八年级数学下册 17.3 一次函数 17.3.2《一次函数的图

例1 某医药研究所开发一种新药，在试验药效时发现，如果成人按规定剂量服用，那么服药2小时后血液中含药量最高，达每毫升6微克，接着逐步衰减，10小时后血液中含药量为每毫升3微克，每毫升血液中含药量y（微克）随时间x（小时）的变化如图所示，当成人按规定剂量服药后，

（1）分别求出x2和x2时，y与x的函数关系式；

（2）如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上，则在治疗疾病时是有效的，那么这个有效时间是多长？

例2 已知一次函数ykxb的图像与x轴交于点A(6,0)，与y轴交于点B，若AOB的面积为12，且y随x增大而减小，求一次函数的解析式．

例3 作出y3x5的图像．

例4 已知一次函数图象过点（4，1）和点（-2，4）．求函数解析式并画出图象．根据图象回答：

（1）当x=-1时y的值； （2）当y=2时x的值；

（3）图象与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标； （4）当x为何制值时y0,y0,y0； （5）当1x4时y的取值范围； （6）1y4时x的取值范围； （7）求VAOB的面积；

1

（8）方程

1x30的解 2例5 正比例函数或一次函数（y=kx+b）的图象如图所示，请确定k、b的情况：

例 6 在同一坐标系中，分别作出下列一次函数的图像： （1）y3x2 （2）y3x （3）y3x2.

例7 在直角坐标系中，一次函数在y轴上的交点坐标是B（0，5），与x轴交点A的横坐标是图象与y轴交点到原点距离的2倍，点C的坐标是（6，0），点P的坐标是（0，y），若四边形ABPC的面积为S，求S关于y的函数解析式，并求出自变量的取值范围；若∠PCO=30°时，求四边形ABPC的面积．

2

参

例1 分析：（1）当x2时，一次函数的图像过原点，因此这是正比例函数，它过点(2,6)，因此可求出这个函数的解析式，又当x2时，直线过(2,6)，(10,3)两点，因此也可以求出一次函数的解析式．

（2）当每毫升血液中药量在4微克或4微克以上时，就是指y4，求出此时对应的x的值就能确定药物有效的时间． 解：（1）当x2时，设yk1x. ∵ x2,y6，∴ y3x. 当x2时，设yk2xb.

∵ x2,y6，x10,y3，∴ 2k2b6,

10kb3.23k,28∴ 

b27.4327x. 84422224（2）y4时，两个函数对应的x值分别为,，t，所以有效的6（小时）

3333∴ 当x2时，一次函数的解析式为y时间是6个小时．

例2 分析：一次函数的图像与y轴交于B点，则B点坐标为(0,b)，OB的长为b，一次函数图像与x轴交于点A(6,0)，则OA=6，由AOB面积为12，则直线上，则可以求得k、b的值． 由又y随x增大而减小，则可确定k0. 解： ∵ 一次函数图像与x轴交于B，∴ B(0,b).

1OAOB12，且A在2A在一次函数图像上，则6kb0. ①

11，则OAOB12.即6b12，b4. AOB面积为12，

22

3

代入①式，可得k2. 323而y随x增大而减小，∴ k0，则k,b4. ∴ 一次函数的解析式为y

例3 解：∵ 当x当x2x4. 355时，3x50，∴ x时，y3x53x5； 335时，y3x553x.图像如图所示． 3

说明：找出绝对值为0时，自变量的值，以这个值为界，分别从自变量大于这个值及小于这个值两种情况来讨论，这是讨论与绝对值有关问题的常用方法．

例4 分析：一次函数的图象是一条直线，由两点很容易就得到图象，用待定系数法可以求出解析式，利用图象或解析式可解答许多问题． 解：设一次函数解析式为ykxb，∵ 函数图象过点（4，1）和点（-2，4）

14kb1k∴ 2

2kb4b31yx3

2列表：

x 0 6 1yx3 3 0 2描点连线得图象

4

（1）当x=-1时，y7 2（2）当y=2时，x=2； （3）A（6，0）、B（0，3）；

（4）x＜6时，y＞0；x=6时，y=0；x＞6时，y＜0 （5）当1x4时，1y7 2（6）当-1≤y＜4时，-2＜x≤8； （7）SVAOB（8）方程11OAOB639 221x30的解是x=6 21x3当y为零2说明：从图象上对应点的坐标来求（1）已知x值可求y的值；（2）已知y的值可求x的值；（3）已知x的变化范围可求y的变化范围，反之也可求．函数方程y时x的值就是方程方程

例5 分析：看图象自左向右是上升还是下降来决定k的正负由图象与y轴的交点在x轴的上方还是下方来决定b的正负．正比例函数过原点b=0．

解：图（1）中k＞0，b=0；图（2）中k＜0，b=0；图（3）中k＜0，b＞0；图（4）中k＜0，b＜0．

例6 解：各取两点，列表如下：

1x30的解，函数、方程、不等式三者是紧密联系的。 2x 0 0 2 -2 1 3 5 1 y3x y3x2 y3x2

5

再描点连结，得上图.

说明：它们的图像都是直线，这些直线之间有如下的关系： （1）它们的图像是三条互相平行的直线； （2）其中，正比例函数的图像是经过原点的直线；

（3）y3x2的图像可以看成是由y3x的图像向上平移两个单位得到的；y3x2的图像可以看成是由y3x的图像向下平移两个单位得到的.

例7 分析：根据题意画出示意图

因为要求面积S与y的函数关系式，所以要考虑ABPC四边形的构成，确定四边形ABPC，其中三点A，B，C的坐标已给出，只要考虑P点的位置即可．点P的位置有两种可能，其一是P点在O，B之外，其二在O，B之间，如果P点在OB之外，则不满足四边形ABPC的条件，所以点P只能在O，B之间，所以S=S△AOB-S△COP，故只要求出两个三角形面积即可． 解：∵一次函数在y轴上交点B的坐标是（0，5） 根据题意：得A（10，0） ∴OB=5，OA=10

∵点C坐标为（6，0），点P坐标是（0，y） ∴OC=6，OP=y

6

∵S=S△AOB-S△COP

∴S=25-3y 即S=-3y+25 ∵点P在O与B之间

∴自变量y的取值范围是0＜y＜5 ∴当∠PCO=30°时，在Rt△COP中

说明：解这类题时先画出示意图，并看图进行分析，示意图的关键是位置关系要正确，要学会数形结合．

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