二次函数难题

中考数学重难点专题讲座 一元二次方程与二次函数

相比几何综合题来说，代数综合题倒不需要太多巧妙的方法，但是对考生的计算能力以及代数功底有了比较高的要求。中考数学当中，代数问题往往是以一元二次方程与二次函数为主体，多种其他知识点辅助的形式出现的。所以在接下来的专题当中，我们将对代数综合问题进行仔细的探讨和分析。

一元二次方程与二次函数问题当中，纯粹的一元二次方程解法通常会以简单解答题的方式考察。但是在后面的中难档大题当中，通常会和根的判别式，整数根和抛物线等知识点结合，所以我们继续通过真题来看看此类问题的一般解法。

第一部分 真题精讲

【例1】已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30． ⑴求证：m取任何实数时，方程总有实数根；

⑵若二次函数y1mx23(m1)x2m1的图象关于y轴对称． ①求二次函数y1的解析式；

②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；

0)，且在实数范围内，⑶在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点(5，对于x的同一个值，这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2，均成立，求二次函数

y3ax2bxc的解析式．

1

【例2】已知P（3,m)和Q（1，m）是抛物线y2xbx1上的两点．

2（1）求b的值；

（2）判断关于x的一元二次方程2x2bx1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；

（3）将抛物线y2xbx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，求k的最小值．

【例3】已知抛物线yax24ax4a2，其中a是常数． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）若a

2

22，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式． 5

2【例4】已知：关于x的一元二次方程m1xm2x10（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

2（2）在（1）的条件下，求证：无论m取何值，抛物线ym1xm2x1总过x轴上的一个固定点；

2（3）若m是整数，且关于x的一元二次方程m1xm2x10有两个不相等的

2整数根，把抛物线ym1xm2x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

5、已知，关于x的一元二次方程:x2(a4)xa30（a0）

（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1x2），若y是关于a的函数，且y2x2，

3x1求这个函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a的方程ya10的解．

y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4

a

3

第二部分 发散思考

【思考1】.已知关于x的一元二次方程2x24xk10有实数根，k为正整数. （1）求k的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数y2x4xk1的图

2象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

y1xbbk与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 2

【思考2】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－

bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

(kc)2b2ab （2）求代数式的值；

akc（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

4

【思考3】. 已知：关于x的一元二次方程x(2m1)xmm20．

22（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1x21

m2，求m的值． m1 5

第三部分 课后作业

1、已知：关于x的一元二次方程x2(2m3)x4m14m80

22（1）若m0,求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

2、已知：关于x的一元二次方程x2(n2m)xm2mn0①

（1）求证：方程①有两个实数根；

（2）若mn10，求证方程①有一个实数根为1；

（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a，当x2时，关于m 的函数y1nxam与和关于m的函数y2x2a(n2m)xm2mn的图像交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y1、y2的图像分别交于点C、D.当l沿AB由点A平移到B点时，求线段CD的最大值.

y4321－3－2－1

O－1－2－31234m 6