第2讲 力的合成与分解
知识点一 力的合成和分解 1．合力与分力
(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个共点力共同作用产生的效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，原来那几个力叫做分力。
(2)关系：合力和分力是等效替代的关系。 2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的力。如下图所示均是共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。 (2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向。如图甲所示。
②三角形定则：把两个矢量首尾相接，从而求出合矢量的方法。如图乙所示。
4．力的分解
(1)定义：求一个已知力的分力的过程。 (2)遵循原则：平行四边形定则或三角形定则。 (3)分解方法：①按力产生的效果分解；②正交分解。 知识点二 矢量和标量
1．矢量：既有大小又有方向的量，相加时遵从平行四边形定则。 2．标量：只有大小没有方向的量，求和时按代数法则相加。
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1．(人教版必修1·P65·例题改编)
如图所示，把光滑斜面上的物体所受重力mg分解为F1、F2两个力。图中FN为斜面对物体的支持力，则下列说法正确的是( )
A．F1是斜面作用在物体上使物体下滑的力 B．物体受到mg、FN、F1、F2共四个力的作用 C．F2是物体对斜面的压力
D．力FN、F1、F2这三个力的作用效果与mg、FN这两个力的作用效果相同
D [F1是重力沿斜面向下的分力，其作用效果是使物体沿斜面下滑，施力物体是地球，故选项A错误。物体受到重力mg和支持力FN两个力的作用，F1、F2是重力的分力，故选项B错误。F2是重力沿垂直于斜面方向的分力，其作用效果是使物体压斜面，F2的大小等于物体对斜面的压力，但二者的受力物体不同，F2的受力物体是物体本身，物体对斜面的压力的受力物体是斜面，故选项C错误。合力与分力共同作用的效果相同，故选项D正确。]
2.
(人教版必修1·P61·图3.4－1改编)(多选)小娟、小明两人共提一桶水匀速前行，如图所示，已知两人手臂上的拉力大小相等且为F，两人手臂间的夹角为θ，水和水桶的总重力为G，则下列说法中正确的是( )
A．当θ＝120°时，F＝G GB．不管θ为何值时，都有F＝
2G
C．当θ＝0°时，F＝ 2D．θ越大，则F越小
1G
AC [由力的合成可知，在两分力相等，θ＝120°时，F合＝F＝G；θ＝0°时，F＝F合＝，22故选项A、C正确，B错误。在
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合力一定时，分力间的夹角θ越大，则分力越大，故选项D错误。]
3．(人教版必修1·P·T2改编)有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为( )
A．6 N C．12 N B
4．(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为( )
A．60 N C．300 N C
B.240 N D.420 N B.62 N D.0
考点一 共点力的合成
1．合成方法 (1)作图法。
(2)计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出合力，是解题的常用方法。
2．几种特殊情况的共点力的合成
类 型 作 图 合力的计算 2＋F2 F＝F12两力互相垂直 F1tan θ＝ F2θF＝2F1cos 2 θF与F1夹角为 2两力等大，夹角为θ 两力等大且夹角为120° 3.合力的大小范围 (1)两个共点力的合成|F1－F2|≤F合≤F1＋F2
F′＝F - 3 -
(2)三个共点力的合成
①最大值：三个力共线且同向时，其合力最大，大小为F1＋F2＋F3。
②最小值：任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力的最小值为零，如果第三个力不在这个范围内，则合力的最小值为最大的一个力减去另外两个较小的力的大小之和。
(2020·河南郑州质检)(多选)一名杂技演员在两幢高10 m的楼之间表演“高空走钢
丝”。当他缓慢经过钢丝的中点时，钢丝与水平方向的夹角为10°。已知演员及横杆的总质量为60 kg，钢丝重量不计。重力加速度为10 m/s2，sin 10°＝0.17，下列说法正确的有( )
A．演员经过钢丝中点时，钢丝上的张力约为3 530 N B．演员经过钢丝中点时，钢丝上的张力约为1 765 N
C．演员经过中点后又向右走了几步停下来，此时钢丝对演员的作用力方向朝左上方 D．如果更换一根更长的钢丝表演，演员经过钢丝中点时，钢丝上的张力会减小 BD [本题考查力的合成的定量计算与动态分析。 对杂技演员在钢丝中点时进行受力分析，如图所示。
mg600根据平衡条件有2Fsin θ＝mg，可得F＝＝ N≈1 765 N，故A错误，B正确；
2sin θ2×0.17当演员走几步停止后依然受力平衡，由平衡条件可知钢丝对人的作用力的合力与其重力等大反向，即方向竖直向上，故C错误；如果换成更长的钢丝，人在中点平衡时对应的夹角θ变mg
大，由F＝可知钢丝的张力变小，故D正确。]
2sin θ
1．两个共点力的大小分别为6 N和8 N，这两个共点力的合力的最大值是( ) A．6 N C．10 N
B.8 N D.14 N
D [当夹角为零时合力最大，最大值为6 N＋8 N＝14 N，所以D正确。]
2．(2020·福建龙岩模拟)有三个力，分别为12 N、6 N、7 N，则关于这三个力的合力，下
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列说法正确的是( )
A．合力的最小值为1 N C．合力不可能为20 N B
3．如图所示是一个单边斜拉桥模型，均匀桥板重为G，可绕通过O点的水平固定轴转动。7根与桥面均成30°角的平行钢索拉住桥板，其中正中间的一根钢索系于桥的重心位置，其余钢索等距离分布在它的两侧。若每根钢索所受拉力大小相等且等于F，则( )
B.合力的最小值为零 D.合力可能为30 N
1A．F＝G
73
C．F＝G
7
2B.F＝G
74D.F＝G
7
B [钢索拉力和桥板重力的合力沿着桥板指向O点，否则桥板会绕O点转动；根据牛顿第三定律可知，过O点的轴对桥板的支持力水平向左；对桥板受力分析可知，桥板受重力、2
拉力和支持力，根据平衡条件，有7FTsin 30°＝G，解得FT＝G，由牛顿第三定律可知，F＝
72
FT＝G，选项B正确。]
7
考点二 力分解的两种常用方法
考法① 力的效果分解法
1．根据力的实际作用效果确定,两个实际分力的方向。 2．再根据两个实际分力方向画出,平行四边形。 3．最后由三角形知识求出,两分力的大小。
(2018·天津卷·7)(多选)
明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力为FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ 小时FN大
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C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大 BC [
根据力F的作用效果将力F分解为垂直于木楔两侧的力FN，如图所示。 Fθ则＝FNsin 22F即FN＝
θ2sin
2
所以当F一定时，θ越小，FN越大；当θ一定时，F越大，FN越大。故选项B、C正确。] 考法② 正交分解法
1．建系原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，常以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
2.分解步骤：把物体受到的多个力F1、F2、F3、…依次分解到x轴、y轴上。
x轴上的合力： Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋… y轴上的合力： Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
2
合力大小：F＝F2x＋Fy
合力方向：与x轴夹角为θ， Fy则tan θ＝。
Fx
(2019·江苏卷·2)
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如图所示，一只气球在风中处于静止状态，风对气球的作用力水平向右。细绳与竖直方向的夹角为α，绳的拉力为FT，则风对气球作用力的大小为( )
FTA. sin αC．FTsin α
FTB. cos αD.FTcos α
C [以气球为研究对象，受力分析如图所示，则由力的平衡条件可知，气球在水平方向的合力为零，即风对气球作用力的大小为F＝FTsin α，C正确，A、B、D错误。]
4.
(2019·山东济南期末)如图所示，将小物块P轻轻放到半圆柱体上时，小物块只能在圆柱体上A到B之间保持静止。若小物块与圆柱体之间的动摩擦因数为动摩擦力，则图中∠AOB为( )
A．30° C．90°
B.60° D.120°
3，最大静摩擦力等于滑3
B [物块P在A、B两点时，所受的摩擦力等于最大静摩擦力，设此时OA与竖直方向夹角为θ，则由平衡知识可知mgsin θ＝μmgcos θ，解得θ＝30°，即∠AOB＝60°，故选B。]
5．(多选)将物体所受重力按力的效果进行分解，图中正确的是( )
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ABD [A项中物体重力分解为垂直于斜面使物体压紧斜面的分力G1和沿斜面向下使物体向下滑的分力G2，B项中物体的重力分解为沿两条细绳使细绳张紧的分力G1和G2，A、B正确。C项中物体的重力应分解为垂直于两接触面使物体压紧两接触面的分力G1和G2，故C错误。D项中物体的重力分解为水平向左使球压紧墙的分力G1和沿绳向下使绳张紧的分力G2，故D正确。]
6.
刀、斧、凿等切削工具的刃部叫做劈，如图是用斧头劈木柴的示意图。劈的纵截面是一个等腰三角形，使用劈的时候，垂直劈背加一个力F，这个力产生两个作用效果，使劈的两个侧面推压木柴，把木柴劈开。设劈背的宽度为d，劈的侧面长为l，不计斧头的自身重力，则劈的侧面推压木柴的力约为( )
d
A.F llC.F 2d
lB.F ddD.F 2l
B [斧头劈木柴时，设两侧面推压木柴的力分别为F1、F2且F1＝F2，利用几何三角形与dll
力三角形相似有＝，得推压木柴的力F1＝F2＝F，所以B正确，A、C、D错误。]
FF1d
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科学思维系列④——“死结”和“活结”模型
模型① “死结”模型
“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
如图所示，重为100 N的物体保持静止不动，轻杆OA一端用铰链连接于A点，OA水平，轻绳OB与水平方向夹角为30°，B端固定在墙上，则轻绳OB和轻杆对O点的作用力分别为( )
A．1003 N 200 N C．100 N 503 N B [解法一 合成法
B.200 N 1003 D.503 N 100 N
系物体的轻绳的拉力为100 N，分析结点O受力，如图甲所示，将轻杆的弹力FOA与轻绳F合GOB的拉力FOB进行合成，合力大小等于重力，方向与重力相反。有FOB＝＝＝200
sin 30°sin 30°F合G
N，FOA＝＝＝1003 N。故选项B正确。
tan 30°tan 30°
解法二 效果分解法
G
根据G的作用效果将其沿轻绳OB方向和轻杆方向分解，如图乙所示。则FOB＝F2＝
sin 30°
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G
＝200 N，FOA＝F1＝＝1003 N。故选项B正确。
tan 30°
解法三 正交分解法
以结点O为坐标原点，以重力所在的方向为y轴，以FOA所在的方向为x轴，建立直角G
坐标系，将FOB沿x轴和y轴方向分解，如图丙所示，则Fy＝FOBsin 30°＝G，得FOB＝
sin 30°＝200 N，FOA＝Fx＝FOBcos 30°＝1003 N。故选项B正确。]
模型② “活结”模型
“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳子。
(2016·全国丙卷·17)
如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )
m
A. 2C．m C [
B.
3m 2
D.2m
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如图所示，由于不计摩擦，线上张力处处相等，且轻环受细线的作用力的合力方向指向圆心。由于a、b间距等于圆弧半径，则∠aOb＝60°，进一步分析知，细线与aO、bO间的夹角皆为30°。取悬挂的小物块研究，悬挂小物块的细线张角为120°，由平衡条件知，小物块的质量与小球的质量相等，即为m。故选项C正确。]
1．(2020·辽宁葫芦岛模拟)如图所示，细绳一端固定在A点，另一端跨过与A等高的光滑定滑轮B后悬挂一个砂桶Q(含砂子)。现有另一个砂桶P(含砂子)通过光滑挂钩挂在A、B之间的细绳上，稳定后挂钩下降至C点，∠ACB＝120°，下列说法正确的是( )
A．若只增加Q桶中的砂子，再次平衡后P桶位置不变 B．若只增加P桶中的砂子，再次平衡后P桶位置不变 C．若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后P桶位置不变 D．若在两桶内增加相同质量的砂子，再次平衡后Q桶位置上升
C [对砂桶Q分析有，Q受到细绳的拉力大小FT＝GQ，设AC、BC之间的夹角为θ，对θ
C点分析可知C点受三个力而平衡，由题意知，C点两侧的绳张力相等，故有2FTcos，联立
2θ
可得2GQcos＝GP，故只增加Q桶中的砂子，即只增加GQ，夹角θ变大，P桶上升，只增加
2θ
P桶中的砂子，即只增加GP，夹角θ变小，P桶下降，选项A、B错误；由2GQcos＝GP可
2知，当θ＝120°时有GQ＝GP，此时若在两砂桶内增加相同质量的砂子，上式依然成立，则P桶的位置不变，选项C正确，D错误。]
2．(多选)在上题中，将与砂桶P连接的光滑挂钩改为质量不计的细绳，细绳系在C点，如图所示，在两砂桶中装上一定质量的砂子，砂桶(含砂子)P、Q的总质量分别为m1、m2，系统平衡时，∠ACB＝90°、∠CAB＝60°，忽略滑轮的大小以及摩擦。则下列说法正确的是( )
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A．m1∶m2＝1∶1 B．m1∶m2＝2∶1
C．若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置上升 D．若在两桶内增加相同质量的砂子，C点的位置保持不变
BC [
以结点C为研究对象，受力分析如图所示，其中F＝m1g、FB＝m2g，由力的平衡条件可FB
知FA＝Fcos 30°＝m1gcos 30°，由几何关系可知FA＝，整理解得m1∶m2＝2∶1，选项A
tan 30°错误，B正确；由以上分析可知当砂桶(含砂子)P、Q的总质量的比值为2时，AC与BC保持垂直状态，C点的位置保持不变，而若在两桶内增加相同质量的砂子，则两砂桶(含砂子)质量的比值会小于2，则桶Q向下移动，C点的位置上升，选项C正确，D错误。]
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