不定积分的例题分析及解法

这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量u(x)，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将ud转化成du，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如f(x)为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，f(x)为无理函数时，常可用换元积分法。 应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如

sinxxdx；ex2dx；1lnxdx；dx1ksin22（其中0k1）等。

x这一方面体现了积分运算的困难，另一方面也推动了微积分本身的发展，在第7章我们将看到这类积分的无限形式的表示。

一、疑难分析

（一）关于原函数与不定积分概念的几点说明

（1）原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某区间上的函数

f(x)，若存在函数F(x)，使得该区间上每一点x处都有F(x)f(x)，则称F(x)是f(x)在该区间上

的原函数，而表达式F(x)C(C为任意常数)称为f(x)的不定积分。

（2）f(x)的原函数若存在，则原函数有无限多个，但任意两个原函数之间相差某个常数，因此求f(x)的不定积分

f(x)dx时，只需求出f(x)的一个原函数F(x)，再加上一个任意常数C即可，即

f(x)dxF(x)C。

（3）原函数F(x)与不定积分f(x)dx是个体与全体的关系，F(x)只是f(x)的某个原函数，而

f(x)dx是f(x)的全部原函数，因此一个原函数只有加上任意常数C后，即F(x)C才能成为f(x)的

22不定积分，例如x1,x12,x23都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2C才是2x的

不定积分（其中C是任意常数）。

（4）f(x)的不定积分f(x)dx中隐含着积分常数C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意常数C。

1

（5）原函数存在的条件：如果函数f(x)是某区间上连续，则在此区间上f(x)的原函数一定存在，由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分

sinxxdx,dxlnx,ex2dx

都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。

（二）换元积分法的几点说明

换元积分是把原来的被积表达式作适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。

（1）第一换元积分法（凑微分法）：令uu(x) 若已知f(x)dxF(x)C，则有

f(x)(x)dxF(x)C

其中(x)是可微函数，C是任意常数。

应用第一换元法熟悉下列常见的微分变形（凑微分形式）。 （1）dxd(xb)1d(axb)(a为常数a、b，a0)

具体应用为

(axb)mdx1axb)md(axb)a(

1(axm1b)C =am1 1lnaxbCa（2） xadx1d(xa1b)a1

11(a1)ad(axab)

(a、b、a均为常数，且a0,a1)。例如：

xdx1dx2,xdx2d(xx),123dx2dxx（3）

1dxdlnx1d(alnxb)xa(a,b为常数，a0) xdxdex,axdxd(ax（4）e)(lnaa0,且a1)；

2

(m1)

(m1)

（5）sinxdxd(cosx),cosxdxd(sinx); （6）sec（7）

11x22xdxd(tanx),csc2xdxd(cotx)

dxd(arctanx)

（8）

11x2dxd(arcsinx)

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用，例如求

时，应将

dx1x2f(arctanx)11x2dx

dx凑成darctanx；求

时，应将

11x2f(arccotx)2x11x2dx

而求dx凑成darccotx；

21时，就不能照搬上述两种凑法，应将2xdxdx221x1x2凑成dx，即2xdxdxd(1x)。

2（2）第二换元法积分法：令x(t)，常用于被积函数含a2x2或x2a2等形式。 常见的元理函数积分所采用的换元式如表5-1所示：

表5-1 代换名称 三 角 代 换 被积函数含有 aa2换元式 xasint,t(xatant,t(xx2 n2,2,) ) 2222xa22xasect,t(0,axbt,即x2n) 无 理 代 换 naxb 1a1t(tb) 1x1n 1n21xt,即x (axb)n1,(axb) tn(axb),n为n1,n2的最小公倍数 （3）同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式上可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可能过对积分结果进行求导运算来验证。

（三）关于积分形式不变性

在讲第一换元积分法时，讲过这样一个定理：

3

如果f(x)dxF(x)C，那么有f(u)duF(u)C，其中u(x)是x的可微函数。这个定理说明：

（1）积分变量x无论是自变量，还是中国变量，积分公式的形式不变，这一特性叫做积分形式不变性。

（2）根据这个定理，基本积分表中的x既可以看作是自变量，也可以看作是函数（可微函数），因此基本积分表中的公式应用范围就扩大了，例如基本积分公式

现在就可以看作是

11xdxlnxC

dlnC

其中括号内可填充任意一个可微函数，只要三个括号填充的内容保持一致即可，这也正是不定积分的凑微分法的由来，即如果被积函数

f(x)dx能够写成

g(x)(x)dx的形式，且已知

g(u)duF(u)C，则有

f(x)dxg(x)(x)dxg(x)d(x)

 F(x)C

同学们在应用积分不变性时，一定要注意三个括号内的内容必须是一致的，否则将出现错误。 ．．（四）分部积分法

设uu(x),(x)是可微函数，且u(x)(x)或u(x)(x)有原函数，则有分部积分公式：

u(x)(x)dx或

u(x)(x)u(x)u(x)dx

uddu

当被积函数是两个函数的乘积形式时，如果用以前的方法都不易计算，则可考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时首先要将被积函数凑成udx或ud的形式，这一步类似于凑微分，然后应用分部积分公式udu，或uudx，再计算udx，即得到积分结果。显然，用分部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u和的原则是：①根据容易求出；②udx要比原积分udx容易计算，实际中总结出一些常见的适用分部积分法求解的积分类型及其u和的选择规律，一归纳如表5-2。

表5-2

4

分类 I 不定积分类型 u和的选择 pn(x)sinxdx pn(x)cosxdx upn(x),sinx upn(x),cosx upn(x),exII pn(x)edx x pn(x)lnxdx ulnx,pn(x) uarcsinuarccosuarctanxpn(x)arcsinxdx pn(x)arccosxdx pn(x)arctanxdx x,pn(x) x,pn(x) x,pn(x) xIII esinxdx exxusinx,e或ue,sinx ucosx,e或ue,cosx xxcosxdx 说明（1）表5-2中，px(x)表示n次多项式。

（2）表5-2中的sinx,cosx,e,arcsinx等函数，不只局限于这些函数本身，而是指它们代表的函数类型，例sinx，表示对所有正弦函数sin(axb)均适用，而e表示对所有e如此。

x（3）III类积分中，也可选择ue,sinx（或cosx），无论怎么样选择，都得到递推循环形式，

xxaxb均适用，其它几个函数也

再通过移项、整理才能得到积分结果。

（五）有理函数的积分

有理函数可分为如下三种类型：

（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是最易计算的类型。

（2）有理真分式：从代数理论可知，任何有理真分式都可通过待定系数法分解或下列四种类型的最简分式的代数和：

A,Akxa(xa)2,AxB2xpxq(xpxq),AxB2k

其中p,q,k为常数，p4q0,k1。

因此求得有理真分的积分归结为求上述四种最简分式的积分。 （3）有理假分式（分子次数不低于分母次数）；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）

综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简化式的积分，而前者是易于求得的，

5

后者可通过凑微分法求出的结果。

二、例题分析

例1 为下列各题选择正确答案： （1）（ ）是函数f(x)12x的原函数

12x2A．F(x)ln2x B．F(x)C．F(x)ln(2x) D．F(x)12

ln3x

（2）若f(x)满足f(x)dxsin2xC，则f(x)（ ） A．4sin2x B．2cos2x C．4sin2x D．2cos2x （3）下列等式中（ ）是正确的 A．f(x)dxf(x) B．f(ex)dxf(ex)C C．f(x)dxf(x)C

2D．xf(1x)dx12f(1x)C

2（4）若f(x)dxF(x)C，则sinxf(cosx)dx（ ） A．F(cosx)C B．F(cosx)C C．f(sinx)C D．F(sinx)C （5）下列函数中，（ ）不是sin2x的原函数。 A．122cos2x B．cos2x x D．cos2C．sinx

解（1）根据原函数的概念，验证所给函数F(x)是否满足F(x)A中(ln2x)B中(12x212x。由于

22x14x1x112x12x

)3

12x12xC中ln(2x)D中(ln3x)21122x33x

6

故正确选项为D。

（2）根据不定积分的性质可知

f(x)((x)dx)(sin2xC)2cos2x f(x)(2cos2x)4sin2x

于是

故正确选择为C

（3）根据不定积分的性质可凑微分的原则知

其中u是变量或可微函数，据此可知：

f(u)duf(u)C

A中应为f(x)dxf(x)C（缺C）

xB中应为f(ex)exdxf(ex)C（缺e）

C中应为f(2x)xdxf(x)C（不应没有21x）

2D中应为xf(1x)dx2f(1x)d(1x)

22212f(1x)C

正确选项应为D

（4）设ucosx,则dusinxdx，于是

sinxf(cosx)dxf(u)duF(u)CF(cosx)C

正确选项应为D

（5）根据原函数定义，对所给答案一一求导可知cos2x不是sin2x的原函数，故正确选项B。 例2 给出下列各题的正确答案：

（1）112xdx ；

（2）lnxd(lnx) ； （3）若f(x)x（4）通过点(1,4x(x0)2，则f(x)dx ；

)斜率为

11x2的曲线方程为 ；

12du，于是

解（1）设u12x，则dx12x1dxu1(12du)

7

应填12ln12xC

12lnuC12ln12xC

（2）设ulnx，则

lnxd(lnx)udu应填

12ln212u2C12ln2xC

xC

12x（3）由于f(x)12，故f(x)112x,因此

应填x12lnxC

f(x)dx2(112x)dxx12lnxC

注意：f(x2)dxf(x2)C

（4）设曲线方程为yf(x)，则f(x)f(x)11x1x22,于是

dxarctanxC

1通过点(1,4)，则有

4arctan1C，即C0，故所求曲线方程为yarctanx.

例3 求下列不定积分：

（1）5xexdx； （2）(x4)2dx （3）(xx3xxx32sinx)dx； （4）12x222x(1x)dx.

分析 题目所给的不定积分，都不能直接利用基本积分表中的公式计算，但稍作变形后，再利用不定各分的运算性质，便可得出结果。

解 （1）5xedxxex(5)dx

根据积分公式 在此ae5,故

adxx1lnaaxC

原积分1lnex1ex()C()C e51ln5552 （2）由于(x4)x8x16，根据不定积分的运算性质，有

(

x4)dx2(x8x16)dx

8

xdx12x2823xdx316dx

 xx38x216xC

12x2163xx16xC

（3）(xxx32sinx)dx

(x13xdx22x1x3x2sinx)dx

xxdx1xdx31xdx2sinxdx

x323x222x31nx2cosxC (1x)xx(1x)22222（4）由于

12x2x(1x)1x211x2，所以

(12x)dxx(1x)22(1x211x2)dx

1x2dx11xdx21xarctanxC

小结：（1）从上面的例子中可以看出，许多不定积分往往不能直接得用基本积分表进行计算，而要先

对被积函数作适当变形，使之化成积分表中所列形式的积分后，进而才能计算出结果，一般说来。所采用的恒等变形手段主要有：分式拆项、三解公式恒等变形等，要求读者熟悉这些手段。

（2）将一个不定积分拆成几个不定积分的代数和后，求每一项的不定积分时，不必将每项不定积分中的积分常数一一写上，而只需在最后积分结果中统一加上一个积分常数C即可。

（3）检验积分结果正确与否时，只需将所得结果求导（或微分）即可，若其导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式）时，则说明所得积分结果是正确的，否则是错误的。 例4 求下列不定积分

（1）sin（3）2x2dx （2）e2xx1e1xdx

cos2xcos2sin2xdx （4）(35)dx

2x2解 （1）由于sinx21cosx22，所以

sinx2dx(1212cosx)dx12x12sinxC

9

（2）由于

e2xx11e(ex1)(eexx1)1e2xxex1，所以

1e1(e1)dxxedxx1dx

exC

x（3）由于cos2xcossin22x所以

cos2cos2xcos2sin2xxsin22xcosxsin2x1sin2x1cos2x

故 原积分（4）

sin12xdxx2cos12dxcotxtanxC

2x(35)dxx(32355xx2x)dx

(92151ln99xxx25)dx 15xx2ln151ln2525xC

例5 计算下列不定积分

（1）sin(x1)dx （2）cos1xdx （4）21xlnxdx ex2x1edx

（3）x分析 观察这些积分中的被积函数，发现它们都不符合基本积分表中的公式表式，即使进迁适当的

变形也化不成表中公式的形式，因此需采取新的方法——换元积分法求解。

解 （1）观察题目发现，此被积表达式与基本各分表中公式

sinxdxcosxC （*）

类似，但又不完全一致，那么能否套用公式（*）直接得到

sin(x1)dxcos(x1)C

呢？经检验积发结果知，这样做是错误的，原因是公式（*）中的被积函数sinx已换为

sin(x1)，

而积分变量的微分依然是dx，没有相庆地换为d(x1)。正确的做法是先设中间变量ux1，然后使被积表达式化成公式（*）的形式再求解。

设ux1，则xu1，dx1du，于是

10

sin(x1)dxsinu11du1sinudu

再将ux1代回，得

原积分1cosuC

cos(x1)C

1d(x1)有

注：本题也可不写中间变量u，而用凑微分法来解：根据dxsin(x1)dx sin(x1)11d(x1)

(x1)d(x1) sin1cos(x1)C

（2）设ue，则duedx，于是

ex2xxx1edx1udu2arctanuCarctaneC

x本题也可采用凑微分法求解：由于edxde，想到公式

2x1于是有

ex2xdxx2arctanxC

1（3）设u1xedx1dexx2(e)arctaneC

x，则x1u，ducos1u2du，于是

1xdx2xcosu(1u)2(1u2)ducosudu

sinuCsinC

x1如果熟悉凑微分式子

1x2dxd(1xdx21x)d(1x),则可用凑微分法直接计算如下:

cosxcos11111d()cosd()sinC xxxxx（4）设ulnx，则du1xdx，于是

11

或者用凑微分法计算：因为

1x1xlnxdxln1x1xdxu1dulnuC

dxdlnx所以

4xlnxdxln1xdlnxlnlnxC

用第一换元积分法（凑微分法）计算不定积分时，要根据被积函数的形式来决定如何来设置中间变量或凑微分，一般常见的符合凑微分形式的不定积分类型可参阅疑难解析中的（二）。

例6 计算下列不定积分：

（1）exx2dx （2）3xdx （4）2149x2dx

（3）x3x1x2dx

解 （1）设tx，则xt,dx2tdt,于是

或凑微分法计算：由

1xexdxxett2tdt2edt2eC2etxC

dxd(2x)2dx，得

exxdx2exdx2exC

（2）观察题目，不易直接看出如何进行换元，不妨将积函数先做变形

149x212(3x)2222121(x)23

联想到积分公式11x2dxarctanxC，于是有

49x12dx1411(32x)2dx换元32xu141u1223du

16arctanuC还原u32x16arctan(32x)C

熟练掌握凑微分形式后，可以省去换元步聚，直接求出结果。 （3）由xdx213dx,33x可以看成是于关x的函数，所以

33 12

x23xdx33x13313dx33

3 3xd(3x)

3 ()3123(3x)2C

3 1x293(3x)2C

312（4）dx21x221xdx2d(1x)1x2212ln(1x)C

2进行换元积分（或凑微分）运算时，有时由于中间变量设置的不同，所得的积分结果形式有可能不同，但实质是等价的；有时被积函数不易看出如何换元，则应先做适当变形。请看下面例子。

例7 计算下列不定积分

（1）121nxxxxdx （2）12xx2dx

（3）（5）23x94dx （4）xex3x2dx

dxeexx

1xdxdlnx,所以

解 （1）由于

12lnxxdx(12lnx)dlnx14(12lnx)C

212(12lnx)d(12lnx)

或 原积分(12ln2x)dlnxdlnx2lnxdlnx

lnxlnxC 想一想，这两个计算结果是否相同？为什么？

（2）由于

2xx21(12xx)21(x1)

2联想到11x2dxarcsinxC,dxd(x1),故

12xx2dx11(x1)2d(x1)

arcsin(x1)C

13

（3）将分子、分母同除以9，得

xxxx23x(23)2329423

)2x1(设t()，则lntxlnx23,dx1ln312tdt,于是

923xxx4dxx1tt21ln312tdt

1ln2ln31t1212dt

1ln2ln312(ln2ln3)12(ln2ln3)(11t11t)dt

(ln1tln1t)C

ln1t1tC

12(ln2ln3)1(ln1(x2323))xC

x 121612(ln2ln3)ln3232xxxC

（4）由于xdxdx2d(3x)，所以

3x22（5）

xedxedxx(x16)e3x2d(3x)x216e3x2C

edxxexex(eex)ede2x1arctaneC

x 例8 计算下列不定积分

（1）sin3xsin5xdx （2）cosxdx （3）sinxcosxdx （4）3261sinxcosxdx

分析 这些积分中的被积函数都是三角函数，一般说来，三角函数的积分比较复杂，不易直接看出

14

求解方法，往往需先对被积函数作恒等变形，至于如何去变形，则需从实践中总结经验，变形过程中常用到三角函数的基本关系式、积化和差公式、倍角或半角公式。

解 （1）观察被积函数知，须先对被积函数作积化和差变形后，再凑微分去求解。

sin3xsin5xdx  （2）利用公式cosx1cos2x222121(cos2xcos8x)dx12cos2xdx141cos8xdx2

12sin2x1218sin8xCsin2x116sin8xC

1cos2x23，将被积函数降次，于是

cos6xdx(18181818516516)dx

  (13cos2x3cosxxx31631631631614sin2xsin2xsin2x3831631633222xcos232x)dx

3cos2xdx1cos2xdx 8116(1cos4x)dxx3sin4x116148116cos2xdsin2x

2(1sin148sin2x)dsin2x 2xC

xxsin2xsin4xsin2xsin33sin2xsin4x22xC

（3）sin3xcos2xdx sinxcos2xsinxdx

2(1cos2x)cosx(dcosx)

cos13cos1xdcosx3cos4xdcosx

x15cos5xC 1dxd(tanx),

（4）由于所以

1sinxcosx1tanxcosdx2x,而

cos2xsinxcosxtan1xd(tanx)lntanxC

例9 计算下列不定积分 （1）dx3dx

(1x)22（2）dxx2x2

9 15

1（3）x(1x)2dx

分析 这几个不定积分的被积表达式中都含有a2x2,x2a2,x2a2类的式子，要用三角代换来求解。各自的代换式是

（1）含a2x2：设xasint，则dxacostdt； （2）含x2a2：设xasect，则dxasecttantdt； （3）含x2a2：设xatant，则dxasectdt； 解

（1）因被积表达式含有1x2，故设xsint(323222t322)，则dxcostdt，

(1x)2(1sint)2cos3t

于是

dx3(1x)22cosx1xcost3tdtcos12tdt

由xsint,可知cost1x，tant2sintcost2，所以

dx3x1x2C

(1x)22（2）为了去掉根式x29设x3sect(0t2)，则

dx3secttantdt

x93sec13tant dxx222于是

x299sec193secttant2t3tantdt

3xx2sec1tdt19costdt19sintC

由x3sect,得cost，sint1cos2t9x2，所以

12dxx2x92x99xC

（3）为了去掉(1x)2，设xtant(2t2)，则dxsec2tdt

16

112(1x)2(1tan12t)2sect

于是

x3(1x)2dx2tancossin3tsectsectt1cos32tdttan23tsectdt

333 dt(1cost)d(cost)6cost

11x2(151cost561321costcos34)dcost tC

cost由xtant,可知cost,1cost1x,于是

1x3(1x)2dx2155(1x)22133(1x)2C

2小结 从上面例子看出,进行三角换元后，得到的积分结果一般都是关于t的三角函数式，用x还原t时，虽然可以引进三角函数式或反三角函数的运算，但较麻烦，为了直观起见，往往用“三角形法”进行还原计算，如图5-1的常用的三种三角代换类型简图，根据简图，则很容易计算出其它的三角函数式。

例如图5-1（2），设xatant,则可设直角三角形角t的对边长为x，邻边长为a，故斜长为a2x2，从图中看出sintax2x2,costaa2x2。

例10 计算dx16x2

8x5分析 对于被积函数含有

ax2ax2bxc的积分,一般不能做代换t2222ax2bxC，而应将

bxC配平方，然后作变量代换，归结为含ax、xa的积分后再用第二换元法求解。

解 由于16x8x5设t4x1，则x14t14t2(4x1)4 14,dx14dt,于是

2 17

1dx16x8x5242dt14t4dtt42

根据材料上的补充公式（8），再将t4x1代回，所以

原积分1414lntt4C

16x8x5C

22ln4x1对于被积函数含有根式或其它较为特殊的情形，也可以采用第二换元积分法计算。 例11 计算下列不定积分： （1）xx2dx （2）x3(13x2)10dx （3）dxx(1x)

解 （1）被积函数是无理函数，又不能凑微分计算，因此选择根式代换，使之有理化。 设tx2，则xt22,dx2tdt,于是

xx2dx(t2)t2tdt

2 2(t42t2)dt

2(2515t5523t)C

33(x2)243(x2)2C

2 （2）被积函数是有理多项式，如若展开(13x)去计算，将是很麻烦的，不妨设t13x，于是

210x213(1t),dx213dt，再考虑到xdx312xdx，所以

22x(13x)3210dxx(13x)1(1t)t11198(1t1110221012112dx132

3(t12dt)

 （3）方法一：设t2181112211)C 1216(13x)212(13x)C

x，则xt，dx2tdt，于是

18

dxx(1x)t(1t2tdt2)2dt1t2

2arctatnC

nxC 2arctat方法二：凑微分法 由于

1xdxd(2x)2d(x),1x1(x)，所以

2dxx(1x)1(2dxx)22actanxC

小结 利用第二换元积分法计算不定积分时，要特别注意被积函数的特点，针对这些特点，选择适

当的代换，常见的第二换元积分法求解的类型请见疑难解析中的有关内容。

例12 计算下列不定积分

（1）xcos2xdx （2）x2exdx （3）(x21)lnxdx （4）x2arctanxdx

分析 计算形如udx的积分时，如果不能用换元积分法求解，则可考虑用分部积分法求解，具体步骤是：

（1）凑微分：从被积函数中选择恰当的部分作为dx，凑微分dxd，这样积分就变成ud的形式：

（2）代公式：ududu，并计算出微分duudx； （3）计算积分udx

这些积分都不能用换元积分法计算，故考虑用分部积分法，u和的选择参见表5-2 解 （1）设ux,cos2x,故

ddxcos2xdxd(12sin2x)

代入分疗积分公式，有

xcos2xdx1212xd(12sin2x)

xsin2xxsin2x2sin2xdx

14cos2xC

1如果设ucos2x,x，会出现什么情形呢？事实上，由

19

dxxdxd(x22)d

故

udcosx22xd(x22)

2x2cos2xx22dcos2x

2cos2xx2sin2xdx

显然积分x2sin2xdx比原积分xcos2xdx中的x次数更高了，即更难计算了，因此这种选择是不恰当的。

x （2）设ux,e，则

2ddxedxde

xx于是

x2edxxx2dexxe2xexdx2

x2ex2xexdx

虽然，xexdx还不能直接积分，还须再做一次分部积分，这时设ux,e，于是

xxe因此

xdxxde2xxxexexxdxxexeC

xxedxxe2(xe2xx2xxe)C

x xe2xe2eC （3）设ulnx,x1，则

x32ddx(x1)dxd(23x)

于是

(x21)lnxdxlnx3xd(x33x)

(3x)lnx(x33x)dlnx

20

(x333x)lnx(xx332x)1xdx

(x3xx)lnx(x331)dx

3 (23x)lnx9xC

（4）设uarctanx,x，则

x3ddxxdxd(23)

于是

xarctan2xdxarctan133xd(x33)(x333)arctanxx3311x2dx

xarctanx131316(xx)x1x2dx

1313xarctanxxarctaxn33(xx2x1x162)dx

2 ln(1x)C

一般说来，如果被积函数是多项式与三角函数或指数函数的乘积时，则u选择多项式，而选择三

角函数或指数函数；如果被积函数是多项式与对数函数或反三角函数的乘积时，则u选择对数函数或反三解函数，而选择多项式。

例13 计算下列不定积分

（1）(x22)sin2xdx （2）（3）xsin21x3lnxdx

xdx （4）xarcsinxdx

2 解 （1）

(x22)sin2xdxx2sin2xdx2sin2xdx

对第一项用分部积分法求解

xsin2xdxcos2x

2xsin2xdx2xd(12122212cos2x)12xcos2x122221cos2xdx122

sin2x

 xcos2xxcos2x212xcos2xdx(xsin2xxcos2xxdsin2xdx)

21

故 原积分 （2）被积函数是

1x31212xcos2xxcos2x2212121x3xsin2xxsin2x1414cos2xC cos2xC

1x3lnx，从形式上看应选择（否则选择lnx将求不出）即dxd(12x2，所以

ddxlnxx31x3)

于是

dxlnxd(12x12x212x)2

112x2 2lnx2x12dlnx22x121xdx

2lnx4xC

2（3）被积函数含有sinx，应先将sinx降次，然后再计算。

xsin2xdx1414x21cos2x21414dx1214xdxx2114xcos22xdx

xx2xdsin2x18(xsin2xsin2xdx)

2xsin2xcos2xC

（4）设uarcsinx,x，则

ddxxdxd(213x)

于是

xarctan2xdxarctan133xd(x33)(x333)arctanxx3311x2dx

xarctanx13(xx)x1x2

1313xarctanxxarctanx331316(xx2x1x2)dx

216ln(1x)C

例14 计算下列不定积分 （1）I（2）Inxecosxdx cosnxdx

22

（3）Ja2xdx

x2解 （1）设ue，cosx，则dcosxdxdsinx,于是

Iecosxdxxxedsinx

xdexxesinxesinxxsinx

esinxdx

x对于积分exsinxdx，还要用分部积分法计算，此时仍设ue，于是

sinx,dsinxdxd(cosx),

因此 exsinxexd(cosx) exsinxexcosxexcosxdx

e(sinxcosx)I

x 移项，两端同除以2，得

I12e(sinxcosx)C

x计算该题时，注意以下三点：

①第二次分部积分时，选择u和一定要和第一次选择的函数类型相同，如u都选e，都选三角函数(cosx和sinx)，否则第二次积分将与第一次各分相抵销。

②出现循环后，移项整理时，等式右端不要忘记加上积分常数C，因为此时右端已没有含积分号的式子了。

③此题也可以设ucosx,e，即

Ixxcosxdexecosxxexsinxdx

excosxsinxdex

ecosxesinxecosxdx

ecosxesinxI

xxxxx 移项并整理，得I12e(cosxsinx)C

x（2） Incosnxdxcosn1xdsinx

23

n1 sinxcosn1xsinxdcoxx

sinxcossinxcossinxcossinxcosn1x(n1)sin2xcox2n2xdx

n2n1x(n1)(1cosx(n1)x)cosdxd

nn1cosn2xdxcosxdx

n1x(n1)(In2In)

合并同类项，整理后得

In1nsinxcosn1xn1nIn2(n3)

显然：当n1,2时

I1I2cos2xdxsinxC 12x14sin2xC

cosxdx当n3时，反复运用公式（*），可将被积函数的方次降低，最后归结到I1或I2的函数关系式，从而得到积分结果。

（3）此积分可用换元各分法（设xasint）计算，在此我们用分部积分法求解

设uax,1,ddx，则

22a2xdxx2a2x2xd2a2x

2xax22xdxax2222

xax22(xaa)axa22222dx

xaxa2x2xdxaarcsin22

xaxJaarcsin

a22x移项整理有

J12xa2x2a22arcsinxaC

小结 （1）由于不定积分是微分运算的逆运算，因此计算的难度要比求微分难度更大，事实上，除了少量的简单函数可以直接利用基本积分公式表示出不定积分外，大量的初等函数的原函数并不易按固定程序（如求微分那样）求得。因此求不定积分时需要针对被积函数的特点和类型灵活使用各种积分方法。

24

（2）基本积分表是求不定积分的根本依据，必须熟练掌握基本积分表及其补充的积分公式。

（3）求积分经常是各种方法同时使用，而某些积分又有多种解法（尽管原函数表示形式不相同，但它们最多仅差一个常数），因此要熟练掌握各种积分方法及其技巧。

下面举例镐头明如何综合运用各种方法计算不定积分。 例15 计算下列不定积分

（1）e（3）xdx （2）sin(lnx)dx dxxx2 （4）lncosxcos2xdx

（5）lnxx1lnxdx （6）dx1ex

解 （1）设tx，则xt,dx2tdt,于是

2exdxe2tdt2tdett2(tetedt)

xt 2tet2etC2(x1)e（2）设usin(lnx),ddx，则

C

sin(lnx)dxxsin(lnx)xdsin(lnx)

1xdx

xsin(lnx)xcos(lnx) xsin(lnx)cos(lnx)dx

xsin(lnx)xcos(lxn)xdcos(lxn)

xsin(lnx)cos(lnx)sin(lnx)dx

移项整理得

12sin(ln（3）方法一：用第二换元积分法

由于

xx2x)dxxsin(lnx)cos(lnx)C

14(x2x14)(12)(x212)2，

设tx12,则dxdt,于是

dxxx2(dt12)t22arcsin2tC

25

将tx12代回，因此

dxxx2方法二：用凑微分法

arcsin2(x12)C

dxxx2dxx1xxx)d(2x)

1x 2d1(2arcsinxC

2那么方法一和方法二的结果是否一致呢？检验如下：

arcsin(2x1)C(2x1)1(2x1)1xx2224x4x2



2arcsinxC2(x)1x12121x1x1xx2

所以两种方法计算的结果是相同的。

（4）ln(cosx)cos2x1x

xdxln(cosx)d(tanx)

tanxln(coxs)tanxdln(coxs) tanxln(cosx)tanx(sinx)cosx2dx

tanxln(cosx) tanxln(cosx)tan2xdx

(secx1)dx

s)tanxxC tanxln(cox（5）tlnx,则

1xdxdlnxdt，于是

lnxx1lnxt1tdxdt

26

再设u1t，则tu21,dt2udu，

原积分u21u2udu2(13uu)C

3将u1t,tlnx即u1lnx代回，于是

（6）设t1e，则exxlnxx1lnx2dx2323(1lnx)221lnxC

2tt1dt2t1,xln(t1),dxdt,于是 22dx1ext12tt21t1dt

212lnt1t1Cln1ex11e1xC

x21n1ex1C

例16 计算下列不定积分 （1）（2）（3）x3x2dx

xx2x2xx3x232dx dx

分析 一般来说，有理分式的积分，最终归结为坟有理真分式的积分，从代数理论知，有理真分式，总可以分成下面四种类型的最简分式

A,Akx1(xa)2,AxB2xpxq(xpxq),AxB2k

之代数和（其中p4q0)，其中A、B等值可用待定系数法或对x取特殊值的方法。

解 （1）由于

x3x2(x8)8x223

(x2)(x2x4)8x22

x2x48x2

27

所以

x3x2x3dx(x2x428x2)dx

3x4x8lnx2C

2 （2）由于分子含有x的一次式，分母是x的二次式，故可将分子凑成分母的导数，即

xx2x22dx1212(d(x2x2)x2x222)dxx2x2dx2

ln(x2x2)2(x1)21

xx3x2312ln(x2x2)arctanx(1)C

2（3）

Ax1B(x1)2C(x2)

右端通分，比较等式两端分子，得

xA(x1)(x2)B(x2)C(x1)

2分别令x1，2，0，则有Bxx2x2313，C2929129，A1329，于是

1291x2dxx1dx(x1)1(x1)2dxdx

lnx11329lnx2C

13(x1)29lnx1x2C

值得注意的是，分式

xx3x23拆成最简分式之和时，应有三项

Ax1，

B(x1)2，

Cx2，不能只

写后两项，而漏掉第一项。

例17 计算下列不定积分

（1）dx1sinxcosxx2； （2）dx3sin2x

解 （1）设tanu,则x2arctanu,于是

2du1u2dx,cosx1u1u22,sinx2u1u2

28

所以

1sindxxcosx122u1u21u1u2211u2du

1u1duln1uC

x2ln1tanC

（2）对于被积函数仅含sinx的偶次项的三角函数有理式，采用utanx的变换能使计算简便。

设tanxu，则xarctanu,sinxdxu1u2，dx1du1u2，因此

du2u23sin2x3u22du1u23

1u1616arctan2323uC

arctan(tanu)C

对于仅含cosx的偶次项的三角有理式，上述utanx变换依然适用。

小结 （1）对于三角函数有理式R(cosx,sinx)dx可采用“万能”代换tan中

sinx2u1u2x2u使之有理化，其

,cosx1u1u22,dx2du1u2

于是

R(cosx,sinx)dxR(2u1u2,1u1u22)2du1u2

成为有理式。

（2）针对具体情况可以设tanxu或利用三角恒等式关系来计算，能便计算更为简便。

三、自我检测题

（一）单项选择题 1．A．

x是（ ）的一个原函数

12x； B．

21x； C．lnx； D．x3；

29

2．(arcsinxdx)（ ） A．

1C； B．

1；

1x21x2 C．arcsinxC； D．arcsinx ； 3．若F(x)是f(x)的一个原函数，则有（ ）成立。

A．f(x)dxF(x)； B．F(x)dxf(x)； C．f(x)dxF(x)C； D．F(x)dxf(x)C 4．若f(x)dxx2e2xC,则f(x)（ ）

A．2xe2x； B．2x2e2x；

C．xe2x D．2xe2x(1x)

5．若f(x)的一个原函数的lnx，则f(x)（ ）

A．xlnx； B．lnx;； C．

1x D．1x2

6．若曲线yf(x)在点x处的切线斜率为x2，且过点（2，5），则该曲线方程为（A．yx22x； B．y122x2x；

C．y1x22x3； D．yx222x5

７．下列凑微分正确的是（ ）

A．lnxdxd(1)； 1

x B．

dsinx； 1x2dx C．

1x2dxd(1x)； D．

xdxdx

8．下列凑微分正确的是（ ） A．2xex2dxdex2； B．

1

x1dxd(lnx1)； C．arctanxdxd11x2； D．cos2xdxdsin2x

9．若f(x)dxF(x)C,则exf(ex)dx（ ）

A．F(ex)C； B．F(ex)C；

30

）

C．F(ex)C； D．

F(exx)C

10．下列分部积分中，对u和选择正确的有（ ） A．x2cosxdx,ucosx,x2 B．(x1)lnxdx,ux1,lnx; C．xedx,ux,e;

D．arcsinxdx,u1,arcsinx.

211．xf(x)f(x)dx（ ）

211A． C．

1214f(x)C； B．f(x)C； D．

221214f(x)C； f(x)C

222212．若f(x)dxxC，则f(1x)dx（ ）

A．1xC； B．xC； C．xC； D．（二）填空题

1．函数f(x)的不定积分是

1x12(1x)C

22．3x2dx ，

2dx 。

cosxesinxdx ，(200e)dx 。

x3、x3(1x4)15dx ，

4、若函数F（x）与G（x）是同一个连续涵数的原函数，则F（x）与G（x）之间有关系式 ， 5、已知

f(x)(12x)100dx则f(x) ，f(0)(n)

6、若f(x)dxcosxC,则f7、若f(x)11x2(x) 。

,且f(x)32 ，则f(x) ，

8、若f(x)dxex2C,则f(x) ，

31

9、f(1nx)xdx ，

三、计算题

（1）x53x2dx （2）1x2sin1xdx

（3）1dx （4）x21x21nx1x3dx

（5）(xcosx)2dx （6）xdxx1

（7）4x2dx （8）excos(ex5)dx

自我检测题答安或提示

（一）1．B； 2．D 3．C； 4．D； 5．D； 6．C； 10．C； 11．D； 12．C。 （二） 1．f(x)C

2．3C;xC;esinxC;(200e)xx1ln200C

3．116(1x4)C

4．F(x)G(x)C(C是任意常数)

5．1101202(12x)C;1

6．sin(xn2)

7．arcsinx 8．22xex

9．f(lnx)C

13（三）1．26(53x)2C

2． cos1xC

x23．1xC

32

7．C； 8．A；9．C；

4．5．112x32lnx1234x2C 1xcos2x1sin2xC

xxsin2x486．

23(x2)x1C

7．2arcsinx2x24x2C

8．sin(ex5)C 33