信用风险评估

信用风险

28.1 什么是信用衍生工具

信用衍生工具是收益取决于一个公司或一篮子公司的违约行为的合约。举例来说：

·一个公司债券投资组合经理想要防止他的投资组合在未来五年内发生超过三家公司走向破产这样的极端事件。一个信用衍生工具可以像看跌期权保护股票投资组合经理免于灾难性损失那样，防止这样的损失。

·一个商业银行的信用风险投资经理担心他的某个公司客户的敞口水平，但是贷款员想要和这个客户保持良好的关系。信用衍生工具允许银行用一个表外交易减少那一个客户的信用敞口。类似的股票衍生工具就是在一个投资组合里，对应一个股票出售一个远期合同，这样既消除了风险，又将基础交易保留在了账簿上。 ·一个中等规模的商业银行已经把信贷风险集中在一小群产业（比方说，制造业）上，但是几乎没有另外一群产业（比方说，消费品）的客户敞口和信用风险敞口。信用衍生工具允许银行减少它的集中信用风险，从而获得其他领域的敞口。 ·一个投资组合经理想要在一组债券里投资，但是因为债券的低信用等级而被。一个信用衍生工具可以从这些低等级债券中重新包装现金流，并给予较高的信用等级，以便投资组合经理可以投资。

信用风险的许多方面会影响信用衍生工具和公司债务的价格。举例来说，发行人会有违约的风险。如果一个发行人违约，那么它的债券或者相关的信用衍生工具的收益是不确定的。尽管发行人可能没有违约，但是它的信用质量可能会发生改变，因此，其债券价格可能也会发生变化。研究者们已经提出了解决所有这些风险的定量模型。这篇文献回顾是从预测违约模型的讨论开始的。我们讨论了两种普遍用于给信用风险定价的模型：结构化模型和简式模型。然后我们回顾了合约细节和给像信用违约掉期、担保债务凭证（CDO） [1] 和一篮子违约掉期这样的流行的信用衍生工具定价的方法。我们以相关违约风险和用蒙特卡罗分析法给一个CDO定价的例子的讨论结束。

[1] 一些市场参与者将CDO看作证券而不是衍生工具，但是我们将它们看作衍生工具，因为它们的价值是从它们的基础债券中得来的。

28.2 预测违约

公司通常在不能偿付债务或没有申请《美国破产法》第7章或第11章的破产的时候被认为会违约。 [1] 阿特曼（1968）开发了第一批预测破产的定量模型之一。他的Z计分模型规范了更多像标准普尔和穆迪投资这样的评级机构提供的违约风险定性分析。阿特曼确定了五个关键的财务比率，并估算了那些比率的加权平均值来得到公司的“Z分值”。低Z分值的公司要比高Z分值的公司更有可能违约。阿特曼使用数据技术来决定每个比率上的最佳权重。预测违约的最重要的财务比率是息税前收入除以总资产，第二重要的财务比率是销售收入除以总资产。

阿特曼的Z计分模型没有考虑公司的特点（例如，财务比率）随着时间变化的事实。为了解决这个缺陷，沙姆韦（2001）估计了一个违约的风险率模型。风险率模型被广泛地用在保险业来评估一个事件在特定的一段时间里会发生的概率——举例来说，汽车保险单持有者在下一年或接下来五年里会发生事故的概率。如果λ*是一个事件（例如，违约）的风险率，那么

就是这个

事件在未来时间T或之前将会发生的可能性。对比较小的T来说，

就约等于λ*T。也就是说，像违约这样的事件，在短期内将

会发生的概率约等于违约的风险率乘以所考虑的时间段长度。

沙姆韦（2001）指出公司的风险率（也就是说，在接下来短期内的违约概率），取决于它的现行财务比率和诸如总市值、超额股本回报和股票收益波动这类市场变量。沙姆韦（2001）发现了把这些受市场驱动的变量包含进去之后，风险率模型的预测能力提高了。另外，他发现可提高预测能力的财务比率是息税前利润除以总负债以及总市值除以总负债。

[1] 达维登科（2005）解决了违约是否是由低资产价值或流动性短缺引发的问题。

28.3 结构化的定价模型

为了给一个公司债券或信用衍生工具定价，我们不仅需要知道公司的违约风险，还需要知道投资者承担那个风险所需要的补偿。布莱克和斯科尔斯（1973）与默顿（1974）开发了给企业债务定价的第一批模型。由于这些模型用来给一个公司的资产和负债的结构制定模型，通常称作结构化定价模型。当公司的资产不够偿付它的负债的时候，模型就会显示发生违约。

二叉树例子有助于说明结构化定价模型背后的直觉。假设无风险收益比率是5%，一个公司的资产价值是120美元，但是我们知道在一年年末这个公司的资产将会值136美元或76美元。通过这些假设，我们可以计算这个公司发行的一个一年期100美元面值的零息债券，因为一个投资者可以通过购买一个公司资产和一年期零息无风险债券的组合，来复制这个公司的有风险的债券。

为了确定投资者应该购买多少该公司的资产，我们需要在两种不同的情景里检测该公司有风险的债券的收益。如果公司在下一阶段的资产值136美元，那么这个公司就能还清欠债权人的100美元，如果它的资产在下阶段只值76美元，那么他仅仅能够给债权人支付76美元。 [1] 一个投资者可以复制这个债券的收益，因为一个投资组合投资了48美元在公司的资产里，43.43美元在一个单期、无风险、零息的债券里。如果公司的资产在下阶段值136美元，那么投资者的投资组合将会值100美元，因为＄48×（＄136/＄120）+＄43.43×1.05=＄100。类似地，如果公司的资产在下个时段值76美元，那么投资者的投资组合也将会值76美元，因为＄48×（＄76/＄120）+＄43.43×1.05=＄76。如果没有套利机会，企业债券的价格一定等于复制投资组合的价格，＄48+＄43.43=＄91.43。布莱克和斯科尔斯（1973）与默顿（1974）规范了这个在一个连续时间设定下的复制参数。利兰（1994）扩展了这个模型并且允许公司优化选择它违约（可能在债务到期之前）的时间。

对于有复杂债务的公司来说实施结构化定价模型是困难的，而且它们在实证上成功的较少。举例而言，科林-迪弗雷纳，歌德斯坦和马丁（2001）发现，杠杆作用和波动率里的多变性只能够解释公司信用差价多变性的一小部分。然而，沙弗和斯德布拉耶夫（2004）发现了结构上的定价模型对于用股票对冲公司债务是有用的。

结构化模型也形成了预测违约的穆迪的KMV方法的基础。在布莱克和斯科尔斯（1973）与默顿（1974）定价模型里，公司的资产是对数正态分布的，也就是说公司资产的对数是正态分布的。因此，公司资产的连续复利收益是正态分布的。公司资产市值的对数和公司负债的对数之间相隔的标准差的倍数被称作公司的违约距离（distance to default）。

举例而言，假设公司资产的市值是100美元，负债市值是60美元。如果公司资产的波动率是25%，那么它的违约距离是（log100-log60）/0.25≈2。KMV拥有一个在不同的期限内违约的、给定违约距离的公司的比例的专有历史数据库。举例来说，如果0.8%的违约距离是2的公司在一年内违约，那么违约距离为2的公司的预期违约频率（EDF）就是0.8%。感兴趣的读者可以参阅克罗斯比和博恩（2003）与凯尔霍夫（2003）更多关于预测违约的KMV方法的细节。

一个公司的违约距离也被用在预测违约的风险率模型中。达菲、财田和王（即将出版）开发了一个风险率模型，这个模型提供了未来不同时期违约概率的评估。它们给特定公司和宏观经济变量的时间序列建立了模型，并且发现预测违约最有影响力的变量是公司的违约距离。

[1] 注意，债务持有者正在按照零息债券的面值卖出一个以公司资产为行权价格的看跌期权。或者，股票可以按照零息债券的面值被看作是一个以公司资产为行权价格的看涨期权。

28.4 简式定价模型

简式定价模型不考虑公司资产负债结构；相反地，它们使用风险率方法来直接给违约概率（和违约的收益）构建模型。在简式定价模型里，公司的风险率通常被称作违约强度。简式定价模型的不同特色为给公司违约强度构建模型提供了可供选择的方式。

假设如果一个公司有一个λ*的违约强度（或者相当于风险率），那么它在未来时间T或之前违约的概率是1-exp（－λ*×T）。举例来说，假设上一节例子中的公司的违约强度是λ*=8.7%；公司在一年内违约的概率是1-e-0.087×1 =8.33%。如果债券在违约的情况下支付76美元（以至于既定违约损失是24%面值），那么一年的债券的预期收益是91.67%×＄100+8.33%×＄76=＄98。

（

）

为了计算零息债券的现值，我们必须找到一年里预期债券收益的现值。在财务分析中，我们一般使用贴现率将未来的现金流贴现，这个贴现率包括无风险利率加上风险调整（经常使用资本资产定价模型或一个类似的模型计算）。为了给企业债券和信用衍生工具定价，相比调整贴现率来解释风险，我们调整违约强度（或者相当于违约概率）来计量风险。这些风险调整后的违约强度被称为风险中性违约强度（也就是，风险中性违约概率）。 [1] 如果我们使用风险中性违约强度（包括一个风险调整）来计算一年期债券的预期收益，那么我们可以使用无风险贴现率（而不是风险调整后的贴现率）来计算债券的现值。 [2]

为了说明定价风险中性违约强度的使用，假设前面例子中的公司有一个18.23%的风险中性违约强度。其一年内的风险中性违约强度是1-e-0.1823×1 =16.66%，债券的风险中性贴现后的预期收益是（83.34%×100+16.66%×76）/1.05=＄91.43。要记住，用来给公司有风险的债务定价的风险中性违约强度不同于公司实际的违约强度，这一点非常重要。一个公司的风险中性违约强度包括一个风险调整，因此为了包含投资者对承担违约风险的厌恶程度，它通常都比实际强度高。直观地，简式定价模型使用风险中性违约强度，本质上是假设一个不受欢迎的事件（例如违约）的概率实际上比真的概率要高。

（

）

如果我们分析实际的违约强度和风险中性违约强度之间的差异，我们就获得了一个投资者承担违约风险需要多少补偿的指标。如果这个差异大的话，那么投资者需要一大笔费用来承担信用风险。在之前的例子中，公司的风险中性违约强度比实际违约强度高2.1倍（18.23%/8.7%=2.1）。德艾森（2005）和伯恩特、道格拉斯、达菲、弗格森和斯拉茨（2005）发现这个比率随着时间变化，它的平均价值对大部分公司来说大约是2。埃尔顿、格鲁伯、阿格拉沃尔和曼恩（2001）也提供了企业债务上的风险溢价存在的实证证据。

请注意，如果单期零息债券的价格是＄91.43，那么债券的收益是9.373%，因此信用差价是4.373%/5%的无风险利率。信用差价是近似于风险中性违约强度的产物18.23%，并且违约时的损失100%-76%=24%，是0.1823×0.24=4.375%，直观地，这个近似值起作用是因为信用差价是由违约强度乘以违约事件中损失的总额决定的。这个关系可以相应地被用作对一个公司的风险中性违约强度的粗略反向推算，这个风险中性违约强度考虑到了信用差价和一个关于违约事件中损失的价值比例的假设。举例而言，如果一个公司的信用差价是7.2%，我们假设违约事件中损失的比例是60%，那么它的风险中性违约强度大体上是0.072/0.60=12%。

在简式定价模型的类别中，贾罗、兰多、特恩布尔（1997）和兰多（1998）、达菲以及辛格尔顿（1999b）为风险中性违约强度和回收率提供了受欢迎的模型。达菲、彼得森和辛格尔顿（1999b）将达菲和辛格尔顿（1999b）的模型应用到主权债务的定价中。达菲（1999）发现了一个简式定价模型在161个不同公司的债务定价上都是相当成功的。所有这些研究中的模型允许一个公司的风险中性违约强度随着时间随机变化，以反映公司信用质量的变化或市场对承担信用风险的厌恶。

在实践中，回收率和给定违约下的损失也是不确定的。阿特曼、布莱迪、莱斯蒂、希罗尼（2005），阿查里雅、巴拉塞和斯里尼瓦桑（即将出版，2006）发现企业违约的回收率倾向于在经济低迷时期和当违约量增长的时候下降。然而，大部分的简式定价模型做出了简化的假设，投资者在违约事件中回收一个固定比例的面值或市值。举例来说，一个典型的假设是投资者在违约之前回收40%的债券价值。

[1] “风险中性”这个术语来源于一个想法，这个想法是风险中性投资者是一个不需要一个较高预期投资收益而在风险较高的证券里投资的投资者，因此，投资者以相同的无风险利率贴现所有的现金流。显然，像这样的投资者并不真的存在，但是我们可以像风险中性投资者那样，使用它作为无风险贴现率对收益进行贴现。

[2] 在理论上，相同的风险中性违约强度可以被用来给所有的公司企业债务和任何有收益的信用衍生工具定价，这些收益取决于公司是否会违约。通过对比，这些证券可能需要不同的风险调整后的定价贴现率。这个便利是风险中性违约已经变成行业定价标准的一个原因。

28.5 信用违约互换

既然我们已经介绍了用于给信用风险定价的模型，我们可以开始检测信用衍生工具的定价。最受欢迎的信用衍生工具之一是信用违约互换，即CDS，作为公司违约时的保险。这个保险的买主直到互换到期或公司违约，无论其中哪一件事先发生，每年支付保险费。作为这个年金保险费的回报，万一公司违约，这个违约保险的购买者将得到公司违约的特定债券的面值和市值之间的差价。标准违约互换有许多变种，但是这里的讨论将会集中在这个基本版本。如同大部分的信用衍生工具，CDS在场外市场被交易（而不是在金融交易所），并且这些交易条款一般

[1] 被国际互换和衍生工具协会标准化了。每个对手方都面临对方会违约的风险。

为了减轻这个风险，场外衍生工具一般包括净值结算和抵押物协议，并且大部分的金融机构都对每个交易对手合计的潜在敞口。

只要发行人没有违约，购买保险的买家应该定期支付费用S，直到互换在时间T到期。如果发行人没有违约，保险的卖家不应该有任何支付。当发行人违约的时候（比方说在时间T），CDS终止，并且保险的卖家应该支付保险金I，这通常是公司违约的特定债券的面值和市值（违约后）之间的差价。

达菲（1999）指出一个公司市场上的违约互换价格（或保险年金）约等于该公

[2] 这个定价关司发行的和互换到期日相同的平值浮动利率票据的信用利差。

系之所以存在，是因为人们可以在一个违约互换里用一个投资组合复制一个空头，这个投资组合持有公司的平值浮动利率票据，卖空一个无风险平值浮动利率票据（或者，另外的选择是，投资组合以无风险浮动利率借入）。在公司没有违约的期间，投资组合的现金流等于信用利差，这是有风险的平值浮动利率票据的息票支付和无风险的平值浮动利率票据之间的差价。如果公司确实违约，投资组合获得公司债券的回收价值，支付无风险贷款的面值。因为投资组合的最初价值是0美元，它支付了和违约互换空头一样多的金额，违约互换价格必须等于信用利差。达菲（1999）说明了违约互换在一家公司没有一个和违约互换到期时间一样的平值浮动率票据的情况下，怎样近似计算违约互换价格。

违约互换还可以用无风险收益曲线和公司的风险中性违约强度来定价。假设公司的违约强度是λ，在时间T1 ，…，TN 违约互换费用是S。如果公司在Tn 之前没有违约，那么S在Tn 时到期。公司在Tn 之前没有违约的风险中性违约强度是exp（－λTn ）。如果R是在时间Tn 到期的无风险零息债券的连续复利收益，那么互换费用的现值Pn 就是

因此，所有支付的保险费现值是

为了给互换的另一方定价，假设公司如果在时间

违约保护的购买者在时间Tn 获得支付I。公司会在时间Tn的风险中性违约强度是

之间违约的话，为

－1

和Tn 之间违约

因此，所有可能的保险支付价值是

最后，违约互换的价值就是获得的支付价值减去支付的保费的价值，

在违约互换的起初，市场上的互换价格是S*在违约互换的价值为0时的价格，

举例来说，假设一个公司的风险中性违约强度是0.03，而且万一公司违约的话，我们预期它的债券将会损失40%的面值，一个一年两次的互换的支付是在时间0.5，1，1.5，…，4.5，5上，我们可以更正式地把这写作n×0.5，n=1，…，10，如果连续复利率是6%，那么一个五年期CDS（一年两次）的互换价格是

其互换价格一般会以年为基础被记为2×0.6%=1.2%。如果互换的名义上的总额是100万美元，购买者将一年两次支付0.6%×＄100万=＄6000，那么万一违约的话，会获得40%×＄100万=＄400000赔付（假设万一违约的话，公司债券损失了40%的面值）。

[1] 达菲和黄（1996）为给合同双方可能违约的场外交易衍生工具定价提供了一个模型。

[2] 违约掉期价格必须等于保险年金，以使得掉期价值对合约双方是零。

28.6 随时间变化的违约强度

在许多简式定价模型中，一个公司的风险中性违约强度随着时间确定地变化或者任意地（随机地）变化。换句话说，公司的风险中性违约强度是一个关于时间的函数。举例来说，公司的风险中性违约强度在第一年是λ（1），在第二年是λ（2），因为我们允许λ随着时间变化，我们使用符号λ（Ti ）来表示一个公

司在时间

之间的风险中性违约强度。用这个符号，公司在时间Tn

之前不会违约的风险中性违约强度，是它在每个单独周期不会违约的条件概率的乘积，

式中

（注：请注意在特殊的情况下，违约强度是常量[也就是说，对所有i，λ（Ti ）

=λ]，我们有∧（Tn ）=

。）

并且 T0 =0

由此，一个违约掉期在时间Tn 到期的价值是

类似地，在一个市场上的违约掉期的起初的违约掉期价格S*是

（注：这个公式假设利益率在到期期间是常量。然而因为到期时间（也就是说，收益曲线不一定是平坦的）的原因，利率经常不同。为了包含这种可能性，我们可以在这个公式里用R（Tn ）Tn 来替换RTn ，其中我们已经使用了符号R（Tn ）来表示在时间Tn 到期的零息债券上的复合利率。）

这个定价关系经常被用来从它的违约掉期价格期限结构反向推算（或通过拔靴法）公司的每个周期的风险中性违约强度期限结构。这个过程非常类似于从有不同到期时间的债券收益中推断出零息收益曲线的过程。参阅达菲（1999）获得更多详细资料。赫尔和怀特（2000），赫尔和怀特（2001）以及奥凯恩和特恩布尔（2003）是其他有关CDS定价的很好的资源。

28.7 模拟违约时间

当利率和违约强度随着时间变化的时候（因此不是常数），计算违约概率和价格（price in closed form）可能是困难的。在这些情况下，用蒙特卡罗分析法来计

[1] 蒙特卡罗分析法需要我们可以从一个给定的随时间变化的强算是便捷的。

度λ（.） [2] 中模拟一个任意的违约时间τ，下面的运算法则可以被用于这个模拟：

1.模拟在0和1之间随机数字U

2.依据上一步得到的随机数字U，设定违约时间τ ·设定τ=T1 ，

·设定τ=T2 ，

·总的来说，设定τ=Tm ，

（注：回想一下， ）

图28-1说明了正确地选择违约时间τ的过程，这个违约时间针对该归一化随机数字U的每一个间隔。

图28-1 从归一化随机数字模拟违约时间

达菲和辛格尔顿（1999a）提供了模拟违约时间的一个不错的参考资源。

[1] 这篇文献评论的最后一节提供了一个用蒙特卡罗分析法来给信用衍生工具定价的一个更详细的例子。

[2] 我们使用符号λ（.）来表明公司的风险中性违约强度可以是一个时间函数（因此，它不需要是常量）。

28.8 模拟违约时间的例子

为了说明这个模拟过程，考虑下面的例子。假设我们对三个周期感兴趣：

T3 =3。公司在第一年期间有一个λ（1）=10%的违约强

度，在第二年期间λ（2）=14%，第三年期间λ（3）=8%。如果公司在第一年违约，我们将会模拟一个违约时间T，如果公司在第一年违约，τ=1；如果公司在第二年违约，τ=2；如果公司在第三年违约，τ=3。

1.首先形成一个在0和1之间的归一化随机数字U［在电子表单Excel中使用函数RAND（.）］。

2.接下来，计算下面的价值：

3.最后，根据下面U的价值分配τ：

如果0.274直观地，人们可以看到这个运算法则是有效的，因为符合τ的每一个价值的U的间隔大小正好是那个期间的违约概率，举例来说，符合τ=2的U的间隔大小是

28.9 担保债务凭证（CDO）

担保债务凭证或CDO是信用衍生工具的另一个流行的种类。一个CDO可以把一个标的债券或贷款投资组合里的违约风险分层，分别出售给初级和资深投资者。 为了说明分层（tranching）的概念，假设一个有10只债券的投资组合，每一只都有100美元的面值（投资组合的总面值是1000美元）。一个包括10只债券的共同基金的投资者承担与他的债券所有权成比例的违约损失。然而在一个包括10只债券的CDO里，违约风险敞口分布是不同的。如果对一个CDO进行分层，将其分为一个80%的高级份额和剩余20%的次级份额。那么在次级份额里的投资者承担首次亏损部分或股权部分，他们承担的损失最高为20%（从债券面值来说的话是200美元）。次级份额里的投资是高风险、高回报的。如果因为违约的损失少于200美元，那么高级份额的投资者在到期的时候会获得800美元。如果因为违约的损失超过200美元，那么高级份额的投资者将会开始损失本金。 在一个典型的CDO里，资产被分成四份或五份，但是应用于标的投资组合里的损失分配的方法也同样适用。权益性份额吸收了初步亏损，然后损失扩大到中间层的份额。最后，如果标的投资组合遭受灾难性的损失，那么高级份额和超高级份额里的投资者也会遭受损失，但损失金额不超过他们的投资本金。高级份额里的投资者很少遭受任何损失。因此，这些份额的收益经常和高评级的公司债券收益非常接近。

28.10 CDO价格相关性的影响

达菲和尼古拉斯（2001）讨论了给CDO定价，在CDO定价里最重要的两个概念是分层和违约相关性。这两个因素对初级份额和高级份额的影响是不同的。举例来说，假设一个CDO的基础资产投资组合中仅仅包括两只债券，每一只有100美元的面值，有一个50%的高级份额和一个50%的次级份额。如果我们假设万

一违约并且回收额为零，那么高级份额里的投资者只有在两个债券一起违约的时候才损失本金。为了显示违约相关性对这两个CDO份额价格的影响，我们考虑投资组合里两只债券的违约时间的两个极端值-1和1。

如果违约相关系数是1，那么这两个公司倾向于要么一起违约要么不一起违约。高级份额只有在两个公司一起违约的时候才会受影响。因此违约相关系数是1，对高级份额持有者是不利的。相反，如果违约相关系数是-1，那么两家公司很少一起违约，只有一家公司违约的可能性更高。这个情况对高级份额的投资者有利，只有当两家公司一起违约的时候才损失本金。但是它对次级份额的投资者有害，只要一家公司违约，他们就会损失本金。

我们最后提两个观点。首先，债券之间的相关系数几乎不会是负数，因此先前例子的直觉是有用的：低相关性对权益份额的投资者不利，高相关性对高级份额投资者不利。穆迪已经开发了一个叫作多样化评分的方法，这被用于评估一个CDO的标的资产债务证券投资组合的相关系数。多样化评分本质上就是不相关的债务证券的个数，其和CDO标的资产的（相关的）实际投资组合有相同的损失分布。其次，对于中等的或中间层份额，相关性的影响是模糊的，取决于特定的CDO的构成，中间层份额可能一点也不受相关性的影响，或者无论是有好处还是坏处，它仅仅受到相关性轻微的影响。这个效果与首次损失价格和高级份额价值的相关性形成对比，其中，相关性效果是系统性的和清楚的。

28.11 信用指标

迄今为止大部分的CDO交易已经成为投资银行所做的标准化的交易。投资银行决定哪些基础资产包括在基础资产投资组合中（通常超过50个），通过购买债券或进行CDS交易来寻找信用敞口，定义份额组合，然后将份额销售给不同类别的投资者。权益性份额通常被卖给对冲基金，高级份额通常被卖给养老基金和保险公司。

iTraxx指数已经成为流行的标准信用基准（参阅达菲和尤尔达伊2004）。进行一个指数CDS交易是可能的，这产生和全部拥有与这个多样化投资组合相同的信用风险敞口。iTraxx指数也是可买卖的标准化的CDO份额。一个投资者可以通过交易iTraxx来获得相同的风险敞口，就好像他实际在投资一个CDO。投资者没有实际投资基金，因此，这些标准化的交易被叫作合成份额。

28.12 一篮子违约掉期

一篮子违约掉期是另一类别的信用衍生工具，信用衍生工具为一篮子标的债券的违约提供保护。在一个首次违约掉期中，购买者支付周期性的费用来换取一个相当于在标的投资组合里第一个债券违约时造成的违约损失的保险赔付。一个基于相同的标的投资组合的CDO股权份额的股权投资者也将承担投资组合的首次损失，因此首次违约保护可以减少大部分风险。

第n个违约掉期是首次违约的一个变种：当标的投资组合里第n个公司违约而不是当第一个公司违约的时候，保险赔付被触发了。正如CDO价格一样，第n个违约掉期价格对标的投资组合里债券之间的违约相关性敏感。如果违约相关性是高的，那么一大群公司一起违约的可能性就会更高。因此如果n和标的投资组合里的债券数字相比较大的话，那么当违约相关性高的时候，第n个违约掉期价格或保险支付也会很大。相反地，如果违约相关性是低的，那么很有可能将会有投资组合里的一个（或多个）公司违约的情景。但是在每个这样的情景里，因为相关性低，所以违约的总公司数量被在一个小数额内。因为当违约相关性低的时候，至少一个公司违约发生的频度高，首次违约掉期价格（n表示第n次违约掉期价格）将会相对较高。直观地，对比较小的n来说，第n次违约掉期价格和一个CDO的股权份额对违约相关性的敏感度是相似的。然而对于比较大的n来说，第n次违约掉期价格和一个CDO的高级份额对违约相关性的敏感度是相似的。对于中间层CDO份额以及处于中间大小的n来说，违约相关性对于第n次违约掉期价格的影响是模糊的。赫尔和怀特（2004）提供了一个相关性对于CDO价格和第n次违约掉期价格的影响的绝妙论述。

28.13 关联违约的模型

我们到目前为止已经回顾了的信用风险模型讲述了单个公司的违约风险。正如我们展示的，像CDO和第n次违约掉期这样热门的信用衍生工具对公司之间的违约风险相关性是敏感的。因此，信用风险的大部分前沿研究解决了关联违约的模型。

有两个给关联违约构建模型的方法。达菲和辛格尔顿（1999a）描述了公司的违约强度和另外一个公司的违约强度相关的模型。另外，李（2000）、斯科布彻尔和舒伯特（2001）使用连接函数（在这节后面将更详细地讨论）来直接将一个相关性结构覆盖在不同公司的违约时间上。这些模型各有优缺点。尽管直观上允许公司之间存在关联违约强度还是很有用的，但是使用这些模型可能是有挑战性的。连接函数没有一个简单的经济解释，但是用这些模型计算许多信用衍生工具的价格则容易得多。

我们以一个相关的风险中性违约强度的检测开始。在单个公司的风险中性违约强度的模型里，我们允许它的违约强度可以根据波动率参数而随机改变。许多公司共同的风险中性违约强度的模型也需要我们提供每对公司风险中性违约强度之间的相关系数。举例来说，如果有10家公司，那么就有45对不同的公司配对，

每一对都需要一个相关性参数。达菲和辛格尔顿（1999a）提供了如何根据每个公司风险中性违约强度构建模型，以便它们随着时间变化是相关的。

一旦我们有一个这些公司的相关的风险中性违约强度的模型，我们就可以同步模拟10个公司的违约时间T1 ，…，T10 ，就好像我们有10个模型。

1.模拟10个相关的违约强度的路径λ1 （.），…，λ10 （.），10个在0和1之间的正态随机数字U1 ，…，U10

2.每个j=1，…，10. ·设定τj =T1

·设定τj =T2

·总的来说，设定τj =Tm

（注：再次，回想一下， 同样，请注意Tm 的特殊价值取决于∧j （.）和Uj ；因此，对每个j=1，…，10，它可能不同。）

模拟的违约时间τj 在公司之间是相关的，因为公司的违约强度是相关的。举例来说，如果违约强度λ1 （.）和λ2 （.）完全相关，那么违约在任何期间发生的概率对两家公司将会是一样的。然而意识到违约时间T1 和T2 本身不是完全相关是重要的，因为归一化随机数字U1 和U2 是抽取的。

使用copula连接函数来模拟相关的违约的算法和上面是一样的，除了：

·正态随机数字U1 ，…，U10 是相关的，而不是的，一个连接函数决定了这些数字之间的相关性。

·风险中性违约强度λ1 （.），…，λ10 （.）是确定性的，因此，它们是不相关的。

一个copula连接函数就将事情联系或捆绑在一起。 [1] 在数据上，一个连接函数将单独的、正态随机数字结合成相关归一化随机数字。就实际而言，连接函数被频繁地用于形成相关的归一化随机数字。李（2000），斯科布彻尔和舒伯特（2001）都使用高斯连接函数，它将相关的高斯（或正态）随机变量（可以被轻松模拟）转变成相关的归一化随机变量。达斯和耿（2004）检测了高斯、坎贝尔、克莱顿和斯图托特的t连接函数与公司的联合违约过程符合程度有多好，并发现了克莱顿连接函数最为符合。

（注：更正规地，对相关的正态随机变量X1，…，X10 来说，高斯连接通过设定Ui =N（Xi ）产生了相关的正态随机数字U1 ，…，U10 ，其中N（.）是一个标准正态变量的累积分布函数。）

在这种建模方法中，违约时间τ1 ，…，τ10 是相关的，因为正态随机数字U1 ，…，U10 是相关的。原因是，在其他条件相同的情况下，如果Uj 对第j个公司是小的，那么公司的违约时间τj 也倾向于是小的（反之亦然）。因此，如果U1 和U2 是正相关，那么当U2 小的时候，U1 也倾向于是小的（反之亦然）；τ1 和τ2 也是正相关，因为当τ2 是小的时候，τ1 也倾向于是小的（反之亦然）。

总而言之，给关联违约构建模型的最流行的方法如下：

·在一种方法里，公司的风险中性违约强度和另一个公司是相关的，但是彼此的归一化随机数字是不相关的。达菲和辛格尔顿（1999a）提供了这个建模方法的例子。

·另一种方法，一个连接函数被用来产生相关的归一化随机数字，但是使用了确定性的违约强度。李（2000），斯科布彻尔和舒伯特（2001）提供了这个模型方法的例子。

这两种建模方法都需要将每对公司的相关系数作为输入量。理论上，这个相关系数对每对公司来说都可以是不同的。然而，业内一般对所有公司使用相同的相关系数。还有要使用哪个相关性的问题。对于相关的违约强度模型来说，公司之间信用利差的相关性和它们风险中性违约强度的相关性之间有直接的联系。因此人们可以评估每对公司之间的信用利差的历史相关系数，并使用这些评估作为它们违约强度之间的相关系数。对于使用copula连接方法的模型来说，则没有如此直接的关系，从业者反而经常使用从公司资产收益率中评估得来的相关系数。

信用衍生工具的价格也频繁地被用于推断隐含的相关系数输入量。也就是说，关联违约模型经过调整，可以用于计算普通信用衍生工具的市价。举例来说，iTraxx指数上合成份额的市价是完全透明的，交易员可以使用每个份额的价格来推断潜在投资组合里的发行人之间的风险中性违约相关系数（正如期权交易员使用市价来推断隐含期权的波动率）。根据哪一个份额价格来推断相关系数，会使得隐含的违约相关系数明显不同。隐含的违约相关系数是不同的，这一点与模型不一致，因为对每个份额来说，标的公司投资组合是一样的，因此，公司之间的相关系数不应该变化。这个“隐含相关系数微笑曲线”问题是现在的重点研究课题。 依赖大量关联违约的信用衍生工具，在计算上是很复杂的，而且已经有很多关于如何有效计算价格的文章。陈和格拉瑟曼（2006）用蒙特卡罗模拟和一个叫作重要性抽样（importance sampling）的技术，可以提高计算违约掉期定价时的速度。计算衍生工具价格的许多文献都使用copula因子连接函数计算价格。一个copula因子连接函数可以被用来产生10个相关的正态随机数字X1 ，…，X10 ，如下所示：

·产生一个正态随机数字Z和10个的标准的任意数字ε1 ，…，ε10 .

·设定 之间的相关函数是ρ（i≠j）。

随后，高斯连接函数被用来将相关的正态随机变量X1 ，…，X10 转变成相关的归一化随机变量U1 ，…，U10 。这个产生相关的正态随机数字的方法特别有用，因为在相同的X的条件下，公司的违约时间彼此，因此，许多信用衍生工具的价值可以用解析式进行计算（再次强调，在相同的X的条件下）。两种流行的在X的取值范围内迭代X的值，来计算一个信用衍生工具的绝对价值的方法是劳伦特和格雷戈里（2005）使用的变换分析法和安德森和西德纽斯（2005），赫尔和怀特（2004）使用的利用顾客资金买空卖空方法（bucketing approach）。

克林杜德兰、戈德斯坦和赫尔维基（2003）证明了当公司违约的时候市场信用利差增加，达斯、达菲、卡帕蒂亚和财田（2007）发现，与关联违约强度标准模型隐含的违约率相比，违约情况要更多样化。克林杜德兰以及其他人（2003）和吉赛克（2004）提供了关联违约强度的一般模型，在这个模型里一个公司的违约会影响到其他公司的违约概率和信用利差。

[1] 在语言学里，“copula”是一个连接主语和谓语的单词。

28.14 使用蒙特卡罗法为CDO定价

蒙特卡罗分析法是信用衍生工具定价的一种流行方法，例如CDO。为了说明这个方法，假设一个CDO的标的投资组合包括10只零息债券，其中每一只都是在三年内到期。如果一个发行人在到期时间之前违约，那么这个债券在第三年支付50美元；否则，按照100美元的面值支付。这个CDO有一个承担投资组合损失第一个20%的次级份额和一个承担任何高于20%的损失的高级份额。下面的运算法则可以使用蒙特卡罗分析法，用于计算高级份额和次级份额的价格： ·用copula联结法或相关的风险中性违约强度来模拟10个相关的违约时间τ1 ，…，τ10 。 [1]

·计算CDO的每个份额的收益。如果没有出现少于三年的违约，那么次级份额获得200美元，高级份额获得800美元。如果在第三年之前有四个违约，那么次级份额获得0美元，高级份额获得800美元。如果在第三年之前有5个违约，那么次级份额获得0美元，高级份额获得750美元。总的来说，如果在第三年之前有n个违约，那么次级份额获得＄200-min（n，4）×＄50，高级份额获得＄800-max（n-4，0）×＄50。

·重复步骤1和2（例如50000），并计算高级份额和次级份额的收益。随着模拟的数字变大，平均收益就接近于风险中性预期收益。

·用三年无风险率贴现风险中性平均收益（步骤3里计算的）来获得高级份额和次级份额的价格。

附加在这篇文献评论的一个补充电子表格（可在线下载）说明如何使用连接法和相关的风险中性违约强度来给信用衍生工具定价，例如CDO。

[1] 人们也可以将这两种方法结合起来使用。

28.15 结论

在这篇文献回顾里，我们讨论了信用风险模型和像CDS和CDO这样的信用衍生工具的定价。有两种方式为一个单独公司的信用风险敞口构建模型：

·在结构化模型里，公司的资产被假设为随着时间发生随机变化。当公司资产的价值低于某个水平（例如，公司来清偿的债务总额）的时候违约将会发生。 ·在简式模型里，通过使用公司风险率或违约强度，违约概率可以直接建模。一个公司的风险中性违约强度可以随着时间随机变化并且和公司为了借钱而支付的信用利差密切相关。

简式定价模型被大量地使用在为衍生工具定价的行业里。在一个简式定价模型里，公司的风险中性违约强度被用来给公司的违约概率构建模型。公司的风险中性违约强度通常高于它的实际违约强度。这反映在一旦违约的情况下，投资者对持有公司的债务的风险厌恶。我们基于实际的或风险中性违约强度，为模拟一个单独公司的违约行为提供了一个简单的运算法则。

我们基于公司的一个投资组合回顾了信用风险模型和信用衍生工具。我们证明了CDO价格和一篮子违约掉期价格的违约相关性的影响。我们讨论了给相关违约风险构建模型的两种流行的方法。 ·风险中性违约强度彼此相关。

·利用copula函数在违约时间上建立一个相关性结构。

之所以连接函数被频繁地使用，是因为用它们可以很方便地算出多个信用衍生工具的价格（尽管这些模型的确有一些不一致，例如“隐含相关系数问题”）。我们简要地回顾了用来提高计算价格速度的copula因子连接函数。最后，我们讨论了如何使用这两种方法来模拟相关的违约时间，以及用蒙特卡罗分析法为CDO定价。