C，
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D是优弧上的一点，已知∠BAC＝80，那么∠BDC＝__________度．
2．（北京市东城区）在Rt△ABC中，∠C＝90，AＢ＝3，BC＝1，以
AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是
__________．
3．（北京市海淀区）如果圆锥母线长为6厘米，那么这个圆锥的侧面积是_______平方厘米
4．（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米×60米”，
经测量这筒保鲜膜的内径1、外径2的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜
膜的厚度约为_________厘米（π取3.14，结果保留两位有效数字）． 三、解答题：
1．（苏州市）已知：如图，△ABC内接于⊙O，过点
B作⊙O的切线，交CA的延长线于点E，∠EBC＝2∠C．
①求证：AB＝AC；
②若tan∠ABE＝1，（ⅰ）求AB的值；（ⅱ）求当
2BCAC＝2时，AE的长．
2．（广州市）如图，PA为⊙O的切线，A为切点，⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C，PA＝8cm，PB＝4cm，求⊙O的半径．
3．（河北省）已知：如图，BC是⊙O的直径，AC切⊙O于点C，AB交⊙O于点D，若AD︰DB＝2︰3，AC＝10，求sinB的值．
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4．（北京市海淀区）如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O的割线，CD⊥AB于点D，若tanB＝1，PC＝10cm，求三
2角形BCD的面积．
5．（宁夏回族自治区）如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切，D为切点，且MN∥AB，MN＝a，ON、
CD分别为两圆的半径，求阴影部分的面积．
6．（四川省）已知，如图，以△ABC的边AB作直径的
⊙O，分别并AC、BC于点D、E，弦FG∥AB，S△CDE︰S△ABC＝1︰4，
DE＝5cm，FG＝8cm，求梯形AFGB的面积．
7．（贵阳市）如图所示：PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过点O的割线，
PA＝10，PB＝5，求：
（1）⊙O的面积（注：用含π的式子表示）； （2）cos∠BAP的值．
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