圆中三角函数综合例题及练习

如下：

中的三角函数

解决几何图形的三角函数求值问题，关键在于，找到相关的直角三角形.若没有现成的直角三角形，则需根据所给的条件，合理构造直角三角形，或把角进行转化。圆中有关此类问题的解决也不例外，现就解题策略分析

一、用圆周角的性质把角转化到直角三角形中

例1(成都市)如图1，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， AC22，那么sin∠ABD的值是 ．

解析：在⊙O中，∠ACD=∠ABD；

又由于AB为⊙O的直径，CD⊥AB，则∠ACD=∠ABC. Rt△ABC中，AB=从而sin∠ABD=

C A B D 图1

BC=1，

O AC2BC2=(22)212=3,

AC22=.

3AB评注：借用“同弧所对圆周角相等”，把要求函数值的角予以转化，充分本现了转化思想的巧妙运用。 二、用直径与所对圆周角构造直角三角形

例2(烟台市)已知ＡＢ是半圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，若∠DPB=α，那么 A．sinα B．COSα C．tanα D．

CD等于 AB1

tan解析： 连结BD,由于AB为直径,则∠ADB=90°, 于是,在Rt△PBD中,有COSα=

PD, PB而点C和点A在圆周上，所以∠A=∠C， 又∠APB=∠CPD，则△APB∽△CPD， 从而

CDPDCD=，所以=COSα，故选B。 ABPBAB图

角形，从而为使

评注：直径所对的圆周角是直角。由此，可以得到一个直角三用三角函数创造条件，因此，在解题中，要倍加关注直径所对圆周角。

三、转化条件中的垂直关系构造直角三角形

例3(武汉市)如图4，等腰三角形ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12。以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，DF⊥AC，垂足为F，交CB的延长线于点E。 (1)求证：直线EF是⊙O的切线； (2)求sin∠E的值。

解析：（1）证明：如图5,连结OD、CD， 因为BC是直径，所以CD⊥AB， 而AC=BC，则D是AB的中点 又因为O是CB的中点，所以OD//AC

由于DF⊥AC，则OD⊥EF，于是EF是⊙O的切线. （2）连结BG，因为BC是直径，所以∠BGC=90°

1

A D E B 图4 F G O C 在Rt△BCD中，CD=AC2AD2=10262=8

而AB·CD=2SABC= AC·BG , 则有BG=

ABCD12848==. AC1052在Rt△BCG中，CG=BC2BG2=10(又因为BG⊥AC， DF⊥AC，所以BG//EF,

48214)=; 5514CG57 则∠E=∠CBG,从而sin∠E=sin∠CBG===

BC1025提供便利.

例4.如图，Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=4， BC=2,

以AB上的一点0为圆心作⊙O分别与AC．BC相切于点D，E。 (1)求⊙O的半径。

(2)求sin ∠BOC的值。

证：(1)：连OE,OD，证四边形OECD为正方形，设半径为R，

图5

评注：挖掘图形中的隐含关系，把已知条件中的垂直关系进行转化，从而构造直角三角形，为求角的函数值

4R4R

=, R=；

432 (2)

310，作CM⊥AB于M，易求AB=25．AB· CM=BC·AC， 104542CM310,易求OC=2R=,∴sin ∠BOC== 5310OC ∴CM=

例5.如图，等腰△ABC中，AB=A C，以AB为直径作⊙O， 交BC于点D，DE⊥AC于点E。

(1)求证：DE为⊙O的切线：

(2)若BC=45，AE=1，求cos ∠AEO的值。

EAOBCD解：(1)连OD, ∠C=∠ABC=∠ODB. OD//AC,∴ ∠ODE=∠DEC =90° (2) ∠AEO=∠DOE, cos∠AEO= cos∠DOE=

OD，连DA.证CD=BD =25， OE 证△CDE∽△CDA,CD2=CE·CA=CE· (CE+1) ∴CE =4,

DE=CD2CE2=2, OD=

4115AC=，OE=DE2OD2=,

2222

∴cos ∠AEO== cos∠DOE=●专练

OD541=

41OE1．如图，已知Rt△ABC和Rt△EBC，∠B=90°．以边AC上的点D为圆心， OA为半径的⊙O与EC相切于点

CD，AD∥BC.

D (l)求证： ∠E=∠ACB: (2)若AD=1, tan∠DAC=

2，求BC的长． 2OEAB2．如图，已知点0是Rt△ABC的直角边AC上一动点，以D为圆心，OA为半径的⊙O交AB于D点， DB的垂直平分线交BC于F,交BD于E。

(l)连结DF，请你判断直线DF与⊙O的位置关系,并证明你的结论 (2)当点D运动到OA=2OC时，恰好有点D是AE的中点，求tan∠B。 3．如图，在△ABC中．AB=BC,以AB为直径的⊙O交AC于点D．过D 作DF⊥BC,交AB的延长线于点E,垂足为F . (1)求证；直线DE是⊙O的切线；

(2) 当AB=5，AC=8时，求cos∠E的值．

ADFOBEC4．如图，Rt△ABC中， ∠C=90°，BD平分 ∠ABC，以AB上 过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点E EF⊥AC于点F。 (1)求证：⊙O与AC相切：

(2)若EF=2，BC =4，求tan∠A的值。

AE一点0为圆心，

BOMFDC5．如图， △ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于点C，点F，使弧CF=弧CB，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长 (1)求证：CD为⊙O的切线。

AFMCP在弧AC上取一

D线交BP于D。

OB(2)连BF交AP于B若BE=6，EF=2．求tan ∠FAE。

3

6．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是BC的中点，DPAC,垂足为点P.

（1）求证：PD是⊙O的切线. （2）若AC=6, cosA=3，求PD的长. 57．如图，⊙O的直径AB交弦CD于点M，且M是CD的中点.过点B作BE∥ CD，交AC的延长线于点E.连接BC．

CE（1）求证：BE为⊙O的切线； （2）如果CD=6，tan∠BCD=1，求⊙O的直径的长． 2AOMB8．如图，△DEC内接于⊙O，AC经过圆心O交O于点B，且AC⊥DE，垂足为F，连结AD、BE，

E A B D若sinA1，∠BED=30°． 2（1）求证：AD是⊙O的切线；

（2）△DCE是否是等边三角形？请说明理由； （3）若O的半径R2，试求CE的长．

F D O C 9．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点E，CF⊥AF，且CF=CE． （1）求证：CF是⊙O的切线；

（2）若sin∠BAC=

，求的值．

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