四川省资阳市2020至2021高二下学期期末考试数学理科试题

四川省资阳市2020-2021学年高二下学期期末考试

数学（理）试题

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。

3．考试结束时，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中有且只有一项是符合题目要求的。

1．复数zA．2－i

12i（i是虚数单位）的共轭复数为 iB．－2－i

C．－2＋i

D．2＋i

2．已知命题p：x00，lnx00.则p为 A．x0，lnx0 C．x00，lnx00

3．已知椭圆的一个焦点为F(0,1)，离心率eB．x0，lnx0 D．x00，lnx00

1，则该椭圆的标准方程为 2x2C．y21

2y2D．x1

22x2y2A．1

344．下列说法正确的是

x2y2B．1

43A．命题“若x25x60，则x2”的逆命题是“若x2，则x25x60” B．命题“若x2，则x25x60”的否命题是“若x2，则x25x60” C．已知a， bR，则“ab”是“|a||b|”的充要条件 D．已知a， bR，则“ab0”是“a0”的充分条件

5．已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为 A．

1 2B．1 C．2 D．4

6．函数y2x33x212x5在[0，3]上的最大值和最小值分别是 A．5，15

B．5，－14

C．5，－15

D．5，－16

ba7．从1、2、3、4、5、6这六个数中，每次取出两个不同数记为a、b，则共可得到3的

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不同数值的个数

A．20

B．22

C．24

D．28

x2y28．已知F1，F2分别是双曲线221(a0,b0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x

ab轴的直线与双曲线交于A，B两点，若ABF2是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

A．(21,) C．(1,12)

B．(12,) D．(31,)

9．定义在R上的函数f(x)，若对任意x1x2，都有x1f(x1)x2f(x2)x1f(x2)x2f(x1)，则称f(x)为“H函数”，给出下列函数：①yx3x1；②y3x2(sinxcosx)；ln|x|,x0,③yex1；④f(x)其中是“H函数”的个数为

0,x0.A．1 B．2 C．3 D．4

10．定义在R上的连续函数g(x)满足：当x0时，g(x)0恒成立(g(x)为函数g(x)的导函数)；对任意的xR都有g(x)g(x)．函数f(x)满足：对任意的xR，都有f(3x)f(x3)成立;当x[3,3]时，f(x)x33x.若关于x的不等式

33g[f(x)]g(a2a2)对x[23,23]恒成立. 则a的取值范围是

22A．aR C．a0或a1

B．0a1

133133D． a2424校对版本

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资阳市2013—2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测

理科数学

第Ⅱ卷（非选择题，共100分）

三 题号 得分 注意事项：

1．第Ⅱ卷共6页，用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．若(12x)n展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含x3项的系数为 ．

二 16 17 18 19 20 21 总分 总分人 12．顶点在原点，对称轴是y轴，并且经过点P(4,2)的抛物线方程为 ． 13．设随机变量ξ的概率分布列为P(k)c（k＝0，1，2，3），则P(2) ． k1x2y214．已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，点P为双曲线221(a0,b0)右

ab支上的一点，满足(OPOF2)F2P0（O为坐标原点），且|PF1|3|PF2|，则该双曲线离心率为 ．

|2x1|1,x1,15．已知函数f(x)x23x3函数g(x)[f(x)]2af(x)1（其中a为常数），

,x1,x1给出下列结论：

①aR，函数g(x)至少有一个零点； ②当a＝0时，函数g(x)有两个不同零点； ③aR，函数g(x)有三个不同零点； ④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0． 其中所有正确结论的序号是 ．

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三．解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．(本小题满分12分)

已知椭圆的两个焦点坐标分别是(2,0)，(2,0)，并且经过点

53(,)，求它的标准方程． 22

17．(本小题满分12分)

已知a＞0，且a1.设命题p：函数yloga(x1)在(0,＋∞)上单调递减，命题q:曲线yx2(2a3)x1与x轴交于不同的两点，如果pq是假命题，pq是真命题，求a的取

值范围.

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118．(本小题满分12分)函数f(x)x34x4．

3

（Ⅰ）求函数f(x)的极值；

（Ⅱ）设函数g(x)x22xm，对x1,x2[0,3]，都有f(x1)g(x2)，求实数m的取值范围．

19．(本小题满分12分)

某家电专卖店在五一期间设计一项有奖促销活动，每购买一台电视，

即可通过电脑产生一组3个数的随机数组，根据下表兑奖：

奖次 随机数组的特征 资金（单位：元） 一等奖 3个1或3个0 5m 二等奖 三等奖 只有2个1或2个0 只有1个1或1个0 2m m 商家为了了解计划的可行性，估计奖金数，进行了随机模拟试验，并产生了20个随机数组，试验结果如下：

247，235，145，124，754，353，296，065，379，118，520，378，218，953，254，368，027，111，358，279．

（Ⅰ）在以上模拟的20组数中，随机抽取3组数，至少有1组获奖的概率； （Ⅱ）根据以上模拟试验的结果，将频率视为概率：

（ⅰ）若活动期间某单位购买四台电视，求恰好有两台获奖的概率； （ⅱ）若本次活动平均每台电视的奖金不超过260元，求m的最大值．

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20．(本小题满分13分)

如图，矩形ABCD中，|AB|＝4，|BC|＝2，E，F，M，N分别是矩形四条边的中点，G，H分别是线段ON，CN的中点．

x2 （Ⅰ）证明：直线EG与FH的交点L在椭圆：y21上；

4x2（Ⅱ）设直线l：yxm(m0)与椭圆：y21有两个

4不同的交点P，Q，直线l与矩形ABCD有两个不同的交点S，T，求

21． (本小题满分14分)

已知函数f(x)2lnxx2ax（aR）.

（Ⅰ）当a2时，求f(x)的图象在x1处的切线方程； |PQ|的最大值及取得最大值时m的值． |ST|1

（Ⅱ）若函数g(x)f(x)axm在[,e]上有两个零点，求实数m的取值范围；

e（Ⅲ）若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1，0)，B(x2，0)，且0x1x2， 求证：f(x1x2)0（其中f(x)是f(x)的导函数）． 2校对版本

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资阳市2013—2014学年度高中二年级第二学期期末质量检测

理科数学参及评分意见

三．解答题：本大题共6个小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

x2y216．因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为221(ab0)，

ab5353由椭圆的定义知2a(2)2()2(2)2()2210，

2222所以a10． ·······················································································6分 又因为c2， ························································································8分 所以b2a2c26， ············································································ 10分

x2y2所以椭圆的标准方程为······················································ 12分 1， ·

106

因为pq是假命题，pq是真命题，所以命题p，q一真一假，

0a1,1①若p真q假，则1··············································8分 5所以a1； ·

2a,22a1,5②若p假q真，则15所以a．

2a或a,221故实数a的取值范围是[,1)25··················································· 12分 (,)． ·

2118．（Ⅰ）因为f(x)x34x4，所以f(x)x24(x2)(x2)， ················ 1分

3令f(x)0，解得x2，或x2，则

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x f(x) f(x)

(,2) －2 0

(2,2)

2 0

(2,)

＋ ↗

－ ↘

＋ ↗

28 34 3 ···········································································································4分 故当x2时，f(x)有极大值，极大值为

28； ············································5分 34当x2时，f(x)有极小值，极小值为． ················································6分

3（Ⅱ）因为x1,x2[0,3]，都有f(x1)g(x2)，所以只需f(x)ming(x)max即可． ·7分

4由（Ⅰ）知：函数f(x)在区间[0,3]上的最小值f(x)minf(2)， ···············9分

3又g(x)x22xm(x1)2m1，

则函数g(x)在区间[0,3]上的最大值g(x)maxg(3)m3， ·························· 11分

413由f(x)ming(x)max，即m3，解得m，

33故实数m的取值范围是(,13························································· 12分 ]． ·319．（Ⅰ）在20组数中，获奖的数组有8组， ···················································1分

3C1246记“至少有1组获奖”为事件A，则P(A)13． ·······························4分

C2057（Ⅱ）（ⅰ）购买一台电视机获奖的概率为P82································6分 ，

205222162则购买的四台电视恰好有两台获奖的概率PC4． ············8分 ()2(1)255625（ⅱ）记每台电视的奖金为随机变量，则0，m，2m，5m． 由题P(0)1236311；P(5m)． ；P(m)；P(2m)2052010202036m2m5m13m则E0， ······················································· 10分 520202020由于平均每台电视的奖金不超过260元， 所以

13m260，解得m400， 20故本次活动平均每台电视的奖金不超过260元时，m的最大值是400元． ········ 12分

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8()2x2325因为·······4分 y21上． ·()1，故直线EG与FH的交点L在椭圆：

454x22y1,（Ⅱ）联立方程组4消去y，得5x28mx4m240， ···················5分

yxm,4m248m设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1x2，x1x2，

55由m220(4m24)0及m0得0m5． ······································6分 8m24m2442|PQ|(1k)[(x1x2)4x1x2]2()45m2， ·····8分

55522若直线l过A点时，m1， ①当0m1时，|ST|22，|PQ|2|PQ|255m2，当m0时，最大值．·· 10分 |ST|5|ST|5②当1m5时，设S(1m,1)，T(2,2m)，|ST|2(3m)， ············· 11分 425m2|PQ|446|PQ|45m251， ，令，则t3m22|ST|5tt|ST|5(3m)2(3m)|PQ|251345当，即t，m(1,5)时，取最大值．

|ST|5t433|PQ|255综上所述，当m0或时，取得最大值． ·································· 13分

|ST|5321．（Ⅰ）当a2时，f(x)2lnxx22x，f(x)2，， 2x2，切点坐标为(11)x切线的斜率kf(1)2，则切线方程为y12(x1)，即y2x1. ··················2分 （Ⅱ）g(x)2lnxx2m，则g(x)22x2(x1)(x1)，

xx11因x[，e]，故g(x)0时，x1.当x1时，g(x)0；当1xe时，g(x)0.

ee所以g(x)在x1处取得极大值g(1)m1. ···················································4分 又g()m21e111122g(e)m2e，，，则g(e)g()4e0g(e)g()， 2eee2e校对版本

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g(1)m10,1在上有两个零点，则 ·······································6分 g(x)[，e]11eg()m220,ee解得1m211，即实数m的取值范围是(1，··································8分 22]. ·2ee（Ⅲ）因为f(x)的图象与x轴交于两个不同的点A(x1，，0)B(x2，0)，

2lnx1x12ax10,所以方程2lnxxax0的两个根为x1，x2，则两式相减得

22lnx2x2ax20,2a(x1x2)f(22(lnx1lnx2).又f(x)2lnxx2ax，f(x)2xa，则

x1x2xx1x242(lnx1lnx2). ·4··································· 10分 )(x1x2)a2x1x2x1x2x1x2下证

x12(x2x1)x2(lnx1lnx2)4， ln10，t0（*），即证明

xxxxx1x2x1x22122t1因为0x1x2，∴0t1，即证明u(t)2(1t)lnt0在0t1上恒成立. ····· 12分

t)11所以u(t)2(t1)2(12(t1)tt4(t1)2，又0t1，∴u(t)0， (t1)2t(t1)2x1x2x2所以u(t)在(0,1)上是增函数，则u(t)u(1)0，从而知2(x2x1)lnx10，

故（*）式成立，即f(x1x2)0成立. ························································ 14分

2

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