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【关键字】条件
《探索三角形全等的条件》
一、选择题
1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使△EAC≌△FDB，需要添加下列选项中的（ ）
A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC
2．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ） A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC
D．AC=BD
3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论： ①AC⊥BD；②AO=CO=AC；③△ABD≌△CBD， 其中正确的结论有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，还需要添加的一个条件是（ ）
A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE
5．如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（ ） A．BD=DC，AB=AC B．∠ADB=∠ADC，BD=DC C．∠B=∠C，∠BAD=∠CAD D．∠B=∠C，BD=DC
6．如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（ ） A．BD=CD B．AB=AC C．∠B=∠C D．∠BAD=∠CAD
二、填空题
7．如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD．你补充的条件是 （只填一个）．
8．如图，AD=AB，∠C=∠E，∠CDE=55°，则∠ABE= ．
9．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP= 时，才能使△ABC和△PQA全等．
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10．如图，∠1=∠2．
（1）当BC=BD时，△ABC≌△ABD的依据是 ； （2）当∠3=∠4时，△ABC≌△ABD的依据是 ．
三、解答题
11．已知，如图，B、C、D三点共线，AB⊥BD，ED⊥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∠1=∠2，请判断△ACE的形状并说明理由．
12．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：△ABC≌△CDA．
13．已知：如图，AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC于F，∠B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．
14．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∠E=∠CPD． 求证：△ABC≌△DEF．
15．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∠A=∠B，∠E=∠F．求证：DE=CF．
参
一、选择题 1．答案：A
解析：【解答】∵AE∥FD， ∴∠A=∠D， ∵AB=CD， ∴AC=BD，
在△AEC和△DFB中， ，
∴△EAC≌△FDB（SAS）， 故选：A．
【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∠A=∠D，再利用SAS定理证明△EAC≌△FDB即可． 2．答案：D
解析：【解答】A、可利用AAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； B、可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意； C、利用ASA判定△ABC≌△DCB，故此选项不符合题意；
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D、SSA不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意； 故选：D．
【分析】本题要判定△ABC≌△DCB，已知∠ABC=∠DCB，BC是公共边，具备了一组边∠ACB=∠DBC、∠A=∠D后可分别根据SAS、对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、ASA、AAS能判定△ABC≌△DCB，而添加AC=BD后则不能． 3．答案：D
解析：【解答】在△ABD与△CBD中，
，
∴△ABD≌△CBD（SSS）， 故③正确； ∴∠ADB=∠CDB， 在△AOD与△COD中，
，
∴△AOD≌△COD（SAS）， ∴∠AOD=∠COD=90°，AO=OC， ∴AC⊥DB， 故①②正确； 故选D
【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断． 4．答案：B
解析：【解答】当∠D=∠B时， 在△ADF和△CBE中 ∵
，
∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故选：B．
【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE． 5．答案：D
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解析：【解答】A、∵在△ABD和△ACD中 ∴△ABD≌△ACD（SSS），故本选项错误； B、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（SAS），故本选项错误； C、∵在△ABD和△ACD中
∴△ABD≌△ACD（AAS），故本选项错误；
D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出△ABD≌△ACD，故本选项正确； 故选D
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可． 6．答案：B
解析：【解答】A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，则△ABD≌△ACD（SAS）； B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD； C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）； D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BAD=∠CAD，则△ABD≌△ACD（ASA）； 故选：B．
【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案． 二、填空题
7．答案：AC=BD（或∠CBA=∠DAB）
解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB， 所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明； 补充AC=BD便可以根据SSS证明．
故补充的条件是AC=BD（或∠CBA=∠DAB）．
【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得． 8．答案：125°
解析：【解答】∵在△ADC和△ABE中 ∴△ADC≌△ABE（AAS） ∴∠ADC=∠ABE ∵∠CDE=55°
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∴∠ADC=125° ∴∠ABE=125°
【分析】在△ADC和△ABE中，由∠C=∠E，∠A=∠A和AD=AB证明△ADC≌△ABE，得到∠ADC=∠ABE，由∠CDE=55°，得到∠ADC=125°，即可求出∠ABE的度数． 9．答案：8或3．
解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP， 在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）； ②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ， 在Rt△BCA和Rt△QAC中，
，
∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）
【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ． 10．答案：SAS、ASA
解析：【解答】（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD ∴△ABC≌△ABD（SAS）； （2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4 ∴△ABC≌△ABD（ASA）．
【分析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≌△ABD； （2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≌△ABD． 三、解答题
11．答案：见解答过程． 解析：【解答】∵∠1=∠2， ∴AC=CE，
∵AB⊥BD，ED⊥CD， 在△ABC与△CDE中，
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，
∴△ABC≌△CDE， ∴∠ACB=∠CED， ∵∠CED+∠ECD=90°， ∴∠ACD+∠ECD=90°， ∴∠ACE=90°，
∴△ACE是等腰直角三角形．
【分析】由∠1=∠2可得AC=CE，再加上AB=CD，AB⊥BD，ED⊥CD，可直接证明三角形ABC与三角形CDE全等，从而易得三角形ACE是等腰直角三角形． 12．答案：见解答过程．
解析：【解答】证明：在△ABC和△CDA中，
，
∴△ABC≌△CDA（SSS）．
【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA． 13．答案：BE=CF． 解析：【解答】BE=CF． 理由：∵∠B=90°， ∴BD⊥AB．
∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC， ∴DB=DF．
在Rt△BDE和Rt△FDC中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL）， ∴BE=CF．
【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论． 14．答案：见解答过程． 解析：【解答】证明：∵AB∥DF， ∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，
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∵∠E=∠CPD． ∴∠E=∠B， 在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF． 15．答案：见解答过程
解析：【解答】证明：∵AC=DB， ∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC， 在△AED和△BFC中， ∴△AED≌△BFC． ∴DE=CF．
【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．
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