高考数学常考题型的总结(必修五)

对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点,什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢.同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来.

必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解：

解三角形

解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题,一般考查分数为5-12分.考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大,如果出解答题,一般是第17题，属于拿分题。 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。

正弦定理：（为的外接圆半径) 余弦定理：，， (变形后）,，

三角形的面积的公式：。 知识点分解：

（1)两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。 （2）两角一边,求另外一角和两边，肯定是正弦定理。 （3)等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理. (4)知道三边的关系用余弦定理。

（5）求三角形的面积，或和向量结合用向量的余弦公式.

（6）正余弦定理与其他知识的综合。

必须具备的知识点:三角函数的定义、同角三角函数、诱导公式和三角恒等变换.

可能综合的知识点:三角函数以及正余弦定理的模块内部综合；和与数列的综合、与平面向量的综合、以及与基本不等式的综合. 解三角形常考的题型有： 考点一 正弦定理的应用

例：在中，，则 答案：

知识点:正弦定理和三角同角关系

思路：（方法不唯一）利用正弦定理先求出，然后利用同角三角函数的关系可求出.

考点二 余弦定理的应用

例:在ABC中，已知，，,求的值 答案：

知识点:余弦定理

思路:直接利用余弦定理，即可求出的值.

考点三 正、余弦定理的混合应用

例：设的内角所对边的长分别为.若，则则角_____. 答案：

知识点：正余弦定理

思路：（方法不唯一）先通过正弦定理求出三边的关系，然后再用余弦定理求角.

考点四 三角形的面积问题

例：在中,角所对应的边分别为,若，且求的值 答案：

知识点：三角形的面积

思路：先求出，然后由三角形面积公式即可.

考点五 最值问题

例:在中，,则的最大值为 答案：

知识点：正弦定理和三角恒等变换

思路:(方法不唯一）先利用正弦定理，然后利用恒等变换，转化为正弦函数,求正弦函数的值域问题.

考点六 三角形形状的判断

例：已知中，，判断三角形的形状 答案：等腰三角形或直角三角形 知识点：正弦定理和二倍角公式

思路：先由正弦定理化解，然后利用二倍角公式讨论即可。

考点七 三角形个数的判断

例：在中，角所对应的边分别为,若，且求的值 答案:1或2

知识点：正余弦定理 思路：分类讨论或两种情况。

考点八 基本不等式在解三角形上的应用

例：在中，角所对应的边分别为,若，求的面积的最大值. 答案：

知识点：三角形面积公式、余弦定理和基本不等式

思路:先利用三角形面积公式，然后用余弦定理，最后基本不等式求最值。 例：设的内角所对的边长分别为，且,求的最大值。 答案：

知识点：正弦定理、正切差公式和基本不等式

思路：先通过正弦定理，得到，然后正切差公式,最后应用基本不等式.

考点九 平面向量在解三角形上的应用

例:在中,的面积，求 答案:

知识点：三角形面积公式和平面向量中的余弦公式

思路：先利用三角形面积公式,然后平面向量中的余弦公式即可。 例：在中,边所对的角为，向量,且向量与的夹角是。 求角的大小 答案:

知识点：向量中的坐标运算和余弦公式

思路：先利用向量的坐标运算和余弦公式转化，然后求解。

考点十 数列在解三角形上的应用

例:设的内角所对的边长分别为，若依次成等比数列，角的取值范围。 答案:

知识点：余弦定理、等比数列和基本不等式

思路:先用等比数列,然后余弦定理，最后用基本不等式求最值.

考点十一 解三角形的实际应用

例：如图，都在同一个与水平面垂直的平面内，为两岛上的两座灯塔的塔顶。测量船于水面处测得点和点的仰角

分别为,，于水面处测得点和点的仰角均为，。试探究图中间距离与另外哪两点间距离相等，然后求的距离(计算结果精确到，，） 答案：0.33km

知识点：正弦定理和三角形的相关知识

思路:先通过三角形的相关知识进行转化，然后利用正弦定理就可以求出长度。

考点十二 解三角形的综合题型

例：已知分别为三个内角的对边， （1）求 （2)若,的面积为；求。 答案:（1) （2)

知识点：正余弦定理、三角形面积公式、三角恒等变换和诱导公式

思路：（1）先通过正弦定理和诱导公式转化,转化完之后，利用三角恒等变换求出. （2）利用角，再通过余弦定理，就可以求出的值。

数列

数列是高考的必考知识点，每年都有考题,一般考查分数为10-17分。考查的时候,可能是选择题、填空题，或解答题,有时单独考查,有时会与不等式，函数等知识点进行综合考查.以前考题比较难一些，现在多数比较简单，但是常用的方法还是比较经典的.

知识点：数列的递推公式，数列的求通项公式,数列的求和，等差数列和等比数列

知识点分解：

（1）递推公式：建立前项和和的关系。

（2）等差数列的通项公式、公式、性质、等差中项以及前项和等问题。 (3）等比数列的通项公式、公式、性质、等比中项以及前项和等问题. (4）数列求通项公式的几种方法。 (5）数列求和的几种方法。 （6）数列的综合问题

必须具备的知识点：函数、导数、不等式，平面向量、三角函数等相关知识。

可能综合的知识点：数列的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与不等式的综合。 数列的常见题型： 考点一 和的关系

例：数列的前项和为 已知,求的值,以及数列的表达式。 答案:，

知识点：递推公式

思路:已知项数，求具体值；未知项数，求表达式。

考点二 等差数列

1等差数列的公差和通项公式

，（等差数列的通项公式，知三求一；如果已知，那么求的是数列的通项公式） （等差数列通项公式的变形公式）

例：已知等差数列中，,求数列的公差以及数列的通项公式; 答案：，

知识点:等差的公差和通项公式

思路：利用数列的通项公式先求出公差，然后求数列的通项公式。

2 等差数列的性质

(都是正整数），，（都是正整数)，，是和的等差中项。 例：已知等差数列中，,求以及的值 答案：，

知识点：等差数列的性质

思路：等差数列的性质和等差中项可得到。

3 等差数列的求和

（知三求一，如果已知,那么求的是的表达式）， （为奇数）或。

例：设等差数列的前项和为,若，则的值 答案:63

知识点：等差数列的求和

思路：(方法不唯一)通过等差数列前项和为，先求出和,然后再利用等差数列前项和，求。

4 等差数列求和中的最值问题

类似于二次函数,当时,有最小值;当时，有最大值。 例：设等差数列｛}的前n项和为，已知,求中的最大值 答案：49。

知识点:等差数列的和或二次函数的知识

思路：先利用等差数列的前项和表达式,然后利用二次函数的知识求最大值. 例：设等差数列｛｝的前n项和为，已知,求中的最小值 答案：-36

知识点：等差数列的和或二次函数的知识

思路:先利用等差数列的前项和表达式，然后利用二次函数的知识求最小值

5 等差数列的证明 （等差数列的定义表达式）

例:设数列的前n项和为，，求证:是等差数列。 答案：首项为1，公差也为1的等差数列 知识点：对数函数的知识和等差数列

思路：先求出，然后利用等差数列的定义表达式，证明等差数列。 6已知等差数列｛｝中，求数列｛}前n项和。 答案：或

知识点:解方程和等差数列的和

思路：先利用等差数列的知识求出首项和公差，然后再求前n项和

考点三 等比数列

1 等比数列的公比和通项公式

（等比数列的通项公式，知三求一；如果已知，那么求的是数列的通项公式） (等比数列通项公式的变形公式）

例：已知等比数列中，，求等比数列的公比和数列的通项公式; 答案：，

知识点:等比数列的公比和通项公式

思路：利用等比数列的通项公式即可求出. 2等比数列的性质

（都是正整数），,(都是正整数），,是和的等比中项。 例：设等比数列｛}，已知，求值 答案：

知识点：等比中项 思路：利用等比中项即可。 例:设等比数列{｝，已知，求值 答案：216

知识点：等比数列的性质 思路：利用等比的性质即可。 3等比数列求和

(用错位相减法推导）

例:设等比数列的公比，前项和为,则 答案：15

知识点：等比数列的求和

思路：利用等比数列的求和和通项公式即可。 4 等比数列的证明

（等比数列的定义表达式）

例：在数列中,,，设，证明:数列是等比数列。 答案：数列是公比2，首项-2的等比数列 知识点：等比数列的定义

思路:先化解，再利用等比数列的定义来证明. 5 等比数列的综合

例：设为数列的前项和，，，其中是常数,若对于任意的,,，成等比数列，求的值。 答案：或

知识点：等比数列的等比中项和递推公式

思路：先通过递推公式化解，然后再利用等比数列的等比中项,即可求出。

考点四 等差和等比数列的综合问题

例：已知实数列是等比数列,其中成等差数列,求数列的通项公式. 答案:

知识点：等比数列的通项公式和等差中项

思路:先利用等比数列的知识，然后再利用等差数列的等差中项，即可求出。

例：等比数列中，已知，若分别为等差数列的第3项和第5项，求数列的通项公式及前项和。 答案：

知识点:等比数列的通项公式和等差的通项公式 思路：通过等比数列的知识来转化为等差数列,即可。

考点五 求数列的通项公式

1 观察法、等差数列和等比数列的通项公式（上述已有) 2 累加法 形式为：，利用累加法求通项,

例：已知数列满足，求数列的通项公式。 答案：

知识点:累加法求数列的通项公式 思路:由得则，即可。

3 累乘法 形式为：，利用累乘法求数列通项,. 答案：

知识点：累加法求数列的通项公式 思路：由条件知，,即可。

4 待定系数法

（1）（其中p，q均为常数，)，把原递推公式转化为：，其中，再转化为等比数列求通项公式。

（2）(其中均为常数,）。 （或，其中均为常数)等式两边同除以得，，若，再利用上述的方法，转化为等比数列的形式，利用等比数列通项公式；若，将转化为等差数列的形式，再利用等差数列求通项公式。 例：已知数列中，，，求. 答案:

知识点：待定系数法求数列的通项公式

思路：设递推公式可以转化为，然后利用等比数列求通项公式。 例：已知数列中，,，求。 答案：

知识点:待定系数法求数列的通项公式

思路：（方法不唯一)根据，两边除以得：，令，转化成上面例题的形式，然后再利用上面例题的方法求解。

5 配凑法（构造法）：建立等差数列或等比数列的形式

例：已知数列满足求数列的通项公式； 答案：

知识点：构造成等比数列

思路：（方法不唯一,还可以利用特征根的方法求解）构造等比数列,或利用特征根的方法,求出两根,，然后利用等比数列的知识求解.

6 递推法

，解决既有又有的问题。 例：设数列的前项和为 已知答案:

知识点：利用递推公式，再利用等比数列的通项公式 思路:先利用递推公式化解，然后等比数列求通项公式。

7 不动点法、换元法，数学归纳法等求通项公式（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了）

，

求数列的通项公式。

考点六 数列求和

1 公式法、等差数列和等比数列求和(略） 2 裂项相消法 裂项相消的常见形式：，，

。

例：已知数列满足求数列的求和. 答案：

知识点:利用裂项相消求数列的和

思路:利用求和即可。

例：已知数列满足：求数列的求和

，答案：

知识点:分母有理化,利用裂项相消求数列的和 思路：进行分母有理化得，,然后裂项相消求和.

3 错位相减法：（课本上推导等比数列求和公式的方法)由等差数列和等比数列构成的新数列,用错位相减。 例：已知数列满足：,求数列的求和 答案：

知识点：错位相减法求和 思路:错位相减法求和。

例：设数列满足,，设，求数列的前项和。 答案：

知识点:错位相减法求和 思路：错位相减法求和.

4 分组求和法（将新数列分成已学过的数列，然后求和）

例：设数列的前n项和为,且，求的表达式 答案：

知识点：利用等差数列和等比数列求和

思路:根据数列的特点，等差数列和等比数列的求和公式可以得到. 5 相加求和法、数学归纳法求和（内蒙古高考现在已经不是重要的方法了)

考点七 数列中的不等式问题

例：设数列的前项和为．已知，,，若，，求的取值范围。 答案：

知识点：递推公式，构造法求的通项公式，数列的单调性.

思路:通过递推公式,构造法求的通项公式，再利用数列的单调性求的取值范围。

考点八 数列中的放缩法

例：已知数列满足，证明

，答案：如下

知识点：发缩放证明数列中的不等式

思路:由构造法求的通项公式,然后利用放缩法,转化为等比数列求和，最后证明不等式。

考点九 数列中的不等式问题（最值问题,是正整数）

例:已知等差数列的前项和为,若，则的最小值为 答案：-49

知识点：等差数列的求和，导数

思路：通过等差数列的知识求出，然后再通过导数求出。

不等式

不等式是高考的重要知识点,但是它会和其他知识融合在一起考查，有时是一道小题，有时会和其他知识综合在一起以大题的形式出现，分数范围为（5—10分）。现在线性规划，几乎每年必考，虽然不是很难，但是大家一定要掌握好，不等式小题一般不会很难,综合题重点主要是汇入其他知识点进行，对数是取值范围或值域问题。

知识点:不等关系、解不等式、不等数组的线性规划和基本不等式。 不等关系：

1。不等关系与不等式

比差法:。问题的关键是判定差的符号（正,负，零）,方法通常是配方或因式分解. 2.不等式的性质

基本性质有：

（1）（对称性） (2）（传递性) （ 3） (4）时，； 时，. 运算性质有：

(1) （2） (3) （4） （5) （6). 3 基本不等式

(同号，当且仅当时成立等号）；

(同号,等号成立)；(当且仅当时成立等号)。

（当且仅当时成立等号)。

必须具备的知识点：函数、导数、三角函数、数列等相关知识.

可能综合的知识点:不等式的内部综合、与三角函数的综合、与导数的综合、以及与数列的综合。 不等式的常见题型： 考点一 解一元二次不等式

解一元二次不等式一般与二次函数和一元二次方程结合起来研究

（讨论的情况) 两不等实根 两相等实根 无实根 （讨论的情况,只需将不等式两边同乘以-1，改变不等式方向加以研究) 1 最基本的一元二次不等式（略）

2 含参数的一元二次不等式（需要分类讨论）

例:解不等式（）

答案：当或时,解集为；当时，解集为； 知识点:解含参数的一元二次不等式 思路：用分类讨论法解一元二次不等式. 3 高次不等式(数轴标根法,已不再是高考的重点) 4 分式不等式 （1）（）。

（2）(剩下的同上）注意，如果已经确定,即有。 5 单绝对值不等式 （1）；(2） 6 双绝对值不等式

可分解为:当时，；当时,；当时，。具体解根据实际情况即可。注意:；含参数的双绝对值需要先确定参数的范围再分类讨论，或根据实际情况看是哪一类问题具体确定；含参数的双绝对值不等式恒成立问题，会涉及到最值问题,需要根据函数的单调性求取值。 例：已知函数，求不等式的解集。 答案:

知识点：双绝对值不等式

思路：分类讨论解双绝对值不等式。 例:函数，若的解集包含，求的取值范围。 答案：

知识点：双绝对值不等式中含参数的问题

思路：由给出的解集，可去双绝对值，然后确定的取值范围。 例:关于的不等式在上恒成立，则实数的最大值是 答案：

知识点：双绝对值不等式中含参数的问题

思路：（方法不唯一）分类讨论可以解出不等式的取值范围,然后求出的最大值.

考点二 不等式的证明

常用的方法:做差法，分析法，综合法，放缩法,数学归纳法。 柯西不等式: 例：已知,求证 答案：如下

知识点:柯西不等式

思路：由，然后构造柯西不等式. 例：已知，求证。 答案：如下

知识点：绝对值不等式，作差法 思路:作差,讨论的正负. 例:若，求证 答案:如下

知识点：绝对值不等式,不等式的性质

思路：通过解绝对值不等式，和不等式的性质即可.

考点三 不等式组的线性规划

不等式组的线性规划的解题思路是：所取的点是否在约束的范围内. 1 最大值和最小值

例：设变量满足约束条件则目标函数的最大值和最小值分别为 答案：3,-11

知识点:不等式组的线性规划（最大值和最小值)

思路：三条直线的交点（构成三角形区域）代入目标函数中，即一个最大值和一个最小值. 2 最值范围

例：设满足约束条件：；则的取值范围为 答案:

知识点：不等式组的线性规划

思路：画图，找出区域，求出的交点代入目标函数中,即一个最大值和一个最小值. 3面积问题

例：不等式组表示的平面区域的面积为

答案：1

知识点:不等式组的线性规划

思路：找出三角形区域，然后用三角形面积公式求面积。 4目标函数中含参数

例:已知满足以下约束条件，使取得最小值的最优解有无数个，则的值为 答案：1

知识点:不等式组的线性规划

思路:找出可行域,做目标函数的平行线，即可。 5 求非线性目标函数的最值

例：已知x、y满足以下约束条件 ，则z=x2+y2的最大值和最小值分别是 答案:13，

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中,即可。 6 约束条件中含函数的最值范围

例:已知＞0， 满足约束条件， 若的最小值是1，则＝ 答案：

知识点：不等式组的线性规划

思路:找出可行域，求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。 7 比值问题

例：已知变量满足约束条件，则 的取值范围是（ ）。 答案：

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域,求出三个交点的坐标代入目标函数中，即可。 8 双边约束条件

例：若变量满足约束条件，则的最小值是. 答案:—6

知识点：不等式组的线性规划

思路：找出可行域，是平行四边形区域，求出四个交点的坐标代入目标函数中，即可。

考点四 基本不等式 1 直接法

例：求函数的最小值 答案:2

知识点:基本不等式 思路：直接用基本不等式. 2 构造法

例：已知，求函数的最大值 答案：1

知识点:基本不等式

思路：上述表达式可转化为，，应用基本不等式. 例：求的最小值 答案:5

知识点：基本不等式

思路：上式转化为：,然后用基本不等式。 3 换元法 例:求函数的值域. 答案:

知识点：基本不等式

思路：令，则，应用基本不等式（函数的单调性）。

4 “1”的活用 例：已知则的最小值是 答案：

知识点:基本不等式

思路：可根据进行转化，然后利用基本不等式。 5 的应用

例：若实数满足，则的最大值是 答案：

知识点：基本不等式 思路:上式可转化为：，即可。 6 基本不等式的证明

例：设均为正数，且，证明：。 答案：如下 知识点：基本不等式 思路：利用即可。

考点五 不等式的综合问题

例:函数的值域是 答案：

知识点：函数的值域,基本不等式

思路：需要先对函数两边平方,然后构造基本不等式,最后用基本不等式。 例：不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为 答案：

知识点：恒成立问题，解不等式

思路：先求双绝对值的最大值，然后解实数的取值范围.

例：设满足约束条件若目标函数的最大值为12，则的最小值为 答案：

知识点：线性规划，基本不等式

思路：先画可行域,然后确定最大值，最后用基本不等式求最小值. 例：已知函数的图像在点处的切线方程为。 （1）用表示出，；

（2）若在上恒成立，求的取值范围； （3）证明:。 答案：(2）

知识点：导数，函数,不等式

思路：（2）分类讨论，恒成立问题。（3)在第二问的基础上，令，然后化解就行.

上述将必修五的知识点和常考题型简单的做了总结,题型不是很全，但重要的方法或常考的方法基本上都有了，同学们不仅要理解它,更重要的是灵活应用它.希望同学们在学习过程中，要多总结,多练习，多思考，将常考的知识点和方法掌握相当熟练的程度，只有这样才能取得理解的成绩。