第7节 闭合电路的欧姆定律
学习目标 1.理解闭合电路的欧姆定律及其公式，知道电源的电动势等于内、外电路上电势降落之和。 2.理解路端电压与负载的关系，知道这种关系的公式表达和图线表达，并能用来分析、计算有关问题。 3.掌握电源断路和短路两种特殊情况下的特点。知道电源的电动势等于电源没有接入电路时两极间的电压。 4.熟练应用闭合电路的欧姆定律解决有关的电路问题。
一、闭合电路
1.闭合电路的组成及电流流向
1个规律——闭合电路欧姆定律 1个关系——路端电压与负载的关系 1个图象——电源的U－I图象 核心提炼
2.闭合电路中的能量转化
如图1所示，电路中电流为I，在时间t内，非静电力做功等于内外电路中电能转化为其他形式的能的总和，即EIt＝I2Rt＋I2rt。
图1
二、闭合电路欧姆定律
1.内容：闭合电路的电流跟电源的电动势成正比，跟内、外电路的电阻之和成反比。 2.公式：I＝
E① R＋r
或E＝IR＋Ir② 或E＝U外＋U内。③
3.适用条件：①②适用于外电路为纯电阻电路，③适用于一切电路。 三、路端电压与负载的关系 1.路端电压的表达式：U＝E－Ir。 2.路端电压随外电阻的变化规律
E
可知电流I减小，路端电压U＝E－Ir 增大。 R＋rE
(2)当外电阻R减小时，由I＝可知电流I增大，路端电压U＝E－Ir 减小。
R＋r(1)当外电阻R增大时，由I＝
(3)两种特殊情况：当外电路断开时，电流I变为0，U＝E。即断路时的路端电压E
等于电源电动势。当电源短路时，外电阻R＝0，此时I＝。
r3.外电压U与电流I的关系
由U＝E－Ir可知，U－I图象是一条斜向下的直线，如图2所示。
图2
(1)图象中U轴截距E表示电源的电动势。 (2)I轴截距I0等于短路电流。
ΔU(3)图线斜率的绝对值表示电源的内阻，即 r＝ΔI。
注意 若纵坐标上的取值不是从零开始，则横坐标截距不表示短路电流，但斜率的绝对值仍然等于内阻。 思考判断
1.如图3甲所示，电压表测量的是外电压，电压表的示数小于电动势。(√)
图3
2.如图3乙所示，电压表测量的是内电压，电压表的示数小于电动势。(×) 3.外电阻变化可以引起内电压的变化，从而引起内电阻的变化。(×) 4.外电路的电阻越小，路端电压就越大。(×) 5.电源断路时，电流为零，所以路端电压也为零。(×)
闭合电路欧姆定律
[要点归纳]
闭合电路欧姆定律的表达形式
表达式 EI＝ R＋r E＝I(R＋r)① E＝U外＋Ir② E＝U外＋U内③ EIt＝IRt＋Irt④ W＝W外＋W内⑤ [精典示例]
[例1] 在如图4所示的电路中，R1＝20.0 Ω，R2＝10.0 Ω，当开关S扳到位置1时，电流表的示数为I1＝0.20 A；当开关S扳到位置2时，电流表的示数为I2＝0.30 A，求电源的电动势和内电阻。
22物理意义 电流与电源电动势成正比，与电路总电阻成反比 适用条件 纯电阻电路 电源电动势在数值上等于①式适用于纯电阻电路；电路中内、外电压之和 电源提供的总能量等于内、外电路中电能转化为其他形式的能的总和 ②③式普遍适用 ④式适用于纯电阻电路，⑤式普遍适用
图4
解析 设电源的电动势为E，内阻为r，当开关分别置于1、2两个位置时，根据闭合电路欧姆定律列出方程： E＝I1R1＋I1r① E＝I2R2＋I2r②
代入数据解之得E＝6 V，r＝10 Ω。 答案 6 V 10 Ω
闭合电路问题的求解方法
(1)分析电路特点：认清各元件之间的串、并联关系，特别要注意电压表测量哪一部分的电压，电流表测量哪个用电器的电流。
(2)求干路中的电流：若各电阻阻值和电动势都已知，可用闭合电路的欧姆定律直接求出，也可以利用各支路的电流之和来求。
(3)应用闭合电路的欧姆定律解决问题时，应根据部分电路的欧姆定律和电路的串、并联特点求出部分电路的电压和电流。
[针对训练1] 在图5所示的电路中，R1＝9 Ω，R2＝5 Ω，当a、b两点间接理想的电流表时，其读数为0.5 A；当a、b两点间接理想的电压表时，其读数为1.8 V。求电源的电动势和内电阻。
图5
解析 当a、b两点间接理想的电流表时，R1被短路，回路中的电流I1＝0.5 A，由闭合电路欧姆定律得：E＝I1(R2＋r) 代入数据得：E＝0.5(5＋r)①
当a、b两点间接理想的电压表时，回路中的电流 U1.8
I2＝R＝9 A＝0.2 A
1
由闭合电路欧姆定律得： E＝I2(R2＋R1＋r) E＝0.2(14＋r)②
联立①②得：E＝3 V，r＝1 Ω 答案 3 V 1 Ω
路端电压与负载的关系
[要点归纳]
1.外电阻的两类变化引起的相应变化 (1)
说明：电源的电动势等于电源没有接入电路时的路端电压。 (2)
说明：由于电源内阻很小，所以短路时会形成很大的电流，为保护电源，绝对不能把电源两极直接相连接。 2.电源的U－I图象
(1)图象的函数表达式：U＝E－Ir。
(2)图象表示：电源的外电路的特性曲线(路端电压U随电流I变化的图象)，如图6所示。
图6
(3)当外电路断路时(即R→∞，I＝0)：纵轴上的截距表示电源的电动势E(E＝U
端
)；
E
当外电路短路时(R＝0，U＝0)：横坐标的截距表示电源的短路电流I短＝r。(条件：坐标原点均从0开始)
(4)图线的斜率：其绝对值为电源的内电阻， EΔU即r＝I＝ΔI。
0
(5)某点纵坐标和横坐标值的乘积：为电源的输出功率，在图中的那块矩形的“面
积”表示电源的输出功率。 [精典示例]
[例2] (多选)在如图7所示电路中，电源电动势E和内阻r均为定值，当外电路电阻R发生变化时，回路电流I、路端电压U、内电压U′都将随之发生变化，下列图象能正确表示其变化规律的是( )
图7
解析 由闭合电路欧姆定律得I＝
E
，可知I随R的增大单调递减，但不是线R＋r
ErR＋r
＝RER＋r
，变形可得U＝
r，利用数学1＋RE
性变化，A正确；由U＝E－Ir＝E－
知识可知B正确，D错误；由U′＝Ir＝答案 AB
rE
，可知C错误。 R＋r
[例3] 电路图如图8甲所示，若电阻R阻值未知，电源电动势和内阻也未知，电源的路端电压U随电流I的变化图线及外电阻的U－I图线如图乙所示。求：
图8
(1)电源的电动势和内阻； (2)电源的路端电压； (3)电源的输出功率。
解析 (1)由图线的意义可知，不过原点的斜线是电源的U－I图线，当电流为0时，由U＝E－Ir可知E＝U＝4 V；同样由U＝E－Ir可知它的斜率的绝对值表ΔU4
示电源的内电阻，所以r＝|ΔI|＝4 Ω＝1 Ω。 (2)由图可知路端电压是3 V。
(3)电源的输出功率P＝UI＝3×1 W＝3 W。 答案 (1)4 V 1 Ω (2)3 V (3)3 W
电阻的U－I图象与电源的U－I图象的区别
电阻 电源 U－I图象 研究对象 压与通过的电流成正比关系 U表示导体的性质R＝I，R不随U与I的变化而变化 对某一固定电阻而言，两端电对电源进行研究，路端电压随干路电流的变化关系 表示电源的性质，图线与纵轴图象的物 理意义 的交点表示电源电动势，图线斜率的绝对值表示电源的内阻 联系
电源的电动势和内阻是不变的，正是由于外电阻R的变化才会引起外电压U外和总电流I的变化 [针对训练2] (多选)如图9所示是某电源的路端电压与电流的关系图象，下列结论正确的是( )
图9
A.电源的电动势为6.0 V B.电源的内阻为12 Ω C.电源的短路电流为0.5 A D.电流为0.3 A时的外电阻是18 Ω
解析 U－I图象在纵轴上的截距等于电源的电动势，即E＝6.0 V，因为该电源的U－I图象的纵轴坐标不是从零开始的，所以横轴上的截距0.5 A并不是电源ΔU6.0－5.0
的短路电流，电源的内阻应按斜率的绝对值计算，即r＝|ΔI|＝ Ω＝2 Ω。
0.5－0E
由闭合电路欧姆定律可得电流I＝0.3 A 时，外电阻R＝I－r＝18 Ω。故选项A、D正确。 答案 AD
1.(闭合电路欧姆定律)如图10所示的电路中，
图10
把R由2 Ω改变为6 Ω时，电流减小为原来的一半，则电源的内电阻应为( ) A.4 Ω C.6 Ω
B.8 Ω D.2 Ω
解析 根据闭合电路欧姆定律E＝I(R＋r)，当R＝2 Ω时，E＝I(2 Ω＋r)；当R＝I
6 Ω时，E＝2(6 Ω＋r)，解得r＝2 Ω，故选项D正确。 答案 D
2.(电源的U－I图象) (多选)如图11所示为某一电源的U－I图象，由图可知( )
图11
A.电源电动势为2 V 1
B.电源内阻为3 Ω C.电源短路时电流为6 A
D.电路路端电压为1 V时，电路中电流为5 A
ΔU1.2E
解析 由U－I图象可知，电源电动势E＝2 V，r＝|ΔI|＝6 Ω＝0.2 Ω，I短＝rE－U2－12
＝0.2 A＝10 A，当U＝1 V时，I＝r＝0.2 A＝5 A。选项A、D正确，B、C错误。 。 答案 AD
3.(闭合电路欧姆定律的应用)“神舟九号”与“天宫一号”的成功对接，使中国空间站建设迈出了坚实的一步。飞行器在太空飞行，主要靠太阳能电池提供能量。有一太阳能电池板，测得它的开路电压为800 mV，短路电流为40 mA。若将该电池板与一阻值为20 Ω的电阻连成一闭合电路，则它的路端电压是( ) A.0.1 V
B.0.2 V C.0.3 V D.0.4 V
解析 电池没有接入外电路时，路端电压等于电池电动势，所以电动势E＝800
－3
EE800×10
mV，由闭合电路欧姆定律得短路电流I短＝r，所以电池内阻r＝＝ 3－I短40×10
Ω＝20 Ω，该电池与20 Ω的电阻连成闭合电路时，电路中电流I＝mA＝20 mA，所以路端电压U＝IR＝400 mV＝0.4 V，D正确。 答案 D
E800
＝ R＋r20＋20
基础过关
1.下列关于闭合电路的说法中错误的是( ) A.电源短路时，电源的内电压等于电动势 B.电源短路时，路端电压为零 C.电源断路时，路端电压最大
D.电源的负载增加时，路端电压也增大
解析 电源短路时，外电阻为零，路端电压为零，由E＝U内＋U外可知U内＝E，故A、B说法正确；电源断路时，R外→∞，I＝0，由U外＝E－Ir，可知U外最大，等于E，C说法正确；电源的负载增加，若负载并联在电源上，并联的用电路器个数增加，外电阻减小，路端电压减小，故D说法错误。 答案 D
2.一个闭合电路，是由电池供电的，外电路是纯电阻时，以下说法正确的是( ) A.当外电阻增大时，路端电压增大 B.当外电阻减小时，路端电压增大 C.当外电阻减小时，电路中的电流减小
D.电池的内阻越小，外电阻变化时，路端电压的变化越大
解析 根据U＝E－Ir，当外电阻增大时，I减小，U增大，A正确，B错误；根据I＝
E
，C错误；再根据U＝E－Ir，ΔU＝ΔIr，故D错误。 R＋r
答案 A
3.(多选)若E表示电动势，U表示外电压，U′表示内电压，R表示外电路的总电阻，r表示内电阻，I表示电流，则下列各式中正确的是( ) A.U′＝IR C.U＝E＋Ir
B.U′＝E－U D.U＝
RE R＋r
解析 由闭合电路欧姆定律知E＝U＋Ir，知选项A、C错误，B正确；对整个电路I＝
EU
，对外电阻I＝R，故D正确。 R＋r
答案 BD
4. (2018·湖北部分重点中考)硅光电池是一种太阳能电池，具有低碳环保的优点，如图1所示，图线a是该电池在某光照强度下路端电压U和电流I的关系图象(电池内阻不是常数)，图线b是某电阻R的U－I图象，在该光照强度下将它们组成闭合回路时，硅光电池的内阻为( )
图1
A.8.0 Ω C.12 Ω
B.10 Ω D.12.5 Ω
解析 由闭合电路欧姆定律得U＝E－Ir，当I＝0时，E＝U，由a与纵轴的交点读出电动势E＝3.6 V。根据两图线交点处的状态可知，电阻的电压U1＝2 V，电E－U13.6－2
流I1＝0.2 A，则内阻r＝I＝0.2 Ω＝8.0 Ω，A正确。
1答案 A
5. (多选)如图2所示，甲、乙为两个电源(外电路为纯电阻电路)的路端电压与通过它们的电流I的关系图线，下列说法中正确的是( )
图2
A.路端电压都为U0时，它们的外电阻相等 B.电流都是I0时，两电源的内电压相等 C.电源甲的电动势大于电源乙的电动势 D.电源甲的内阻小于电源乙的内阻
解析 甲、乙两图线的交点坐标为(I0，U0)，外电路为纯电阻电路说明两电源的
外电阻相等，故A正确；图线的斜率的绝对值大小表示电源内电阻的大小(电动势与短路电流的比值)，图线甲的斜率的绝对值大于图线乙的斜率的绝对值，表明电源甲的内阻大于电源乙的内阻，故D错误；图线与U轴交点的坐标值表示电动势的大小，由图线可知，甲与U轴交点的坐标值比乙的大，表明电源甲的电动势大于电源乙的电动势，故C正确；电源的内电压等于通过电源的电流与电源内阻的乘积，即U内＝Ir，因为电源甲的内阻较电源乙的内阻大，所以当电流都为I0时，电源甲的内电压较大，故B错误。 答案 AC
6.如图3所示，当开关S断开时，电压表示数为3 V，当开关S闭合时，电压表示数为1.8 V，则外电阻R与电源内阻r之比为( )
图3
A.5∶3 C.2∶3
B.3∶5 D.3∶2
解析 S断开时，电压表的示数等于电源的电动势，即E＝3 V。S闭合时，U外＝1.8 V，所以U内＝E－U外＝1.2 V。因U外＝IR，U内＝Ir，所以R∶r＝U外∶U
内＝1.8∶1.2＝3∶2。
答案 D
7.如图4所示的电路中，当开关S接a点时，标有“5 V，2.5 W”的小灯泡L正常发光，当开关S接b点时，通过电阻R的电流为1 A，这时电阻R两端的电压为4 V。求：
图4
(1)电阻R的值； (2)电源的电动势和内阻。
U24
解析 (1)电阻R的值为R＝I＝1 Ω＝4 Ω。
2
(2)当开关接a时，有E＝U1＋I1r，又U1＝5 V， P12.5
I1＝U＝5 A＝0.5 A。
1
当开关接b时，有E＝U2＋I2r，又U2＝4 V，I2＝1 A， 联立解得E＝6 V，r＝2 Ω。 答案 (1)4 Ω (2)6 V 2 Ω
能力提升
8.如图5所示的电路中，电源内阻不可忽略，若调整可变电阻R的阻值，可使电压表的示数减小ΔU(电压表为理想电表)，在这个过程中( )
图5
A.电源路端电压减小，减小量一定等于ΔU B.R2两端的电压增加，增加量一定等于ΔU ΔU
C.通过R1的电流减小，减小量一定等于R 1
ΔU
D.通过R2的电流增加，但增加量一定大于R 2
解析 电压表V的示数减小，可变电阻的阻值减小，外电路总电阻减小，干路
电流增大，内电压增大，所以路端电压减小；R2两端电压增大，则R2两端电压增加量一定小于ΔU，路端电压的减小量一定小于ΔU, 故A、B错误；R1为定值ΔU
电阻，两端电压减小ΔU，则电流的减小量一定等于R， 故C正确；R2两端的
1
ΔU
电压增加量小于ΔU，则通过R2的电流的增加量一定小于R，故D错误。
2答案 C
9.(多选)如图6所示为闭合电路中两个不同电源的U－I图象，则下列说法中正确的是( )
图6
A.电动势E1＝E2，短路电流I1＞I2 B.电动势E1＝E2，内阻r1＞r2 C.电动势E1＞E2，内阻r1＞r2
D.当工作电流变化量相同时，电源2的路端电压变化较大
解析 由闭合电路欧姆定律知E＝U＋Ir。当I＝0时U＝E，即U－I图线和U轴E
的交点就是电源电动势，两电源的电动势相等。当U＝0时I＝r，由题图知，UΔU－I图线和I轴的交点就是短路电流，则I1＞I2，A正确；而r＝ΔI，即图线的
斜率的绝对值表示电源的内阻，由题图知r1＜r2，B、C错误；当工作电流变化量相同时，因为r1＜r2，则电源2的路端电压变化较大，D正确。 答案 AD
10.在如图7所示电路中，电源的电动势E＝9.0 V，内阻可忽略不计；AB为滑动变阻器，其电阻R＝30 Ω；L为一小灯泡，其额定电压U＝6.0 V，额定功率P＝1.8 W；S为开关，开始时滑动变阻器的触头位于B端，现在接通开关S，然后将触头缓慢地向A端滑动，当到达某一位置C时，小灯泡恰好正常发光。则C、B之间的电阻应为( )
图7
A.10 Ω C.15 Ω
B.20 Ω D.5 Ω
解析 本题中小灯泡恰好正常发光，说明此时通过小灯泡的电流达到额定电流I
额＝
1.8
＝6.0 A＝0.3 A，两端电压达到额定电压U额＝6.0 V，而小灯泡和电源、U额
P额
滑动变阻器的AC部分串联，则通过电阻AC的电流与通过小灯泡的电流相等，E－U额9.0－6.0
故RAC＝＝0.3 Ω＝10 Ω，所以RCB＝R－RAC＝20 Ω。
I额答案 B
11.如图8所示，E为内阻不能忽略的电池，R1、R2、R3为定值电阻，S0、S为开关，与
分别为电压表与电流表。初始时S0与S均闭合，现将S断开，则( )
图8
A.B.C.D.
的读数变大，的读数变大，的读数变小，的读数变小，
的读数变小 的读数变大 的读数变小 的读数变大
解析 将S断开，则电路的总电阻变大，总电流变小，由U＝E－Ir知，路端电压变大，故电压表的示数变大；R1两端的电压IR1变小，则R3两端的电压变大，流过R3的电流变大，电流表的示数变大。选项B正确。 答案 B
12.如图9所示，电源电动势为6 V，内阻为1 Ω，R1＝5 Ω，R2＝10 Ω，滑动变阻器R3阻值变化范围为0～10 Ω，求电路中的总电流的变化范围。
图9
解析 当R3阻值为零时，R2被短路，外电阻最小，电流最大。R外＝R1＝5 Ω，IE6＝＝ A＝1 A。当R3阻值为10 Ω时，外电阻最大，电流最小。R并＝R外＋r5＋1R3R2
＝5 Ω，R外′＝R1＋R并＝10 Ω，I′＝
ER外′＋r
＝
610＋1
A≈0.55 A。
R3＋R2
答案 0.55～1 A
13.一个允许通过最大电流为2 A的电源和一个滑动变阻器，接成如图10甲所示的电路，滑动变阻器最大阻值为R0＝22 Ω。路端电压U随外电阻R变化的规律如图乙所示，图中U＝12 V的直线为图线的渐近线。试求：
图10
(1)电源电动势E和内阻r；
(2)A、B两端空载时输出电压的范围；
(3)若要保证滑动变阻器的滑片任意滑动时，干路电流不超过2 A，A、B两端所接负载电阻至少多大？
解析 (1)由图乙可知，当R→∞时，U＝E＝12 V；而当U＝6 V时，R＝2 Ω，由EEU＝R＝2，可得r＝R＝2 Ω。
R＋r
R0
(2)当滑片滑至上端时，UAB最大，UABmax＝E＝11 V；当滑片滑至下端时，
R0＋r
UAB为零。因此，A、B两端空载时输出电压范围为0～11 V。
(3)A、B两端接某一负载电阻后，滑动变阻器滑片移至上端时，干路电流最大。E44
此时I＝RR，为了使电源不过载，应保证I≤2 A，代入数据得Rx≥9 Ω，
0x
＋rR0＋Rx44
即所接负载电阻最小值为9 Ω。
答案 (1)12 V 2 Ω (2)0～11 V
(3)44
9 Ω
