2021北京门头沟高三一模数学

数 学

2021.3

考生须知

1.本试卷共5页。请将条形码粘贴在答题卡相应位置处。

2.试卷所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。 3.请使用2B铅笔填涂，用黑色字迹签字笔或钢笔作答。 4.考试时间120分钟，试卷满分150分。

一、选择题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1.复数z＝i（1－i） 的模| z |＝

（A）2

（B）2

（C）1

（D）

2.集合A＝{x|x＞0}，B＝{x|| x |≤2}, 则A∩B＝

（A）R

5（B）[－2,＋∞） （C）（0,2] （D）（0,＋∞）

23.二项式x2展开式中，x4的系数是

x（A） 40

（B） 10

（C） 40

（D） －10

4.某四棱锥的三视图如图所示，则此四棱锥最长的棱长为

（A） 2 （C） 4

（B） 22 （D）23

5.数列{an}中，a1＝1,an＋1＝－2an，数列{bn}满足bn＝| an |，则数列{bn}的前n项和Sn＝

（A）

1(2)n3

12n （B） 3（C） 2n1

（D） (2)1

n 1 / 5

6.京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟.由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为

（A）10分钟

（B）12分钟

（C）14分钟

（D）16分钟

7. \"ln(x＋1)＜0\"的一个必要而不充分条件是

（A） －1＜x＜（C） －1＜x＜0

1 （B） x＞0 e（D） x＜0

8.在平面直角坐标系xOy中，角a与角β均以Ox为始边，它们的终边关于x轴对称.若cosβ）＝ （A）25，则cos（a－53 5（B）

35（C）1 （D）

3 49.已知抛物线C:y2＝2px的焦点为F，点A为抛物线C上横坐标为3的点，过点A的直线交x轴的正半轴于点B，且△ABF为正三角形，则p＝ （A） 1

（B） 2

（C） 9

（D） 18

10.在平面直角坐标系中，从点P（－3,2）向直线kx－y－2－k＝0作垂线，垂足为M，则点Q（2,4）与点M的距离|MQ|的最小值是 （A）522 （B）42 （C） 62 （D） 17

二、填空题共5小题，每小题5分，满分25分。 11.在△ABC中，∠B＝

2，AB＝1，BC＝2，则AC的长为 . 312.在边长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M是该正方体表面及其内部的一动点，且BM//平面AD1C，则动点M的轨迹所形成区域的面积是 .

2 / 5

13.已知双曲线C的中心在坐标原点，且经过点P（2,3），下列条件中哪一个条件能确定唯一双曲线C, 该条件的序号是 ；满足该条件的双曲线C的标准方程是 . 条件①:双曲线C的离心率e＝2；

条件②:双曲线C的渐近线方程为y＝3x； 条件⑧:双曲线C的实轴长为2.

14.函数f(x)sinxcosx3cosx最小值为_________.

15.正△ABC的边长为1，中心为O，过O的动直线l与边AB，AC分别相交于点M、N，AMAB，ANAC，

23(0)在区间,上单调，且262f0，则的62BDDC.给出下列四个结论：

①AO11ABAC 331 4②若AN2NC，则ADNC③

11不是定值，与直线1的位置有关

④△AMN与△ABC的面积之比的最小值为其中所有正确结论的序号是_________.

4. 9三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 16.（本小题共12分）

第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：

分数段 人数 [30,40) 1 [40,50) 2 [50,60) 2 [60,70) 8 [70,80) 3 [80,90) 3 [90,100] 1 我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀。

（Ⅰ）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少?

（II）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望。 17.（本小题共15分）

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如图，在四棱锥P－ABCD中，底面4BCD为菱形，AB＝PA，PA⊥底面ABCD,∠ABC点，AC∩BD＝O.

（I）求证：平面EBD⊥平面PAC；

（II）若E是PC的中点，求ED与平面EBC所成角的正弦值.

3，E是PC上任一

18.（本小题共13分）

己知各项均为正数的数列{an}，其前n项和为Sn，数列{bn}为等差数列，满足b2＝12,b5＝30.再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求解下列问题： （I）求数列{an}的通项公式an和它的前n项和Sn；

（II）若对任意n∈N*不等式kSn ≥ bn恒成立，求k的取值范围.

2条件①anan2Sn

条件②a1＝9，当n≥2，a2＝2，an+1＝an＋2

注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分。

19.（本小题共15分）

曲线C上任一点M(x,y)到点F1(-1,0)，F2(-1,0)距离之和为22，点P(x0,y0)是曲线C上一点，直线l过点P且与直线x0x2y0y20垂直，直线l与x轴交于点Q.

（I）求曲线C的方程及点Q的坐标（用点P(x0,y0)的坐标表示）； （II）比较

PF1PF2与

QF1的大小，并证明你的结论. QF2

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20.（本小题共15分）

已知函数f(x)ex12ax(aR). 2（I）若曲线y＝f(x)在（0,＋∞）上单调递增，求a的取值范围； （II）若f(x)在区闻（0,＋∞）上存在极大值M，证明：M＜

21.（本小题满分15分）

对于一个非空集合A，如果集合D满足如下四个条件： ①D{(a,b)|aA,bA}； ②aA,(a,a)D；

③a,bA,，若(a,b)D且(b,a)D，则a＝b； ④a,b,cA，若(a,b)D且(b,c)D，则(a,c)D， 则称集合D为A的一个偏序关系。

（I）设A＝{1,2,3}，判断集合D＝{(1,1),(1,2)(2,2),(2,3),(3,3)}是不是集合A的偏序关系，请你写出一个含有4个元素且是集合A的偏序关系的集合D；

（II）证明：R≤＝{(a,b)|a∈R,b∈R,a≤b}是实数集R的一个偏序关系：

（III）设E为集合A的一个偏序关系，a,b∈A.若存在c∈A,使得（c,a）∈E,（c,b）∈E，且dA，若

a. 2(d,a)E，(d,b)∈E，一定有(d,c)∈E，则称c是a和b的交，记为c＝a∧b.证明：对A中的两个给定元素

a,b,若a∧b存在，则一定唯一.

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