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相似三角形题型及解法归纳讲义
A字形，A’形，8字形，蝴蝶形，双垂直,旋转形
BA
E
DC ABA
ECE
D
CDBCADB
双垂直结论:射影定理：
①直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项． ②每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项 ⑴△ACD∽△CDB→AD:CD=CD:BD→CD2=AD•BD ⑵△ACD∽△ABC→AC:AB=AD:AC→AC2=AD•AB ⑶△CDB∽△ABC→BC:AC=BD:BC→BC2=BD•AB
结论：⑵÷⑶得AC2:BC2=AD:BD
结论：面积法得AB•CD=AC•BC→比例式
证明等积式(比例式)策略
1、直接法：找同一三角形两条边 变化：等号同侧两边同一三角形 三点定形法
2、间接法： ⑴ 3种代换 ①等线段代换； ②等比代换； ③等积代换；
⑵创造条件 ①添加平行线——创造“A”字型、“8”字型 ②先证其它三角形相似——创造边、角条件
相似判定条件：两边成比夹角等、两角对应三边比
相似终极策略：
遇等积，化比例，同侧三点找相似；四共线，无等边，射影平行用等比； 四共线，有等边，必有一条可转换；两共线，上下比，过端平行条件边。 彼相似，我角等，两边成比边代换。
①∠ABC=∠ADE．求证：AB·AE=AC·AD
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②△ABC中，AB=AC，△DEF是等边三角形 ,求证：BD•CN=BM•CE．
③等边三角形ABC中，P为BC上任一点，AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点。 求证：BP•PC=BM•CN
☞有射影，或平行，等比传递我看行 斜边上面作高线，比例中项一大片
①在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E为AC的中点，求证：AB•AF=AC•DF
F
BD
ACE ②
ABCD
③梯形ABCD中，AD//BC，作BE//CD,求证：OC2=OA.OE
☞四共线，看条件，其中一条可转换；
①Rt△ABC中四边形DEFG为正方形。求证：EF2=BE•FC
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②△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥BA，求证：BP2=PE·PF。
③AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于E，交AB于F. 求证： DE2=BE·CE.
A
F12
DCE B ☞两共线，上下比，过端平行条件边。
①AD是△ABC的角平分线.求证：AB:AC=BD:CD.
A E12
3C BD
②在△ABC中，AB=AC，求证：DF:FE=BD:CE.
A EB
CF
D
③在△ABC中，AB>AC，D为AB上一点，E为AC上一点，AD=AE， 直线DE和BC的延长线交于点P，求证：BP:CP=BD:CE.
A
D E BPC④在△ABC中，BF交AD于E.
(1)若AE:ED=2:3，BD:DC=3:2，求AF:FC；
A F
E BCD
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(2)若AF:FC=2:7，BD:DC=4:3，求AE:ED.
AEBODC（3）BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 ，求:AF:FC
⑤在△ABC中，D、E分别为BC的三等分点，AC边上的中线BM交AD于P，交AE于Q，若BM=10cm，试求BP、PQ、QM的长.
⑥△ABC中，AC=BC，F为底边AB 上的一点，结AD并延长交BC于E.（1）
（m、n＞0），取CF的中点D， 连
的值.（2）如果BE=2EC，那么CF所在直线与边AB有
怎样的位置关系？证明你的结论； （3）E点能否为BC中点？如果能，求出相应的的值；如果不能，证明你的结论。
☞彼相似，我条件，创造边角再相似①AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE， 试说明△EBC∽△DEB
②已知ABD∽ACE，求证：ABC∽ADE．
③D为△ABC内一点，连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，求证：△DBE∽△ABC。
④D、E分别在△ABC的AC、AB边上，且AE•AB=AD•AC，BD、CE交于点O. 求证：△BOE∽△COD.
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