高等数学(上)-学习指南

一、选择题

1．设函数yarcsin(x2)，它的定义域是【】

A．|x|1； B．1x2； C．1x3； D．|x|3

111n1lim1(1)【】 2．极限nn2248A．1； B．0； C．3．下列各函数的极限存在的是【】

23； D． 3211x2limsinxA．lim2； B．lim； C．x； D．limex x02x1xx1x04．当x0时，3x2是【】

A． x的同阶无穷小量 B． x的等阶无穷小量

C．比x高阶的无穷小量D．比x低阶的无穷小量

x245．函数f(x)的间断点为x【】

x1A．1 B．2 C．2 D．1 6．若yx2ex，则y'【】

A．2xex B．(x22x)ex C．x2ex D．(2x1)ex 7．函数f(x)1，满足拉格朗日中值定理条件的区间是【】 xA．[1,2] B．[2,2] C．[2,0] D．[0,1]

1xx8．函数f(x)(ee)的极小值点为【】

2A．0 B．1 C．1 D．不存在 9．1dx【】 12xA．12x B．12xC C．112x D．212xC 210．3x2dx【】

ab11(ba)(ba) A．ba B．(ba) C． D．3333311．函数ylg(x1)的反函数是【】

A．yex1 B．y10x1 C．yx101 D．yx101

1111【】 12．极限limn122334n(n1) A．1 B．0 C．

x32313．若lim23，则a【】

x2xa23 D． 32 A．1 B．2 C．3 D．4 14．当x1时，f(x)1【】 x21 A．极限不存在 B．是无穷大量 C．是无穷小量 D．是未定式 15．设函数f(x)sin(x2)，那么函数的所有间断点是【】 2x3x2 A．0 B．1和2 C．2 D．1和3 16．设f(x)x(x1)(x2)(x100)，则f'(0)【】

A．101! B．99! C．100! D．0 17．下列函数中在给定区间上满足罗尔中值定理的是【】 A．yx25x6,[2,3] B．y1,[0,2] x1C．ysinx,[x13,] D．y221x5,[0,5] x518．函数y|x1|2的极小值点为【】

A．0 B．1 C．1 D．不存在 19．lnxdx【】 x112 A．2ln(lnx)C B．(lnx)C C．2(lnx)2C D．ln(lnx)C

2220．设f(x)F(t)dt，则f'(x)【】

02xA．F(x) B．F(4x) C．F(2x) D．2F(2x)

21．满足不等式|xA|（,A为常数，0）的所有x的区间表示为【】 A．(A,A) B．[A,A] C．(,) D．[,]

23n1【】 22．极限lim222nn2nnn A．

11 B． C．1 D． 0 42x1x0f(x)【】 23．设函数f(x)2，则limx0x0x A．1 B．1 C． 0 D．不存在

24．无穷大量减去无穷小量是【】

A．无穷小量 B．零 C．常量 D．未定式

esinxf(x)【】 25．如果f(x)在x0处连续，且f(0)1，那么limx0 A．0 B．1 C．2 D．1 26．曲线ye在点(0,1)处的切线斜率是【】

111e A． B． C．2 D．e2

22x227．设函数f(x)(x1)(x2)(x3)，则方程f'(x)0有【】 A．一个实根 B．两个实根 C．三个实根 D．无实根 28．函数函数yx5可能存在极值的点是【】

A．x5 B．x0 C．x1 D．不存在 29．x1x423dx【】

11121x4C D．1x4C A．arcsinx2C B．arcsinxC C．22230．定积分sinxdx【】

22 A．0 B．2sin2 C．2cos2 D．2

二、判断题

1．y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2也是。（） 2．y1,y2是齐次线性方程的解，则C1y1C2y2是其通解。（）

3．y1,y2是齐次线性方程的线性无关的特解，则C1y1C2y2是方程的通解。（）

C2y2y4．若yCy11*为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的线

性无关的解，

y*为非齐次方程的特解。（）

*Cy11Cy22y5．若y为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的解，

y*为非齐次方程的特解。（）

C2y2y6．若yCy11*为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的特

解，

y*为非齐次方程的解。（）

*Cy11Cy22y7．若y为非齐次方程的通解，其中y1,y2为对应齐次方程的解，

y*为非齐次方程的解。（）

8．yfx,y（不显含有9．yfx,y（不显含有

y），令yp，则yp。（）

y），令yp，则ypdp。（）

dx10．yfy,y（不显含有x），令yp，则ypdp。（） dy11．yfy,y（不显含有x），令yp，则yp。（） 12．齐次型微分方程

dyydyduy，设u，则ux。（） dxxxdxdx13．齐次型微分方程

xdxdvxdxvy。（） ，设v，则

ydydydyy14．对于变量可分离的微分方程gydyfxdx，可以两边同时积分得到

gydyfxdx。（）

15．若函数fx在区间a,b上连续，则a,b，使得fxdxfba。

ab（）

16．若函数fx在区间a,b上连续，则a,b，使得fxdxfba。

ab（）

17．若Fx为fx的一个原函数，则fxdxFbFa。（）

ab18．根据定积分的换元法，有fxdxfttdt。（） a19．根据定积分的分部积分法，有udvuvavdu。（）

aabbbb20．对于无穷积分，有abfxdxlimfxdx。（）

tabt21．对于无穷积分，有22．对于无穷积分，有bafxdxlimfxdx。（）

ttfxdxfxdxbtat00fxdx。（）

fxdx，其中a为瑕点。（） 23．对于瑕积分，有fxdxlim24．对于瑕积分，有bafxdxlimfxdx，其中b为瑕点。（） tbat25．函数fx在x0点可导fx0fx0。（） 26．函数fx在x0点可导fx0fx0。（） 27．函数可微可导，且dyfx0xfx0dx。（）

28．fx在x0处可导，若x0为fx的极值点，则fx00。（） 29．fx在x0处可导，若x0为fx的极值点，则fx01。（）

30．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0；当xx0时，fx0。则x0为极大值点。（）

31．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0；当xx0时，fx0。则x0为极小值点。（）

32．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0，当xx0时，fx0。则x0为极小值点。（）

33．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若：当xx0时，fx0，当xx0时，fx0。则x0为极大值点。（）

34．fx在x0的邻域内可导，且fx00，若在x0的两侧fx不变号，则

x0不是极值点。（）

35．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极大值点。（）

36．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极小值点。（）

37．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极小值点。（）

38．fx在x0处二阶可导，且fx00，fx00。若fx00，则x0为极大值点。（）

39．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于

xa,b,fx0,则fx在a,b上的图形是凹的。（）

40．fx在a,b上连续，在a,b上有一阶导数、二阶导数，若对于

xa,b,fx0,则fx在a,b上的图形是凸的。（）

三、填空题

axax1．设f(x)，则函数的图形关于 对称。

2sinx2x0yy() 。 2．若，则22x10x23．极限

x2sinlimx0sinx1x 。

x2axb4．已知lim22，则a_____,b_____。

x2xx25．(sinxcosx)' 。 6．uu25du 。 7．设yarctan1，则dy 。 xx23x2sinx8．lim2 。

xxx2cosx9．limx01x1 。 x210．(2cosxcscx)dx 。

11．设y3x(xcotx)cosx，则y' 。

e2x112．lim 。

x0sinx

四、解答题

1．求曲线y2sinxx2上横坐标为x0的点处的切线方程和法线方程。 2．要造一个圆柱形的油罐，体积为V，问底半径和高为多少，才能使表面积最小？

x21lim(axb)0，求常数a,b。 3．已知xx14．a为何值时，曲线yax2与曲线ylnx相切，并求曲线在该切点处的切线和法线方程。

5．某商品定价为5元/件，每月可售1000件，若每件每降价0.01元，则可多出售10件，求出售商品多少件时收益最高。

6．函数f(x)xcosx在(,)上是否有界？当x时，f(x)是否为无穷大？为什么？

7．假设某种商品的需求量Q是单价p（单位：元）的函数：Q=12000-80p，商品的总成本C是需求量Q的函数：C=25000+50Q，每单位商品需纳税2元。试求使销售利润最大的商品单位和最大利润。

23xf(t)dydydy8．设，其中f(t)的三阶导数存在，且f(t)0，求,2,3

dxdxdxytf(t)f(t)9．设yf(3x2dy),f(x)arcsinx2，求3x2dxx0

f(x)存在，f(x)3x22xlimf(x)，求f(x) 10．设limx1x1

五、证明题

1．求证：方程x53x10在1与2之间至少存在一个实根。 2．求证恒等式：arcsinxarccosx2，(1x1)。

3．求证不等式：|arctanaarctanb||ab|。

4．求证：双曲线xya2上任一点处切线与两坐标轴构成三角形面积都等于2a2。 5．设ab0，证明：

abaabln abb高等数学（上）-学习指南答案

一、选择题 1．C

解：1sinx1，

所以，arc(sinx)的定义域为[-1，1] 得arcsinx2的定义域为（1，3] 2．C

111n1解：令Sn11n

248211111n1S1n1 则n22481621n1所以，SnSn11n1

22因为lim1nn10 n121n1SnSnlim11n11 所以：limnn22即，原式=

2 33．A

解：对四个选项分别计算极限得到如下结果

x2A．lim21

xx1B．limx01 2x1sinx无确定极限 C．limxD．lime

x01x4．C

解：3x2中x是二阶的，x本身是一阶的。 2阶高于1阶，所以3x2是比x高阶的无穷小量。 5．D

x24解：f(x)的分母为0时，无意义。所以x-1=0是fx间断点。

x1即：fx的间断点是x=1。 6．B

2x解：直接求积得到：x2xe

yx2ex2xexx2exx22xex 7．A 解：f(x)1，易知分母为零是其间断点，即x=0点。只有A选项所示的区间中x没有包含间断点x=0，所以满足条件。 8．C

解：因为ex0，ex0，所以exex2exex2， 当且仅当exex的时候可以取到等号。 而要使得exex，则需要xx，即：x0。

1f(x)(exex)，所以当x0时，方程有极小值1。

29．B

解：简单积分，直接求积即可得到：12xC

1112xdx12x2dx1 1212xd12x2令y12x

11y2dy21122yc

2yc12将y12x代回上式得到：12xC 10．A

解：直接求定积分得到：

ba3x2dxdx3x3b3a3

aabb11．B

解：对等式两边做e的指数，得到10yx1， 变换一下因变量和自变量得到：10xy1 即：y10x1 12．A

解：由题目知通项Sn有如下的形式：

Sn1111+122334nn11111111122334nn1 1111111122334nn111n11111lim+n122334nn1 1lim1nn1113．D

x323解：lim23

x2xalimx3233x2a0x2x2limx2x383a222383aa4

14．B

解：当x趋向于1时，分母趋向于0，任意常数除以0都是无穷大量。 所以原式是一个无穷大量。 15．B 解：fxsinx2sinx2，当x=1或者2时方程没有意义。

x23x2x1x2所以方程有两个间断点，是1和2。 16．C

解：由题目知fx的一阶导数有如下的形式：

fxx1x2x3x98x99x100xx2x3x4x98x99x100xx1x3x4x98x99x100xx1x3x4x97x99x100xx1x3x4x97x98x100xx1x2x3x97x98x99

将x=0带入上面的式子，可见含有x的项都将为0．

f001020309809901001239899100100!17．A

解：由罗尔中值定理知道：如果函数fxR在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即fafb，那么在(a，b)内至少有一点ab，使得函数fx在该点的导数等于零：f0。 18．B 解：函数的绝对值是大于等于0的，如果能取到0，则取到了整个函数的极小值。 所以x1在x=1时为0，所以函数y在x=1时取到极小值点。 19．B 解：lnxdxlnxdlnx x1212yClnxC 22令ylnx，则原式=ydy20．D

解：设有定积分YtFtdt 则，fx0FtdtYt所以：fx2x2xYt02xC

dYt2xCdxdYtdt2xdtFtdx2xd2x2F2x dx21．A

解：因为不等号是严格的大于，小于。所以，x的区间是一个开区间。 解不等式得到：A,A 22．B

解：有题意，设通项为：

12nn2n2n21n12nn2 n12n1122nSn2n1111limlim 原极限等价于：n222nnnn22n223．D

解：由题意知：

fxlimx11 左极限：xlim0x0fxlimx20 右极限：xlim0x0左极限右极限，所以原式极限不存在。

24．D 解：所谓的无穷大量，或者无穷小量只是指的是相对而言，变量的一种变化趋势，而非具体的值。

所以，相对的无穷大量减去相对的无穷小量没有实际意义，是个未定式。 25．D

fx1； 解：因为fx在x=0处连续，并且f01，所以limx0同理，esinx在x=0处连续，并且esinxlimefx111 综上，

x0sinxsinxlime1。 1，所以x0x026．A

xx212解：yee。

2x12所以，在点(0,1)处，切线的斜率是：e2x01 227．B

解：对原方程直接求一阶导。

 fxx1x2x3x2x3x1x3x1x23x212x113x212所以，fx03x210

2即：3x21x22211x2 33所以，fx0有两个实根。

28．B

解：由作图知道，函数在第二象限是减函数，在第一象限是增函数。 当x=0时，函数取得最小值y=5。 29．B

解：x1x4dx112dx

21x4令yx2，则有：

11112dxdy

21x421y2由三角函数积分公式知道：

11112dyarcsinyCarcsinxC 221y2230．A

x2cos2cos2cos2cos20 解：2sinxdxcosxx22

二、判断题

1．解：对，根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。

2．解：错，根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的特解。 3．解：对，根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。 4．解：对，根据齐次线性方程解的性质可以直接得到。

5．解：错，根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解。 6．解：错，根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y*是其特解。

7．解：错，根据齐次线性方程解的性质，y1与y2必须是线性无关的解，y*是其特解。

8．解：对，根据微分方程解的性质可以直接得到。 9．解：错，根据微分方程解的性质得到yp。 10．解：对，根据微分方程解的性质可以直接得到。 11．解：错，根据微分方程解的性质得到ypdp。 dy12．解：对，根据微分方程解的性质可以直接得到。 13．解：对，根据微分方程解的性质可以直接得到。 14．解：对，根据微分方程解的性质可以直接得到。 15．解：对，根据积分中值定理直接得到。

16．解：错，根据积分中值定理，函数定义域应包含端点值，即a,b闭区间。

17．解：对，根据定积分的N-L公式直接得到。 18．解：对，根据定积分计算方法直接得到。 19．解：对，根据定积分计算方法直接得到。 20．解：对，根据反常积分的性质直接得到。 21．解：对，根据反常积分的性质直接得到。 22．解：对，根据反常积分的性质直接得到。 23．解：对，根据反常积分的性质直接得到。 24．解：对，根据反常积分的性质直接得到。 25．解：对，根据导数的定义直接得到。

26．解：错，根据导数的定义直接得到fx0fx0。 27．解：对，根据导数的性质直接得到。 28．解：对，根据导数的性质直接得到。

29．解：错，根据导数的性质直接得到fx00。

30．解：对，根据极值判定定理第一充分条件可以直接得到。 31．解：错，根据极值判定定理第一充分条件，x0为极大值点。 32．解：对，根据极值判定定理第一充分条件可以直接得到。 33．解：错，根据极值判定定理第一充分条件，x0为极小值点。 34．解：对，根据极值判定定理第一充分条件可以直接得到。 35．解：对，根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 36．解：错，根据极值判定定理第二充分条件，x0为极大值点。 37．解：对，根据极值判定定理第二充分条件可以直接得到。 38．解：错，根据极值判定定理第二充分条件，x0为极小值点 39．解：对，根据函数凹凸性及其判定定理可以直接得到。

40．解：错，根据函数凹凸性及其判定定理得到fx在a,b上的图形是凹的。

三、填空题 1．y轴

解：f(x)的定义域为(,)，且有

axa(x)axaxaxaxf(x)f(x)

222即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。 2．1

2

4

解：x1.57，因此y11。

24223．0

221解：xlim(xsin1x)limxsin1limx010 limx0x0x0sinxxsinxxx0sinx1xsin0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量） 注意：limx0xx2sinlimx111lim1sinxx0sinxx0sinxsinx1=1是第一个重要极限。 ，其中limx0limxx0xx4．a2，b8

解：由所给极限存在知：42ab0，得b2a4，

x2axbxa2a4又由lim2lim2，知a2,b8。

x2xx2x2x13

5．cosxsinx

解：(sinxcosx)'sinxcosxcosxsinx

16．(u25)2c

32解：uu5du31u25du2 2令xu2，则有：

331112122u5dux5dxx52Cx52C 22233将xu2代回上式得到：

312uu5du3(u5)2c

27．dy1dx 21x1yarctan解：x1dy122xx21dx 11x1所以，dy1dx 21x8．1

x23x2sinx 解：原式：lim2xxx2cosx原式分子sinx有界，分母cosx有界，其余项均随着x趋于无穷而趋于无穷。 这样，原式的极限取决于分子、分母高阶项的同阶系数之比。

19．

2解：原式可以直接计算

limx01x1x1x1xlimx01x11x1

limx0xx1x1limx011x11210．2sinxcotxc

解：直接积分就可以得到： 

(2cosxcsc12x)dx2cosxdxcsc2xdx2sinxcotxC

42114111．yx3cosxx3sinxx3cotxcosxx3csc2xcosxx3cosx

33解：y3x(xcotx)cosx

1x333x(xcotx)cosx3x(xcotx)cosx3x(xcotx)cosx2(xcotx)cosx3x(1csc2x)cosx3x(xcotx)sinx

42114112x3cosxx3sinxx3cotxcosxx3cscxcosxx3cosx3312．2

e2x1解：对极限：lim，采用罗必达法则，对分子、分母关于x求导。

x0sinxe2x12e2x2lim2 得到limx0sinxx0cosx1

四、解答题

1．解：因为y'2cosx2x,y'x02又当x0时，y0。

所以所求的切线方程为：y2x

1所求的法线方程为：yx，即x2y1

2综上，切线方程2xy0，法线方程x2y0。

2．解：由Vr2h，得hV1r2。于是油罐表面积为：

2VS2r22rh2r2(0x)，

rS4r2Vr2。

V。 2V处取得极小值，也就是最小值。这时相2令S 0，得驻点r34Vr3因为S40，所以S在驻点r3应的高为h34V2r。底直径与高的比为2r  h1  1。  3．解：对原极限做变形

x21lim(axb)xx1x21(ax2axbxb)limxx11ax2abx1blimxx1

因为原极限为0，在x趋向于无穷的情况下， 极限式的分母较于分子是高阶无穷大量。

而分母阶数为1，那么分子中阶数为2和1的项的系数应该为0。

1a0a1 得到：ab0b14．解：

y2axyax2两曲线，求一阶导得到：1

ylnxyx两条曲线相切，有共同的切线，切线斜率应该相等。

112 所以2axxx2a12yyax代入，得到：；

21代入ylnx，得到：yln2a；

2111由以上两式得到：ln2aln2a12aea。

222e结合切点处y111e,，代入曲线方程，得到切点坐标此处切线斜率为。 ，22e用待定系数的点斜式可以求解切线方程。

设切线方程为ykxb，其中k为斜率，b为y轴截距。将切点带入方程。

111ebb得到：， 22e切线方程为：y11x，即：2x2eye0。 2e法线的斜率是切线斜率的负倒数，所以法线方程可以是yexc，

111将切点e,代入法线方程，得到eecce

222法线方程为：yexe综上有a1, 2e1，即：2ex2y（2e1）0。 2切线方程为:2x2eye0；法线方程为：2ex2y（2e1）0。

5．解：

设每件降0.01d元，则可以多售出10d件商品。 销售额Y可以写作：

Y50.01d100010d0.1d240d50000.1d200900002

令Y的一阶导为零，即：0.2d2000，得到d=200。

所以当d=200的时候Y取得最大值9000。

因为这个函数在在定义域[0，200]单调递增，在定义域[200，500]单调递减。 此时售出服装件数为：100010d3000件。

综上，当d=200时，能卖出3000件，盈利最大为9000。 6．解：

因为f1(x)x在x,上无界，f2(x)cosx在x,上有界，

f2x1,1。

一个无界变量乘以一个非零有界变量仍然为无界变量， 所以fxf1xf2x是无界变量。

fx不是无穷大，因为f2(x)cosx是一个周期变化函数，有0值。 7．解：由题意可以列方程如下， 商品总成本：

C2500050Q25000501200080P6250004000P 商品总利润：

IPQC2Q80P212000P6250004000P24000160P 80P216160P9000为求利润最大化时商品单价，须求得总利润对商品单价的一阶导数为零时的商品单价。 dI160P161600 令dP得到此时商品单价P=101

此时利润I80101161601019000167080

综合以上，商品单价p101(元)，商品总数Q3920(件)，利润最大L最大167080(元)。 8．解：

dyy(t)f(t)tf(t)f(t)t dxx(t)f(t)2d2yddyd1 ()(t)2dxdxdxf(t)dxd3ydd2yd1d1dtf(t)1f(t)()()()23 dxf(t)dtf(t)dxf(t)dx3dxdx2f(t)f(t)dyd3x23x23x23x2212f()f()()arcsin()9．解：

dxdx3x23x23x23x2(3x2)2dy于是，

dx(arcsin1)33 2x0f(x)l， 10．解：令limx12limf(x)lim(3x2xl)32lll3 则f(x)3x2xl，x1x12故f(x)3x26x

五、证明题

1．证明：应用零点定理，因为连续奇函数yx53x1在端点1处的值为-1，在端点2处的值为27。

端点值符号相异，必然在区间[1，2]上存在零点值。 2．证明：设ƒx＝arcsinxarccosx，

则fx在[-1，1]上连续，在（-1，1）上可导， 且fx11x211x20。

 2即：arcsinxarccosx＝ 1x1

2故，fx=常数=f0=

3．证明：设fxarctanx，则fx在a,b上连续，在a,b内可导，由拉格朗日中值定理，存在a,b，使fbfafba， 即：arctanbarctana12(ba)

所以，|arctanbarctana|12|ba||ba|，即arctanaarctanbab。 4．证明：

a2a2由xya得y，切线斜率ky2。

xx211设x0,y0为曲线上任一点，则过该点的切线方程为：

a2yy02xx0

x2y0x0令y=0，并注意x0y0a，解得x2x02x0，为切线在x轴上的截距。

a2a2令x=0，并注意x0y0a，解得yy02y0，为切线在y轴上的截距。

x02得到此切线与二坐标轴构成的三角型的面积为：

1S2x02y02x0y02a2。

25．证明：

a1设x，原不等式变换为：1lnxx1，其中x1。

bx11lnx 证明第一个不等式：x令fxlnx111111，对其求导得到：210，

xxxxx所以，fx递增，最小值是f10。所以第一个不等式成立。 证明第二个不等式：lnxx1 令fxx1lnx，对其求导得到：110， x所以，fx递增，最小值是f10。所以第二个不等式成立。 使用微分中值定理，令fxlnx，则fx1。 x由拉格朗日中值定理有：存在0bca，fafbfxab。 即：lnalnb1ab。 ca1ln那么，ab，其中0bca。 bc所以：

abaabln。 abb