非线性电路中的混沌现象实验理解与思考_研究性实验报告

非线性电路中的混沌现象实验理解与思考

摘要

本实验共分为4部分

第一部分为实验原理的阐述，基于对于实验原理的理解和讨论，介绍了混沌现象的发现与完善，及本小组对于混沌现象的深入体会和理解。

第二部分为实验操作过程介绍，介绍了实验过程中详细的操作流程，和本小组在做实验过程中的经验与总结。

第三部分为实验原始数据的处理，是在原有数据处理上的加深与全面分析。 第四部分即对于本实验的理论层面深入讨论与分析，是小组成员深入思考与讨论的结果。

关键词：混沌与秩序；蝴蝶效应；非线性电路；实验思考

一、实验原理表述与探讨

非线性是自然界中普遍存在的现象，正是非线性的存在构成了多姿多彩的自然界。从数学上来说，非线性（non-linear） ，是指输出输入均不是正比例的情形。宇宙形成初的混沌状态即为非线性。自变量与变量之间不成线性关系，成曲线或抛物线关系或不能定量,这种关系叫非线性关系

现象则是近年来新出现的一个科学名词。首先是科学家在对天气预报作计算机模拟时发现的,后来又从数学上和实验上得到证实. 混沌来自非线性.由于在自然界和人类社会中绝大多数是非线性系统,所以混沌是一种普遍现象. 对于什么是混沌，目前科学上还没有确切的定义，但随着研究的深入，混沌的一系列特点和本质的被揭示，对混沌完整的、具有实质性意义的确切定义将会产生。目前人们把混沌看成是一种无周期的有序。无论是复杂系统，如气象系统、太阳系，还是简单系统，如钟摆、滴水龙头等，皆因存在着内在随机性而出现类似无轨，但实际是非周期有序运动，即混沌现象．现在混沌研究涉及的领域包括数学、物理

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学、生物学、化学、天文学、经济学及工程技术的众多学科，并对这些学科的发展产生了深远影响．混沌包含的物理内容非常广泛，研究这些内容更需要比较深入的数学理论，如微分动力学理论、拓扑学、分形几何学等等．目前混沌的研究重

点已转向动力学系统中的混沌、量子及时空混沌、混沌的同步及控制等方面． 本实验电路及原理如下：

如图1 所示．电路中电感L和电容C1、C2并联构成一个振荡电路．方程如下所示：

这里，UC1、UC2是电容C1、C2上的电压，i L是电感L上的电流，G = 1/R0是电导，g 为R的伏安特性函数．如果R 是线性的，g 是常数，电路就是一般的振荡电路，得到的解是正弦函数．电阻R0的作用是调节C1 和C2的位相差，把C1 和C2两端的电压分别输入到示波器的x，y轴，则显示的图形是椭圆．如果R是非线性的，会看到什么现象呢？

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电路中的R 是非线性元件，它的伏安特性如图2所示，是一个分段线性的电阻，整体呈现出非线性．gUC1是一个分段线性函数．由于g 总体是非线性函数，三元非线性方程组没有解析解．若用计算机编程进行数值计算，当取适当电路参数时，可在显示屏上观察到模拟实验的混沌现象．

除了计算机数学模拟方法之外，更直接的方法是用示波器来观察混沌现象，实验电路如图3所示． 图3中，非线性电阻是电路的关键，它是通过一个双运算放大器和六个电阻组合来实现的．电路中，LC并联构成振荡电路，R0的作用是分相，使A，B两处输入示波器的信号产生位相差，可得到x，y两个信号的合成图形．双运放TL082 的前级和后级正、负反馈同时存在，正反馈的强弱与比值R3 /R0，R6/R0有关，负反馈的强弱与比值R2/R1，R5/R4有关．当正反馈大于负反馈时，振荡电路才能维持振荡．若调节R0，正反馈就发生变化，TL082 处于振荡状态，表现出非线性，从C，D 两点看，TL082 与六个电阻等效于一个非线性电阻，它的伏安特性大致如图（2）所示．混沌现象表现了非周期有序性，看起来似乎是无序状态，但呈现一定的统计规律，其基本判据有：

1．频谱分析：R0很小时，系统只有一个稳定的状态（对应一个解），随R0的变化系统由一

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个稳定状态变成在两个稳定状态之间跳跃（两个解），即由一周期变为二周期，进而两个稳定状态为四个稳定状态（四周期，四个解），八个稳定状态（八周期，八个解）………直至进入无穷周期，即为连续频谱，接着进入混沌，系统的状态无法确定；分岔是进入混沌的途径．

2．无穷周期后，由于产生轨道排斥，系统出现局部不稳定；

3．奇异吸引子（Strange Attractor）存在．奇异吸引子有一个复杂但明确的边界，这个边界保证了在整体上的稳定，在边界内部具有无穷嵌套的自相似结构，运动是混合和随机的．它对初始条件十分敏感．

二、实验操作步骤及流程

1．倍周期现象、周期性窗口、单吸引子和双吸引子的观察、记录和描述

将电容C1，C2上的电压输入到示波器的X，Y 轴，先把R0调到最小，示波器屏上可 观察到一条直线，调节R0，直线变成椭圆，到某一位置，图形缩成一点．增大示波器的倍 率，反向微调R0，可见曲线作倍周期变化，曲线由一周期增为二周期，由二周期倍增至四 周，……，直至一系列难以计数的无首尾的环状曲线，这是一个单涡旋吸引子集．再细微 调节R0，单吸引子突然变成了双吸引子，只见环状曲线在两个向外涡旋的吸引子之间不断 填充与跳跃，这就是混沌研究文献中所描述的“蝴蝶”图像，也是一种奇怪吸引子，它的 特点是整体上的稳定性和局域上的不稳定性同时存在．

这一步有助于理解和直观观察到非线性电路中的混沌现象的产生与存在，此步骤要注意细微调节的重要行，示波器的辉度与光的粗细都要适当，因为三倍周期与四倍变化极为细微。

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观察双吸引子的时候，注意它是不断变化与跳跃的。这正是不稳定与稳定的共存体，是混沌现象存在的体现与意义。

2．测量有源非线性电阻的伏安特性并画出伏安特性图

（1）因为非线性电阻是含源的，测量时不用电源,用电阻箱调节．伏特表并联在非线性 电阻两端，再和安培表、电阻箱串在一起构成回路．

（2）由于电源电压在12v左右，因此每0.02v测一组数据，共60组。测量时，主要就是电阻箱的调节，本实验操作过程相对简单，但电阻箱的调节并非没有规律，根据理论的计算数据电阻的变化应该是在局部内的线性关系。因此注意到这一点可以加快实验操作，节省实验时间。另外要注意放大器正负极不能接反，而且仪器最好预热十分钟后在进行测量。

实际上，利用这个电路，还可以观察到周期性窗口，仔细调节R0，有时原先的混沌吸引子不是倍周期变化，却突然出现了一个三周期图像，再微调R0，又出现混沌吸引子，这一现象称为出现了周期性窗口．混沌现象的另一个特征是对于初值的敏感性。

三、实验原始数据处理与分析

1．计算电感L

f

本实验采用相位测量。根据RLC谐振规律，当输入激励的频率

12LC时，RLC

串联电路将达到谐振，L和C的电压反相，在示波器上显示的是一条过二四象限的45度斜线。

测量得：f=32.8kHz；实验仪器标示：C=1.095nF

由此可得：

11L21.50mH42f2C43.1421.095109(32.8103)2

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估算不确定度：

估计u(C)=0.005nF，u(f)=0.1kHz

则：

u(L)u2(f)u2L4f2(C)C27.6103

即

u(L)0.16mH

最终结果：

Lu(L)(21.50.2)mH

2．用一元线性回归方法对有源非线性负阻元件的测量数据进行处理： （1）原始数据：

R V R V R V 71200 -12 2044.9 -8 1753.4 -4 21000 -11.8 2036.2 -7.8 1727.5 -3.8 12150 -11.6 2027.2 -7.6 1699.6 -3.6 8430 -11.4 2017.8 -7.4 1669.4 -3.4 6390 -11.2 2007.9 -7.2 1636.7 -3.2 5100 -11 1997.5 -7 1601.2 -3 4215 -10.8 1986.7 -6.8 1562.4 -2.8 35 -10.6 1975.3 -6.6 1519.7 -2.6 3070 -10.4 1963.4 -6.4 1472.3 -2.4 2680 -10.2 1950.9 -6.2 1420 -2.2 2369 -10 1937.6 -6 1360.9 -2 2115 -9.8 1923.7 -5.8 1295.1 -1.8 第7页

北航基础物理实验研究性报告 2103.1 2096.8 2090.2 2083.4 2076.3 2068.9 2061.2 2053.3

-9.6 -9.4 -9.2 -9 -8.8 -8.6 -8.4 -8.2 1909 13.4 1876.9 1859.5 1840.9 1821.2 1800.1 1777.6 -5.6 -5.4 -5.2 -5 -4.8 -4.6 -4.4 -4.2 1281.8 1276.7 1270.1 1261.1 1247.8 1226 1148.9 1075 -1.6 -1.4 -1.2 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 （2）数据处理：

R1 根据

IRURR可以得出流过电阻箱的

R 电流，由回路KCL方程和KVL方程可知：

IR1IRUR1UR

由此可得对应的

V IR1值。

对非线性负阻R1，将实验测得的每个（I，U）实验点均标注在坐标平面上，可

到下图所示的点阵图

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I-V图（实验值）0.005I0.00450.0040.00350.0030.00250.0020.00150.0010.0005V-14-12-10-8-6-4-200

图中可以发现，（0.0046336，-9.8）和（0.00139，-1.8）两个实验点是折线的拐点。故我们在12U9.8V、9.8U1.8V、1.8U0V这三个区间分别使用

线性回归的方法来求相应的I-U曲线。

使用Excel的Linest函数可以求出这三段的线性回归方程：

-0.024530932 -12U9.78 0.002032UI-0.00041U0.000651953 -9.78U-1.72 -0.00079U -1.72U0 

经计算可得，三段线性回归的相关系数均非常接近1（r=0.99997），证明在区间内I-V线性符合得较好。

应用相关作图软件可以得出非线性负阻在U<0区间的I-U曲线。

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I-V图（线性回归）I5.00E-034.50E-034.00E-033.50E-033.00E-032.50E-032.00E-031.50E-031.00E-035.00E-04U0.00E+00-14-12-10-8-6-4-20将曲线关于原点对称可得到非线性负阻在U>0区间的I-U曲线：

I-V图（线性回归）5.00E-03I/A4.00E-033.00E-032.00E-031.00E-030.00E+00U-15.00-12.50-10.00-7.50-5.00-2.500.002.505.007.5010.0012.5015.00-1.00E-03-2.00E-03-3.00E-03-4.00E-03-5.00E-03第10页

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3．观察混沌现象： （1）一倍周期：

一倍周期

（2）两倍周期：

两倍周期

（3）四倍周期：

四倍周期

（4）单吸引子：

Vc1-t

Vc1-t

Vc1-t

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单吸引子 阵发混沌

三倍周期

Vc1-t

(5)双吸引子：

双吸引子

Vc1-t

到此，实验数据的处理就完毕了。

四、实验的深入思考与分析

在本次实验中，我们初步了解了混沌的一些知识。20多年来，混沌一直是举世瞩目的前沿课题和研究热点，它揭示了自然界及人类社会中普遍存在的复杂性、有序与无序的统一、稳定性与随机性的统一，大大拓宽了人们的视野，加深了人类对客观世界的认识。

混沌现象在非线性科学中指的是一种确定的但不可预测的运动状态。它的外在表现和纯粹的随机运动很相似，即都不可预测。但和随机运动不同的是，混沌运动在动力学上是确定的，它的不可预测性是来源于运动的不稳定性。或者说混沌系统对无限小的初值变动和微绕也具于敏感性，无论多小的扰动在长时间以后，也会使系统彻底偏离原来的演化方向。

而通过本次试验也让我们对于混沌现象本身产生了极大的兴趣，混沌现象最初的提出是通过气象相关的学科，并引出了大家所熟知的蝴蝶效应。对于这个效应最常见的阐述是：“一

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只南美洲亚马逊河流域热带雨林中蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，可以在两周以后引起美国得克萨斯州的一场龙卷风。”最开始我本以为蝴蝶效应应该是一种夸张的说法，但是通过本实验学习了混沌的原理之后才突然发现，细小的差别通过非线性的变化后必将产生巨大的变化，可以说蝴蝶效应毫不夸张，想一想，就如同中国人常说的“差之毫厘，失之千里”、“一招不慎，满盘皆输”。

而“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，我认为不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。混沌和非混沌，逻辑演绎系统和断层之间的选择问题，就是我们关注蝴蝶效应的意义所在，中国古代也有学派注重善始善终的问题，是说善于展开一个系统，也善于结束这个系统，以这个为目的而研究的方。进而，可以说，蝴蝶效应实质是一种方，这种方，承认系统的边界，是建立在宇宙无限论之上的探讨宇宙的有限性的方法。一个马蹄钉亡了一个帝国的歌谣我们都听过。可见混沌现象揭示了人类世界不可质疑的真理。

曾经，我曾幼稚的认为当科学发展到一定程度，人类必将可以预测未来，这不仅仅是我的想法，也曾是许多相信科学力量人的想法。但是，混沌现象的存在证实，严谨的数学和毫无偏差的公式不可能预言久远的未来。就好比此刻你永远不知道下一刻会发生什么。因此活好现在，你现在的一个细微的决定可能改变的就是一生。 ……

有点扯远了，在回来说本实验的一些理论思考和分析，首先我们开始想到是否在计算机技术如此发达的今天，能不能用计算机模拟混沌现象呢？经过查阅资料，我们发现这是可行的。并且发现用matlab模拟混沌现象普遍应用的方法为四阶龙格库塔数值积分法 源程序（Matlab代码）如下：

文件1：chua.m

function [xx]=chua(x,time_variable,aaa,symbol_no)

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h=0.01; a=h/2; aa=h/6; xx=[];

for j=1:symbol_no;

k0=chua_map(x,time_variable,aaa); x1=x+kO*a;

k1=chua_map(xl,time_variable,aaa); xl=x+k1*a;

k2=chua_map(x1,time_variable,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(x1,time-variable,aaa); x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3); xx=[xx x]; end

文件2：chua_initial.m:

function [x0]=chua_initial(x,aaa) h=0.01;a=h/2;aa=h/6; x=[-0.03 0.6 -0.01]'; k0=chua_map(x,1,aaa); x1=x+k0*a;

k1=chua_map(xl,1,aaa); x1=x+k1*a;

k2=chua_map(x1,1,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(x1,1,aaa); x=x+aa*(k0+2*(kl+k2)+k3); for k=2:400

kO=chua_map(x,k,aaa); x1=x+k0*a;

k1=chua_map(x1,k,aaa); x1=x+k1*a;

k2=chua_map(x1,k,aaa); x1=x+k2*h;

k3=chua_map(xl,k,aaa); x=x+aa*(kO+2*(k1+k2)+k3); end x0=x;

文件3：chua_map.m:

function[x]=chua_map(xx,time_variable,aaa) m0=-1/7.0; m1=2/7.0; if xx(1)>=1

hx=m1*xx(1)+m0-m1;

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elseif abs(xx(1))<=1 hx=m0*xx(1); else

hx=m1*xx(1)-m0+m1; end

A=[0 9.0 0 1.0 -1.0 1.0 O aaa 0]; x=A*xx;

x=x+[-9*hx 0 O]'; 文件4：chua_demo.m x0=0.05*randn(3,1);

[x0]=chua_initial(x0,-100/7); [xx]=chua(x0,1,-100/7,20000); plot(UVI(1,1:end),UVI(2,1:end)); xlabel('Uc1 (V)');ylabel('Uc2 (V)'); figure;

plot3(UVI(3,1:end),UVI(2,1:end),UVI(1,1:end))

xlabel('I (V)');ylabel('Uc1 (V)');zlabel('Uc2 (V)'); (2) 改变G的值，当G=0.7时，数值仿真出现双吸引子：

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改变G值，使G=0.35，数值仿真出现单吸引子：

在结果中可以看到，计算机数值模拟的相图特点和前述示波器的相图极为相似。同时利用计算机可以方便地更改系统参数，充分显现出计算机仿真的优越性。

Ps：一点总结：这个实验本身操作并不难，但是混沌现象的理论知识无疑开拓了我们

的视野，不仅仅作为一个物理电学的实验而存在，更涉及了数学，气象学，天文学，经济学，医学等各个学科，其中混沌理论的分析更是能够引发深刻的哲学论题和自古以来的社会思考，是一个高度开阔的实验，我想在追求全面发展，十字型人才的今天这种能够给人启发，让人思考的实验是在是难能可贵，因此我建议希望能够在以后的混沌现象实验中听到更加详细全面的阐述和讲解（因为做实验本身只需要1小时，实验课共3小时，有足够的时间），同时也希望能够有更多的人对这个实验有所思考，有所感悟。

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