相似三角形的创新题型聚焦

一、分类讨论题

2 例1 在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，并且A，则∠BCADBD·DC的度数为___________。

解：（1）当高AD在△ABC内时，如图1。 ∵AD2BD·DC，∴ADBDDCAD

又∠ADB＝∠CDA，∴△ADB∽△CDA 图1 ∴∠BAD＝∠ACD ∵∠CAD＋∠ACD＝90° ∴∠CAD＋∠BAD＝90° ∵∠B＝25°，∴∠BCA＝65°

（2）当高AD在△ABC外时，如图2。 同理可证△ADB∽△CDA

∴∠ABD＝∠CAD＝25° 图2 ∴∠ACD＝65°

∴∠BCA＝180°－∠ACD＝115°

评析：本题一方面考查相似三角形的判定和性质，另一方面考查分类讨论的思想方法。 二、新定义图形题

例2 定义：若某个图形可分割为若干个都与它相似的图形，则称这个图形是自相似图形。

探究：（1）如图，已知△ABC中∠C＝90°，你能把△ABC分割成2个与它

自己相似的小直角三角形吗？若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由。 图3 （2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连结三角形各边中点，就可将原三角形分割为四个都与它自己相似的小三角形。我们把△DEF（图4）第一次顺次连结各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图4-1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连结它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图4-2）……依此规则操作下去。

n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn。

①若△DEF的面积为10000，当n为何值时，2S？ 3n （请用计算器进行探索，要求至少写出三次的尝试估算过程）

②当n＞1时，请写出一个反映S之间关系的等式（不必证明）。 ，S，Sn1nn1 解：（1）如图5，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线。 理由：∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90° ∴△BCD∽△ACB

（2）①△DEF经n阶分割所得的小三角形的个数为

100004n14n

∴Sn。 图5

当n5时，S510000S597.7

当n＝6时，S610000S624.4

当n＝7时，S710000S706.1

∴当n＝6时，2S 362 ②SnSn1Sn1.

评析：这道题的求解过程反映了《标准》所倡导的数学活动方式，如观察、实验、推理、猜想，而不仅仅是记忆，模仿，从而明白：研究问题要由表及里，由此及彼，学以致用。

三、网格证明题

例3 如图16，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为 1的小正方形的顶点上。

（1）填空：∠ABC＝__________°，BC＝__________；

（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论。 图6 解：（1）∠ABC＝135°，BC22

（2）能判断△ABC与△DEF相似（或△ABC∽△DEF），这是因为∠ABC＝∠DEF＝135°，

ABDEBCEF△ABC∽△DEF. 2，∴

评析：本题寓填空、识图、说理于一体，利用网格解决相似问题，使学生基础知识得以应用，思维能力得以提高。 四、情景应用题

例4 如图7所示，某市经济开发区建有B、C、D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米。自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B、C两厂之间的公路与自来水管道交于E处，EC＝500米。若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负担，每米造价800元。

（1）要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线 应怎样设计？并在图形中画出；

（2）求出各厂所修建的自来水管道的最低的造价各是多少元？ 图7 解：（1）过B、C、D分别作AN的垂线段BH、CF、DG，交AN于H、F、G，BH、CF、DG即为所求的造价最低的管道线路。如图8所示。 （2）B（米） EBCCE17005001200EABBE1500 A（米）

22 ∵△ABE∽△CFE，得

CFABCEAE， 图8

CEA·B500900CF300 ∴（米），

AE1500CFBHCEBE ∵△BHE∽△CFE，得，

BE·CF1200300 ∴（米）. BH720CE500 ∵△ABE∽△DGA，∴ABDGAEAD

AB·AD9001700 ∴（米） DG1020AE1500 所以，B、C、D三厂所建自来水管道的最低造价分别是7（元），20800576000（元），1（元）。 300800240000020800816000 评析：将相似与应用有机结合，是本题的一个特色，本题虽没有复杂的运算及偏怪之

弊，但涉及的知识面宽，知识点多，它不仅综合考查学生能力，而且通过本题使学生明白，社会实践离不开数学。 五、运动变化题

例5 如图9，在一个长40m、宽30m的长方形小操场上，从A点出发，沿着A→B→C的路线以3m/s的速度跑向C地。当他出发4s后，张华有东西需要交给他，就从A地出发沿走的路线追赶，当张华跑到距B地223m的D处时，他和在阳光下的

影子恰好重叠在同一条直线上，此时，A处一根电线杆在阳光下的影子也恰好落在对角线AC上。

（1）求他们的影子重叠时，两人相距多少米（DE的长）？ （2）求张华追赶的速度是多少（精确到0.1m/s）？ 解：（1）由阳光与影子的性质可知DE∥AC

∴∠BDE＝∠BAC，∠BED＝∠BCA 图9 ∴△BDE∽△BAC

DEAC∴BDAB222AC304050(m)，BD2(m)，AB40(m) ∵310∴DE(m)322EDEBD2m （2）B，到E点的时间为

402314(s)，张华追赶王

刚的速度是401443.7(ms/)。 83 评析：解决运动变化的问题，应认真地分析运动的全过程，把握运动变化过程中的各种情况，特别是关键的点，特殊的位置。 六、作图说理题

例6 小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏，两同学越玩越开心，小胖对小瘦说：“真可惜！我只能将你最高翘到1米高，如果我俩各边的跷跷板都再伸长相同的一段长度，那么我就能翘到1米25，甚至更高！”

（1）你认为小胖的话对吗？请你作图分析说明： （2）你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法？试说明。

解：（1）小胖的话不对。 图10 小胖说“真可惜！我现在只能将你最高翘到1米高”，情形如图10-1所示，OP是标准跷跷板支架的高度，AC是跷跷板一端能翘到的最高高度1米，BC是地面。

图10-1 图10-2

∵OP⊥BC，AC⊥BC，∠OBP＝∠ABC ∴△OBP∽△ABC ∴BOBAOPAC

又∵此跷跷板是标准跷跷板，BO＝OA ∴BOBA12，而AC＝1米，得OP＝0.5米

若将两端同时都再伸长相同的长度，假设为a米（a＞0） 如图10-2所示，BD＝a米，AE＝a米

BOOA，∴BOaOAa ∵，即DO＝OE

DODE12 ∴

同理可得△DOP∽△DEF

∴DODEOPEF，由OP＝0.5米，得EF＝1米

综上所述，跷跷板两边同时都再伸长相同的一段长度，跷跷板能翘到的最高高度始终为支架OP高度的两倍，所以不可能翘得更高。

（2）方案一 保持BO长度不变，将OA延长一半至E，即只将小瘦一边伸长一半。使AE12OA，则

BOBE25。

OPEF 由△BOP∽△BEF，得 ∴EF＝1.25米。

BOBE

方案二 如图10-3所示，只将支架升高0.125米

图10-3

∵B'O'1 ，B'O'P'~B'A'C'B'A'2 又O米 ''P0.50.1250.625 ∴B'O'B'A'O'P'AC''

∴米 A'C'1.25 评析：本题为探究结论型开放题。第（1）题中，只要看构成的三角形的相似比是否变

化。第（2）题中，只要改变构成的三角形的相似比。它虽未在难度上着墨，却令人颇感新意，体现出对灵活思维的要求，值得重视。