平面直角坐标系中的等腰三角形问题

一、解答题（本大题共5小题，共40.0分）

1. 如图,在平面直角坐标系中,𝐴𝐵∥𝑂𝐶,𝐴(0,12),𝐵(𝑎,𝑐),𝐶(𝑏,0),并且a,b满足𝑏=

√𝑎−21+√21−𝑎+16.动点P从点A出发,在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发,在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动,点P,Q分别从点A,O同时出发,当点P运动到点B时,点Q随之停止运动.设运动时间为𝑡(秒)．

(1)求B,C两点的坐标；

（2）当t为何值时,△𝑃𝑄𝐶是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P,Q两点的坐标．

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2. 如图(1),像∠G=∠HMN=∠Q=∠𝛼这样,由△GHM和△MNQ组合成的封闭图形,我们

称之为K型GHMNQ.在平面直角坐标系中,A(0,6),B(6,0),点C,D,E分别在线段AB,AO,BO上运动,且ADCEB为K型.

(1)如图(2),若点D运动到点O时,过点O作OF⊥CO,交CE的延长线为F,连接BF, ①求证：△ACO≌ △BFO； ②若AC=2√2,求OC的长；

(2) 如图(3),若C是AB中点,当△DCE为等腰三角形时,请直接写出AD的长．

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3. 如图,平面直角坐标系中,点A的坐标为(4,0),以OA为一边,在第四象限作等边△𝑂𝐴𝐵,

点C是y轴上一动点,连接AC,以AC为一边,在直线AC的下方作等边△𝐴𝐶𝐷．

(1)随着点C的运动,∠𝐴𝐵𝐷的大小是否会发生变化？请说明理由．

(2)是否存在点C,使得△𝐴𝐵𝐷是等腰三角形？如果有可能,若存在,求此时C点坐标；若不存在,请说明理由．

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4. 长方形OABC在平面直角坐标系内位置如图所示,点A,C分别在y轴,x轴上,点𝐷(4,3)

在AB上,点E在OC 上,沿DE折叠,使点B与点O重合,点C与点𝐶1重合．

(1)求点𝐶1坐标；

(2)若点P在坐标轴上,且𝛥𝐴𝑃𝐶1面积是9,请直接写出点P坐标．

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5. 如图,在平面直角坐标系中,已知𝐴(7,0),𝐵(0,−7),点C为x轴负半轴上一点,𝐴𝐷⊥

𝐴𝐵,∠1=∠2．

(1)求∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐵𝐴𝐷的度数；

(2)如图①,若点C的坐标为(−3,0),求点D的坐标；

(3)如图②,在(2)的条件下,过点D作𝐷𝐸⊥𝑦轴于点E,𝐷𝐹⊥𝑥轴于点F,点M为线段DF上一点,若第一象限内存在点𝑁(𝑛,2𝑛−3),使△𝐸𝑀𝑁为等腰直角三角形,请求出所有符合条件的N点坐标．

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6. 直角坐标系中,𝐴(6,0),𝐵(0,8),连结AB,点C为AB的中点,点P为y轴正半轴上的一个

动点,连结PC,如图,如图,作𝐶𝑄⊥𝐶𝑃,且𝐶𝑄=𝐶𝑃．

(1)𝑂𝐶=________；点C的坐标为________； (2)当点Q恰好落在线段OC上时,求OP的长；

(3)当△𝑂𝐴𝑄为等腰三角形时,求所有满足条件的点Q的坐标．

要找AB或DE的长度,显然是7. 如图①,我们在“格点”直角坐标系上可以清楚看到：

转化为求𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐶或𝑅𝑡△𝐷𝐸𝐹的斜边长．

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下面：以求DE为例来说明如何解决：

从坐标系中发现：𝐷(−7,5),𝐸(4,−3).所以𝐷𝐹=|5−(−3)|=8,𝐸𝐹=|4−(−7)|=11,所以由勾股定理可得：𝐷𝐸=√82+112=√185．

下面请你参与：

(1)在图①中：𝐴𝐶=______,𝐵𝐶=______,𝐴𝐵=______． (2)在图②中：设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2),试用𝑥1,𝑥2,𝑦1,𝑦2表示𝐴𝐶=______,𝐵𝐶=______,𝐴𝐵=______．

(3)(2)中得出的结论被称为“平面直角坐标系中两点间距离公式”,请用此公式解决如下题目：

已知：𝐴(2,1),𝐵(4,3),C为坐标轴上的点,且使得△𝐴𝐵𝐶是以AB为底边的等腰三角形.请求出C点的坐标．

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C坐标分别为(−4,2)、(1,−4),8. 如图①,平面直角坐标系中,ABCD为长方形,其中点A、

且𝐴𝐷∥𝑥轴,交y轴于M点,AB交x轴于N．

(1)求B、D两点坐标和长方形ABCD的面积；

(2)如图②,一动点P从A出发(不与A点重合),以2个单位/秒的速度沿AB向B点运动,在P点运动过程中,连接MP、OP,请直接写出∠𝐴𝑀𝑃、∠𝑀𝑃𝑂、∠𝑃𝑂𝑁之间的数量

关系；

(3)是否存在某一时刻t,使三角形AMP的面积等于长方形面积的3若存在,求t的值并求此时点P的坐标；若不存在请说明理由．

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9. 等腰𝑅𝑡△𝐴𝐶𝐵,,𝐴𝐶=𝐵𝐶,点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

(1)如图1,求证：∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐶𝐴𝑂；

(2)如图2,若𝑂𝐴=5,𝑂𝐶=2,求B点的坐标；

(3)如图3,点𝐶(0,3),Q、A两点均在x轴上,且𝑆△𝐶𝑄𝐴=24.分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰𝑅𝑡△𝐶𝐴𝑁、等腰𝑅𝑡△𝑄𝐶𝑀,连接MN交y轴于P点,则𝑂𝑃=______．

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