高等数学(下)期末试题

1、fx(x0,y0)和fy(x0,y0)存在是函数f(x,y)在点(x0,y0)连续的（ D ）。 A.必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；

C.充分且必要的条件； D.即非充分又非必要的条件。 3、设uln(x2y2z2)，则div(gradu)＝（ B ）。 A.

1xyz222；B.

2xyz222；C.

1(xy22z)22；D.

2(xy22z)22

3、设D是xoy面上以(1,1),(1,1),(1,1)为顶点的三角形区域，D1是D中在第一象限的部分，则积分(x3ycos3xsiny)d＝（ A ）

D A.2cos3xsinyd； B.2x3yd； C.4(x3ycos3xsiny)d； D.0

D1D1222D14、设为曲面xyR＝（D ）。

(R0)上的0z1部分，则exy22sin(xy)dS22 A.0； B.ReRsinR2； C.4R； D.2ReRsinR2 5、设二阶线性非齐次方程yp(x)yq(x)yf(x)有三个特解y1x，y2ex，

y3e2x，则其通解为（C ）。

A.xC1exC2e2x； B.C1xC2exC3e2x； C.xC1(exe2x)C2(xex)； D.C1(exe2x)C2(e2xx) 二、填空题（每题３分，总计１５分）。

1、函数f(x,y)2x2axxy22y在点(1,1)处取得极值，则常数a＝___-5___。

2、若曲面x22y23z221的切平面平行于平面x4y6z250，则切点坐标为___________(1,2,2)___________。

3、二重积分0dyyyexdx的值为_______(1e1)_______。

611314、设空间立体所占闭区域为xyz1,x0,y0，上任一点的体密度是

(x,y,z)xyz，则此空间立体的质量为_____

18_______。

5、微分方程yyxy2的通解为___________

xyyC__________。

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。 2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求

32xx2zxy2。

3、将函数f(x)展开成x的幂级数，并指出收敛域。

4、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线

yx2x1相切，求函数y(x)。

5、计算Ldsxyz222，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2的弧段。

四、计算题（每题７分，总计３５分）。 1、设a0，计算极限lim(n1a2a23a322nan)的值。

2、计算zdv，其中由不等式zxy及1x2y2z24所确定。

3、计算axdydz(za)dxdyxyz2222，其中为下半球面za2x2y2的下侧，

a为大于零的常数。

4、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。

5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分

L(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy22的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，

曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。

五、本题５分。

对p0，讨论级数(1)pnn1nn1的敛散性。

一、单项选择题（每题２分，总计１０分）。 1、Ｄ；2、Ｂ；3、Ａ；4、Ｄ；5、Ｃ 二、填空题（每题３分，总计１５分）。 1、-5；2、(1,2,2)；3、(1e1)；4、；5、

6811xyyC

三、计算题（每题７分，总计３５分）。

1、已知f(x,y,z)2xyz2及点A(2,1,1)、B(3,1,1)，求函数f(x,y,z)在点A处沿由A到B方向的方向导数，并求此函数在点A处方向导数的最大值。 解：由条件得

fx2y,fy2x,1fz22z

2323 AB{1,2,2}AB0{, cos从而

f13,cos2333,}{cos,cos,cos}

,cos

f10ff= coscoscoslyzxA(2,1,1)3A点A的梯度方向是lgradf所以方向导数的最大值是

fl{2y,2x,2z}A{2,4,2}

2422222426

2、设zf(xy,xy)具有连续的二阶偏导数，求

zx2zxy2。

解：

f1yf2,zyf1xf2

zxy (f11f1f2zfyfyf212yxyyyxf12)y(f21xf22)f222

f11(xy)f12xyff23、将函数f(x)32xx2展开成x的幂级数，并指出收敛域。

f(x)32xx122n11xx2n12x11x11解：

21x/2xn0n(1)n0n(1)n1xn12n0

收敛域为(1,1)。

4、设yy(x)满足方程y3y2y2ex，且其图形在点(0,1)与曲线

yx2x1相切，求函数y(x)。

解：由条件知yy(x)满足y(0)1,y(0)1

由特征方程r23r20r11,r22,对应齐次方程的通解YC1exC2e2x 设特解为y*Axex，其中A为待定常数，代入方程，得A2y*2xex 从而得通解yC1exC2e2x2xex,代入初始条件得C11,C20 最后得y(x)(12x)ex 5、计算Ldsxyz222，其中L是螺旋线x8cost,y8sint,zt对应0t2的弧段。 解：ds Lxtytztdt22265dt

dsxyz2222650dt8t22658arctant820658

四、计算题（每题７分，总计３５分）。 1、设a0，计算极限lim(n1a2a23a3nan)的值。

解：设s(x)nxn(1x1)，则原问题转化为求和函数在xn11a处的值

而s(x)xnxn1n1xxnnn1x(x)x(x)x(xx)x2(1x)1xn1n1n1

故所求值为sa1a(a1)2

2、计算zdv，其中由不等式zxy22及1x2y2z24所确定。

2422423解：

zdvd0drcosrsindr2sincosdrdr01201

1514sin2d2r4208143、计算axdydz(za)dxdyxy222z2，其中为下半球面za2x2y2的下侧，

a为大于零的常数。

解：取xoy为xoy面上的圆盘x2y2a2，方向取上侧，则

axdydz(za)dxdyxy222z21aaxdydz(za)dxdy2122axdydz(za)dxdyaxdydz(za)dxdyaxoyxoy12(2z3a)dvadxdyaDxy

a12223222ddrcosrsind3aaaaa03024a111a34434cossindrdraaa aa20224、将函数f(x)x(1x1)展开成以2为周期的傅立叶级数。

解：所给函数在[1,1]上满足收敛定理条件，并且，将之拓广成以2为周期的函数时，它在整个实轴上均连续，因此其付立叶级数在[1,1]内收敛于函数本身。

11a02xdx1，an2xcosnxdx002(1)1n2n2，bn0(n1,2,)

f(x)1222n1(1)1n2ncosnx(1x1)

5、设函数f(x)具有连续导数并且满足f(1)3，计算曲线积分

L(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy22的值，假定此积分在右半平面内与路径无关，

曲线L是由(1,2)到(2,1)的任一条逐段光滑曲线。 解：由条件有

xx2f(x)yyyf2x22(x)x2xfxff2f2xf1x2f2

设zf1，则得zz1x2f1z13xCx

2代入条件得C0f(x)3x，从而原积分变为

L(yf(x)x)dx(xf(x)y)dy22L3(9xyx)dx(3xy)dy23L9x2ydx3xdy39(3x)x1223xdx27x12212xdx183

五、本题５分。

设D(x,y)x2y21，u(x,y)与v(x,y)在D上具有一阶连续偏导数，

Fv(x,y)iu(x,y)j,uuvvGijyxxy，且在D的边界曲线L（正

向）上有u(x,y)1,v(x,y)y，证明 FGd

D证明：FGdD[(uxDuy)v(vxvy)u]d

[(vuxDuvx)(vuyuvy)]d

y[Dx(uv)(uv)]d

LDuvdxuvdyLydxydy

d