２０１８年第４期 （总第１８４期） 中国数学教育 ｚＨＯＮＧＧＵＯ ＳＨＵＸＵＥ Ｊ｜ＡＯＹＵ Ｏ４，２０１８ ＮＧｅｎｅｒａｌ。Ｎｏ１８４ ．＿＿ 同 考数学解题失败的成因分析及主要对策 侯宝坤 －＿＿一 Ｃ＝， （上海市向明中学） 摘要：高考中，学生解题失败主要表现为：不能在规定时段内完成相关知识的提取；不能 完成知识的提取；不能全面准确地完成相关知识的提取；不能综合性地、多角度地完成对相关知识的 提取．究其原因主要有：知识内容不熟悉；知识理解不精确；知识表征不全面；问题情境不熟悉； ＣＰＦＳ结构不完善等．克服知识提取困难的对策主要包括：改进教学方式，教学由“接受”向“输出” 转变；创设多样情境，理解由“单一”向“多元”转化；全面解读知识，注重“核心”和把握“细 节”并举；加强知识联系，完善ＣＰＦＳ结构． 关键词：高考解题；知识提取困难；成因分析；主要对策 高考是全国性的选拔考试，对学生的答题时间有 表现２：有些学生在高考考试时百思不得其解， 一严格的要求．有些题目的难度较大或背景新颖，学生 出考场，经过教师或者其他学生的简单提醒就豁然 的考试心理和应试技巧都会与平时的练习、模考有很 开朗． 大的区别．经过高三的系统复习，学生对知识和方法 解决应该不会存在困难．然而事实上，在高考中学生 常常遭遇意想不到的解题失败．结合这些年的高三教 学和高考阅卷经验，笔者对学生在高考中的解题失败 和形成原因进行一些粗浅的分析，并提出相应的解决 策略，希望对高三教学有所裨益，更渴望大家共同参 与，相互切磋． 例１ （２０１ １年上海卷理科第２嗵）已知函数ｆ（ｘ１＝ 的掌握应该没有太大问题，对高考中绝大部分问题的 ０·２ ＋ｂ·３ ，其中常数０，ｂ满足０６≠０． （１）若ａｂ＞０，判断函数ｆ（ｘ１的单调性； （２）若ａｂ＜０，求当ｆ（ｘ＋１） ｘ）时的 的取值 范围． 考场上有一名学生没有做出来第（２）小题，考后笔 者只问他一个问题：遇到底不同的指数形式，怎么 办？该学生恍然大悟，通过两边除以同一个数或者两 边取对数，问题便可以迎刃而解．说明这些知识学生 原来是具备的，只是被多字母的复杂形式迷惑了，没 一、高考解题失败的几种表现 通过对近些年高考监考的现场观察和访谈，笔者 发现，在高考中学生解题失败的主要表现体现在以下 几个方面． 能按问题的线索地将知识提取出来． 表现３：有些学生知道解决某个问题要用的知识 点和方法，却总在一些细节上出现错误． 例２（２０１３年上海卷理科第ｌ２题）设０为实常 表现１：有些学生在高考考试时做不出某道题， 一出考场就恍然大悟，甚至痛哭流涕．这些本该会做 数，ｙ＝ｆ（ｘ１是定义在Ｒ上的奇函数，当 ＜０时， ｘ）＝９ｘ＋ ＋７．若ｆ（ｘ）≥口＋１对一切 ≥０成立， 的题，当时偏偏没有想出来，说明已有知识没能在特 ｆ（定的时间内提取出来． 收稿日期：２０１７—１２—２６ 则ｎ的取值范围为 作者简介：侯宝坤（１９７３一），男，中学高级教师，主要从事中学数学教学和命题研究 ·４ｌ · 中国数学教育２０１８年第４期（总第１８４期） 学生在解答时漏掉对ｆ（Ｏ１≥ａ＋１的讨论，或者用 水平．加工精细程度越高，在提取阶段就越容易被激 熟悉的“双勾”函数时，没有处理好绝对值．说明学 活．从数学知识难度和知识加工过程进行分析，高考 生对知识内容的掌握不清晰、不全面，或者学生头脑 中学生对已有知识提取困难主要有以下几个原因．中的已有知识干扰了知识的提取，造成了提取的知识 不精确． １．知识内容不熟悉 在问题解决中，遇到熟悉的情形，记忆中的有关 表现４：有的学生对章节的知识点掌握得很好， 知识容易被激活，并不需要费力地搜索；对于一些不 课后能够很好地解答相关知识的基本问题，但是却不 熟悉的知识，往往需要搜索与之相关的知识链才能得 能利用这些知识解决一些综合性问题，或者新情境下 以提取，延长了知识提取的路径，导致相关知识的提 的问题． 例３ （２０１７年上海卷第１１题）已知 １＿ｓｉｎ０／１一 ＋ １ ２，其中 －， ｚ∈Ｒ，则Ｉ１ｏ竹一 一０／２Ｉ的 最小值为 ． 从考场观察来看，大多数学生想通过解方程得出 ／０１和０／２的关系，当解出ｓｉｎ２ ＝一 时，发现 不能得到角的特殊关系，就放弃了． 从对学生的访谈中得知，他们知道正弦函数的有 界性，也会求分式函数的值域，但是没有想到等式的 相容性，从而以为能够得到形如ｓｉｎ０／：＝ｓｉｎｆ＼ 、 ／０ ＋ ７ｊ／１＂１， 或ｓｉｎ０／２＝ｓｉｎ０／ｌ的一类良好关系． 这说明，学生解题时有一定的目标意识．但是， 解决复杂的问题，需要识别不同的问题情境，必须将 所学的知识和方法放在一个更大的背景里，这时学生 往往不能全面地提取相关知识． 罗增儒教授认为，数学解题就是在问题的初始状 态和目标状态之间进行比较、分析，并消除差异，最 终找到达成目标的最佳路径的过程．这个过程需要不 断地提取已有知识．高考的时效性，决定了快速提取 所需知识是解决问题的关键．学生解题失败也是由 “知识提取困难”造成的． 二、“知识提取困难”的成因分析 人的记忆系统分为短时记忆、工作记忆和长时记 忆三个过程，而知识提取的过程就是将储存在长时记 忆中的不同信息提取到工作记忆中，提取的难易程度 取决于长时记忆中记忆痕迹的激活水平．数学知识提 取难易取决于知识本身的难度和学生对该知识的加工 ·４２· 取困难． 例４（２０１３年上海卷理科第１１题）若ＣＯＳＸＣＯＳＹ＋ ｓｉｎｘｓｉｎＹ＝百１，厶 ｓｉｎ ２ｘ＋ｓｉｎ２ｙ＝鲁，则ｓＪ ｉｎ（ｘ＋ ）＝——． 许多学生忘记了和差化积公式，利用角的关系 ２０／＝（ ＋卢）＋（／０一卢）， ＝（／０＋／３）一（／０一卢）进行处理； 有的学生将结论展开，无功而返．另外，还常听学生 说，某个公式忘了，考试时好不容易才推出来．这些 解题失败都是对知识不熟悉造成的． ２．知识理解不精确 学生倾向于记住知识的核心意义，而经常遗忘一 些细节．教学中如果将随意组合转换为有意义的内 容，记忆起来就会比较容易．在知识提取时，记忆中 获得精确理解的知识容易被激活，相反，对于一些细 节性信息或者意义不明确的知识，学生很难再次回忆 起来． 前文中的例２，既有学生在“双勾”函数的细节上 理解不精确导致知识提取失败，也有学生对分段函数 只“分”不“合”、忽视分界点和段与段之间的比较导 致解题失败． ３．知识袁征不全面 同一个数学知识的表征形式是多样的，可以用文 字语言、符号语言和图形语言三种语言来描述．有些 知识有许多等价的形式，对这些形式的把握对不同情 境下的知识提取很有帮助．学生拿到问题就应该自觉 地进行三种语言的转换．既要关注抽象的微观形式， 也要留心具象的宏观表现．否则，会造成学生机械、 孤立地记忆，甚至产生记忆混乱，难以进行正确的知 识提取． 例５（２０１６年上海卷理科第１６ 题）下列极坐标方程中，对应的曲 线为右图的是（ ）． 中国数学教育２０１８年第４期（总第１８４期） （Ａ）Ｐ＝６＋５ ＣＯＳ０ （Ｂ）Ｐ＝６＋５ ｓｉｎ ０ 时记忆中贮存了大量的数学信息，形成稳固的、联系 广泛的、紧密的知识网络．当面临新问题时，在ＣＰＦＳ 供了丰富的信息源，同时又能迅速地提取这些信息． （Ｃ）Ｐ＝６—５ＣＯＳ０ （Ｄ）Ｐ＝６—５ ｓｉｎ０ 这是典型的图形语言与符号语言之间的转化．宏 网络中就更容易全方位地激活知识点，为表征问题提 观上，图形关于直线０＝要对称；微观上，联想正 二 弦，极径在『０，２１Ｔ１，先减小再增大再减小，容易联 想到减法运算。如果用极坐标与直角坐标互化，必须 三、应对“知识提取困难＂的教学策略 代人演算，或者用特殊值检验，过程烦琐易错． ４．问题情境不熟悉 高考试题都有相应的知识情境或实际背景，学生 对熟悉的情境人手较快，对新背景下的知识常常无所 适从，对学生来说“新即难”的现象普遍存在． 对于前文中的例３，涉及到的知识都是学生所熟悉 的，但是学生却不能正确解答，主要原因是将函数情 境隐藏了，变成了不定方程，或是隐函数关系．把角 的关系隐藏在值域的关系里了，情境转换了，学生的 知识提取立即出现困难． ５．ＣＰＦＳ结构不完善 喻平教授借助数学对象的等价关系、强弱抽象和 广义抽象关系，创造性地提出了概念域（Ｃｏｎｃｅｐｔ Ｆｉｅｌｄ）、概念系（Ｃｏｎｃｅｐｔ Ｓｙｓｔｅｍ）、命题域（Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｆｉｅｌｄ）和命题系（Ｐｒｏｐｏｓｉｔｉｏｎ Ｓｙｓｔｅｍ）理论，简称为 ＣＰＦＳ理论．ＣＰＦＳ结构是由概念域、概念系、命题域和 命题系形成的结构，是个体头脑中内化的数学知识网 络，是数学学习中特有的认知结构．学生已有的ＣＰＦＳ 结构是数学学习的基础，也是学生自身进一步发展的 基础，数学教学的根本任务之一就是构建和完善学生 的ＣＰＦＳ结构． 例６（２０１５年上海卷理科第ｌ０题）设 （ ）为 ｆ（ｘ）＝２ ＋鲁， ∈［０，２】的反函数，则ｙ （ ） ｘ） 的最大值为 ． 这道题涉及原函数与反函数之间的等价转换、函 数单调性与最值的上下位关系、函数运算性质等一系 列与函数有关的概念域和命题系，知识是多点状的、 发散的．有的学生只联想到求反函数，就会陷入困 境；没有综合考虑定义域的特征也会掉人解题陷阱． 由于良好的ＣＰＦＳ结构能凸显认知结构的可辨性和 稳定性，是层次分明的观念网络结构，是知识和方法 的复合体．如果学生形成了良好的ＣＰＦＳ结构，就在长 根据前文所述，学生对已有知识的提取，主要取 决于该知识在问题情境中的激活水平，而激活水平与 知识的意义和知识加工的深度直接相关，所以要克服 学生的即时提取困难，在平时的教学中教师要重视知 识意义的建构和强化知识之间的联系，帮助学生逐渐 形成良好的ＣＰＦＳ结构．另外，在解题中能否快速、有 效地搜索，有一定的技巧和方法，需要在教学中结合 具体问题情境进行针对性地训练． １．改进教学方式，教学由“接受”向“输出”转变 高三教师特别重视如何将学习内容进行有效组 织，并以一种高效的方式输入到学生的大脑中，学生 基本处于被动接受状态．学生接受的知识是教师处理 过的“压缩饼干”，加上反复学习中形成的记忆错觉， 对知识的提取就容易出现困难．因此，对学生的“输 出”必须足够关注，要改变重知识储存而轻知识提取 的观念，应更多地关注学生对知识的提取，要让学生 更多地表达和应用所学的知识，创造更多的机会来提 取知识． 例７（２０１６年上海卷理科第１３题）设口，ｂ∈Ｒ， ｃ∈［０，２＇ｒｒ）．若对任意实数 ，都有２ ｓｉｎＩ ３ｘ－ ）＝ 口ｓｉｎ（ｂｘ＋ｃ），则满足条件的有序实数组 ，ｂ，ｃ）的组 数为 ． 这道题考查口，ｂ的符号变化对ｃ的影响，学生只 有经历了解题过程才能知道题眼ｃ∈『０，２＂ｔｒ）的价值． 在实际教学中，笔者让学生说出该题的解题切入点． 有的学生从诱导公式的角度人手来解决符号问题． 因为２ ｓｉｎ（３ 一詈）＝－２ ｓｉｎｌ／３ 一号）＋ ｌ ＝一２ｓｉｎｆ ３ ＋ ｊ／，１， 所以（口，ｂ，ｃ）＝ｆ－２，３，华１３／ ． 有的学生用辅助角公式展开来解决问题． ·４３ · 中国数学教育２０１８年第４期（总第１８４期） 因为ｓｉｎ３ 一√ ＣＯＳ ３ ＝２ ｓｉｎ（ ）一萼ｃｏｓ（－３ｘ） ｌ＝２［ｓｉｎ（ ）ｃ。ｓ等＋ｃｏｓ（ ）ｓｉｎ ＝２ ｓｉｎｆ＼一３ ＋ １，Ｄ／ 所以（ｎ，６，ｃ）＝（２，－３， ）． 也有的学生从恒等的角度进行探索． 因为一２ ｓｉｎ（ 十ｃ）＝２ ｓｉｎ（３ 一詈）：一２ ｓｉｎ（一３ ＋ ＂ｉＴ）， 所以ｂｘ＋ｃ＝２ｋ＇ｒｒ＋ｆ－３ｘ＋了３Ｔ），或者ｂｘ＋ｃ＝２ｋ＇ｒｒ＋ 盯一ｆ一３ｘ＋ １． 所以（口，６，ｃ） （一２，一３，号Ｊ，或者（口，６，ｃ） （－２，３，孕）． 从展开式、图象变换或者对称轴的关系人手，都 是不错的解决途径．关键是教师在平时要放手让学生 说题解题，让学生展示对问题的各种解读，促进学生 主动“输出”，从而加深对知识的深刻理解，促进知识 网络的形成和知识提取能力的提高． 教学中，教师要有意识地培养学生提出问题的能 力，组织学生进行自我测试．自我提问和自我检测不 仅能很好地帮助学生掌握所学的知识，而且更重要的 是让学生学会自主提取知识、自我监控学习过程．教 师多设计一些多变量的探索性问题，解决这类问题包 含更多的提取活动，会激发学生产生更多的知识提取 途径． ２．创设多样情境，理解由“单一”向“多元”转化 知识总是在一定的情境中产生和发展，知识情境 越多样，学生建构的知识就越可靠，越容易在新的情 境中运用．学习情境的性质决定了学习方式的有效 性，决定了所学知识在其他情境中迁移的可能性．对 于脱离具体情境并简化了的知识，学生往往只能达到 刻板的、不完整的、肤浅的理解．许多学生在应用所 学的知识技能时感到困难，其根源常常在于他们的学 习经验脱离了获得知识的真实情境． 例７是在等式恒成立的情境下命制的，教学时还可 以在有解的情境下进行研究． ·４４· 新问题１：关于 的方程ｓｉｎｘ：。ｓｉｎ（ｘ＋ ）ｆａ＞０） 在 ∈ｆ０，２＂ｒｒ）有且只有两个解，求ａ， 满足的条件． 取一般数值比较难，根据极端原理，变换为新情 境，可以构造一个与例３相似的问题． 新问题２：关于Ｘ的方程ｓｉｎ ＋ｓｉｎ（ｗｘ＋ ）＝２有 解，求 ， 满足的条件． 将两个函数的周期变得不同，又可以形成含有三 个变量的新问题． 新问题３：关于 的方程ｓｉｎ（ｃＪ， ＋ｓｉｎ∞， ＝２，满 足１Ｔ＞ｔｏ。＞ ＞ ＇ＩＴ，则实数解 的取值范围是 ． 教育心理学研究表明：从陈述性知识向程序性知 识转化的最重要的条件是教师精心设计相似情境和不 同情境的练习．因此，不仅要设计问题考查学生的知 识掌握程度，更要有意识地设计问题或变式以训练学 生解决问题的能力．同一个知识点通过问题情境的变 化，学生经历了方程与函数的转化、等与不等的关 联、连续到离散的转换．这样多角度激活已有知识， 并为新习得的知识提供不同的提取机会，促进了学生 对知识本质的理解． ３．全面解读知识，注重“核心”和把握“细节” 并举 教学中只注重知识的核心部分，使学生的认知集 中在知识的关键点上，短期内能突出对知识的快速把 握，但对知识的全面认识会因此削弱，反而使知识提 取出现偏差．因此在注重知识核心的同时，我们也要 关注对细节的推敲，帮助学生形成全面而深刻的认 识，促进知识提取的顺利完成． 对知识的核心部分，要以等价关系进行多角度解 读，促进学生对知识核心的深刻理解．例如，函数单 调递增的核心是“对于定义域内的任意Ｘ，， ，，若有 ＜ ：，则有ｆ（ｘ ） （ ：）”，它有很多等价形式：“对于 定义域内的任意Ｘｌ＜ 都有 丛 ＞０…ｔ对于 ｌ一 ２ 定义域内的任意 ＜ 都有 （ 。）－ｆ（ｘ：）］（ 。一 ）＞０ （ ≠ ：）”“对于定义域内的任意 ．＜ ，若有Ｘ ＞０，则 有ｆ（ｘ ＋ ：） （ 。）”“对于定义域内的任意 。＜ ：，若有 ：＞０，则有ｆ（ｘ。一 ） （ ）”，等等．掌握这些形式对 复杂背景下的知识提取是有用的． 中国数学教育２０１８年第４期（总第１８４期） 同样，对于细节的把握更要精心，所谓“失之毫 一方面，头脑中贮存了丰富的知识；另一方面，头脑 厘，谬以千里”，细节的理解用正、反两个角度的对比 中确定了这些知识在长时记忆中的合理定位，更重要 最容易引起学生的关注和共鸣．例如，可以关注“定义 的是明晰了各个知识之间的联系．这就保证了有足够 域与区间”“单个数值的大小与增函数的关系”“任意与 的信息提取源，通过知识网络中知识结点之间的相互 存在”，“对 。＜ ，都有ｆ（ｘ。） （ ：）”与“对 。＜ ， 激活，容易找到要提取的知识，从而为知识的提取提 ３常的数学教学中，教师要 都有ｆ（ｘ ）≤厂（ ）”和“对 ≤ ，都有ｆ（ｘ。）＜－ｆ（ｘ：）” 供了尽可能多的通道．在１的比较，增函数与厂 ｘ）＞０和．厂 ｘ）≥０的推出关系等 有意识地去理清新、旧知识之间的关系，根据新学习 ． 问题，通过让学生举反例和证明，促进他们对增函数 的知识，不断扩充或者优化学生的知识网络．应用的细节的理解． ４．强化知识联系。完善ＣＰＦＳ结构 高考中知识提取困难是中学数学教学中必须要高 度重视的现象，其实质是两种不同教学取向之间的矛 喻平教授的ＣＰＦＳ结构理论认为，对数学问题的学 盾．如何更新教学观念，使数学教学从知识储存走向 习，离不开学习者的知识和经验．一个数学问题必然 知识提取，是值得每位数学教师深思的问题．与其他的问题存在逻辑关系；学习者头脑中对这种逻 辑关系越明晰，就越容易提取相关信息．而且，个体 的ＣＰＦＳ结构中连接各知识点的连线揭示了知识之间的 参考文献： ［１］罗增儒．解题学引论［Ｍ］．西安：陕西师范大 学出版社，２００８． 关系，本身蕴含着数学方法的信息，这就有助于学习 者去探究问题．合理、完善和优良的ＣＰＦＳ结构表明： （上接第４Ｏ页） ［２］喻平．数学学习心理的ＣＰＦＳ结构理论［Ｍ］．南 宁：广西教育出版社，２００８． 横向上强化必备知识之间的联系，培养学生思维的深 显然，思路（３）比前两种思路自然、简捷得多．由 刻性，让学生体会解题方法的简捷性．教师要引导学 此可以看出，对问题的不同理解和不同表征，形成的 生进行数算后的比较反思，优化数学思维品质， 解题思路具有较大的差异．因此，深刻理解问题是解 及时对数算的过程和结果进行检验，也是数 决问题的重要方面，教学中一定要引起重视． 算的重要方面，学生对数算的过程进行思考，分 析试题的条件和结论的不同呈现形式对数算产生 ４．良好的运算习惯是发展数算能力的保障 良好的数算习惯不是一蹴而就的，必须长期 的不同效果，将不同的数算及其蕴涵的数学思想 坚持训练，即使高三也不能放松．解题教学时，教师 方法进行概括和提炼，从中获得最直接的数算经 要引导学生：认真读题、审题、理解问题的本质，将 验，培养学生思维的灵活性和准确性．长此以往，让 解题方法的形成过程完整地展示给学生，让学生体会 学生养成良好的数算习惯． 感悟解题方法的探索形成过程；规范书写，完整作 答，使学生学会用数学的眼光看问题、用数学的思维 思考问题、用数学的语言表述问题，形成严谨、缜 密、理性的数学学科精神．同时，在复杂、烦琐的数 参考文献： ［１］中华人民共和国教育部制定．普通高中数学 课程标准（２０１７年版）［Ｍ］．北京：人民教育 出版社．２０１７． 算过程中，教师要引领学生紧盯目标、深挖信 息，在困难中寻求突破．长此以往，不仅能够提升学 生的运算技能和技巧，也将大幅度提升学生的数学思 维品质、学习数学的兴趣和战胜困难的勇气．教师要 引导学生多角度分析问题、表述问题，揭示问题的本 ［２］教育部考试中心．（（２０１７年普通高等学校招生 全国统一考试大纲》的说明［Ｍ］．北京：高 等教育出版社，２０１６． ［３］章建跃．全面深化数学课改的几个关键［Ｊ］＿ 课程·教材·教法，２０１５（５）：７６—８０． 质，探索求解的过程，形成广阔的审题视角，形成正 ［４］毛良忠．例谈基于运算观下数学课堂教学的 确的数算方法，让学生体会数算的合理性， 既能从纵向上加深对必备知识的理解和认知，也能在 核心要素［Ｊ］．中学数学教学参考（上旬）， ２０１７（７）：２５—２８． ·４５·
