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线段的垂直平分线在解题中的应用
我们知道，线段垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等，反之，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.线段垂直平分线的这两个特征在处理有关线段或角的问题时运用十分广泛，现举例说明.
例1 如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，AB+BC＝13，AB边的垂直平分线MN交AC于点D，求△BCD的周长.
分析 要求△BCD的周长，只需求BC+CD+BD，而由MN是垂直平分线，可知DA＝DB，于是△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC，于是问题获解
解 因为MN是垂直平分线，点D在MN上，所以DA＝DB， 于是△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AC＝13.
说明 这里通过线段的垂直平分线使问题整体求解，同学们不妨从中体会求解的技巧.
B
图1 M D C N
B
E 图2
C A D A 例2 如图2，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝36°，BC的垂直平分线DE交AB于点D，垂足为E，试说明线段BD＝CD＝AC的理由.
分析 要明线段BD＝CD＝AC，想到等腰三角形，而由条件可计算出∠DCB＝∠B＝36°，进而可得∠ACD＝36°，∠ADC＝72°，于是利用等腰三角形的知识即可说理.
解 因为AB＝BC，∠B＝36°，所以∠A＝∠ACB＝72°， 又因为BC的垂直平分线DE交AB于点D， 所以DB＝DC，即∠DCB＝∠B＝36°， 所以∠ACD＝36°，即∠ADC＝72°， 所以AC＝CD，故BD＝CD＝AC.
说明 本题的说明过程，实际上就是运用等腰三角形的知识和三角形内角和的知识求出有关角的大小.
例3 如图3，在△ABC中，∠B＝45°，AD是∠BAC的角平分线，EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F.求∠FAC的大小.
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B
E A A E B
C 图4
D
D C 图3
F 分析 避开∠B＝45°，我们可以设法利用线段的垂直平分线和角平分线、三角形的外角知识来说明∠FAC＝∠B，这样即可求出∠FAC的大小.
解 因为EF垂直平分AD，交BC的延长线于点F，所以FA＝FD， 所以∠FAD＝∠FDA，
又AD是∠BAC的角平分线，所以∠BAD＝∠CAD，
因为∠FAD＝∠FAC+∠CAD，∠FDA＝∠B+∠BAD，∠B＝45°， 所以∠FAC＝∠B＝45°.
说明 综合运用所学的知识是处理本题的关键，所以同学们在求解一定要灵活运用条件，认真观察分析图形的特征，寻求求解的最佳切入点.
例4 如图4，AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，试说明线段BE与DE相等的理由.
分析 要说明线段BE与DE相等，只要能说明点E在以点B、D为端点的线段的垂直平分线上，于是，连结BD，由条件可得AC是线段BD的垂直平分线.
解 连结BD，因为AB＝AD，BC＝DC，所以AC是线段BD的垂直平分线， 因为点E在AC上，所以BE＝DE.
说明 线段的垂直平分线的这两个特征被广泛运用于说明线段的相等关系上，学习时一定要注意深刻领会，并要灵活运用.
例5 在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线与AC所在直线相交所得的锐角为50°，求∠B的大小.
B
图5 E D C B
图6
A D E A
C 分析 本题没有供图，所以按照题意我们可画出如图5和如图6所示，所以本题应分情况讨论.
解 分两种情况：①如图5，当交点在腰AC上时，△ABC是锐角三角形，则∠ADE＝
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50°，此时可求得∠A＝40°，所以∠B＝∠C＝
1(180°－40°)＝70°；②如图6，当交点在腰2CA的延长线上时，△ABC为钝角三角形，则∠ADE＝50°，此时可求得∠BAC＝140°，所以∠B＝∠C＝
1(180°－140°)＝20°.故这个等腰三角形的底角为70°或20°. 2说明 这里的图6最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出可能所画的图形，才能正确解题.
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