第17章 勾股定理

第十七章 勾股定理

知识点回顾：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； 知识点一： 勾股定理 1.勾股定理的定义：

如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2，即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．(注意：前提条件是直角三角形！！！) 例题：

1.在Rt△ABC中，C90，中AC=3，BC=4，则AB=（ ）

A.5 B.7 C.12 D.25 2.（常考题）在直角三角形ABC中，斜边AB=1，ABBCAC的值是（ ） A.2 B.4 C.6 D.8 3.等腰三角形的腰长为10，底长为12，则其底边上的高为（ ）

A.13 B.8 C.25 D. 4.（易错题）若△ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长是（ ）

A.14 B.4 C.10或18 D.14或4 5.（常考题）等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）

A.43 B.3 C.23 D.3 6.若将直角三角形的两直角边同时扩大2倍，则斜边扩大为原来的（ ） A.2倍 B.3倍 C.4倍 D.5倍 7.等腰直角三角形的三边长度之比为（ ） A.1：1：2 B.1：1：2 C.1：2：3 D.不能确定 8.已知直角三角形中30°角所对的直角边长是23cm，则另一条直角边的长是（ ） A.4cm B.43cm C. 6cm D. 63cm 9.在直角坐标系中，点P（2，3）到原点的距离是

2.勾股定理的图形结合题（难点）

- 1 - 222

例题：

1.如图，在△ABC中，三边长a、b、c的大小关系是（ ）

A.abc B.cab C.cba D.bac 2.三个正方形的面积如图，正方形A的边长为（ ） A.8 B.36 C. D.6 3.（常考题，难）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为

25cm，则所有正方形A、B、C、D、E、F、G的面积之和为 cm.

4.（必考题，难）如图，2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形边长是13cm，小正方形边长为7cm，则每个直角三角形较短的一条直角边的长是______cm.（ ）

A.169 B.25 C.19 D.13

5.（常考题，难）如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为

第1题 第2题 第3题 第4题 第5题 6.（常考题）如图，数轴上点A表示的数是 .

7.在数轴上画出表示10的点（不写作法，但是要保留画图痕迹）

8.（必考题）如图所示，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格点的顶点叫格点，以格点作为顶点分别按下列要求画三角形.

- 2 -

(1)使三角形为钝角三角形且面积为4.（在图①中画出一个即可） (2)使三角形的三边长分别为3，22，5；（在图②中画出一个即可）

知识点二、勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长a、b、c满足ab=c，那么这个三角形是直角三角形。 利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： （1）先找出最大边（如c）；

（2）计算c与ab，并验证是否相等。 若c=ab，则△ABC是直角三角形； 若c≠ab，则△ABC不是直角三角形。 （3）拓展：①若c＞ab，则△ABC是钝角三角形； ②若c＜ab，则△ABC是锐角三角形； 2.勾股数

（1）满足ab=c的三个正整数a,b,c就是一组勾股数

（2）常见的勾股数有：①3，4，5 ②6，8，10 ③5，12，13 ④7，24，25 ⑤8，15，17 ⑥9，12，15 3.原命题、逆命题、逆定理的概念及关系

如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。 注意：（1）定理一定是真命题；

（2）命题一定有逆命题，定理也是命题，但不一定有逆定理； 例题：

222222222222222222222- 3 -

1.下列各组数为勾股数的是（ ）

A.15，17，8 B.8，15，16 C.6，12，13 D.3，4，7 2.三角形的三边长满足关系：(ab)c2ab，则这个三角形是（ ） A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 3.（易错题）若△ABC的三边a，b，c满足ab(abc)0，则△ABC是（ ）

22222 A.等腰三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 4.(常考题)在下列长度的四组线段中，不能组成直角三角形的是（ ）

A.a=12，b=13，c=5 B.a=b=5，c=52 C.a:b:c=3:4:5 D.a=11，b=12，c=15 5.（难）边长为7，24，25的△ABC内有一点P到三边的距离相等，则这个距离是（ ） A.6 B. 4 C.3 D.2

6.（易错题）三角形的两边长分别为15和20，要使这个三角形是直角三角形，则第三边长是 。 7.下列命题的逆命题是真命题的是（ ）

A.若ab,则ab B. 全等三角形的周长相等 C.若a0,则ab0 D.有两边相等的三角形是等腰三角形 8.下列命题中，真命题是（ ）

A.如果三角形三个角的度数比是3:4:5，那么这个三角形是直角三角形 B.如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为

2222ab c C.如果直角三角形两直角边长分别为a和b，那么斜边长为ab D.若三角形三边长的比为1:2:3，则这个三角形是直角三角形

知识点三、勾股定理和逆定理的综合题 例题：

1.如图所示，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，且AB⊥BC. 求证：AC⊥CD.

- 4 -

2.如图，△OAB中，ACOB于C，ACOCBC.

0（1）求证：OAB90 ；（2）若SOAB20，OA:AB=1：2，求直线OA的解析式。

2

第1题 第2题 知识点四、勾股定理的实际应用（重难点） 1.折叠问题

解题思路：利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解． 例题：

1.如图，折叠长方形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm， 求EC的长。

2.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠，使AD落在对角线BD上，得折痕DG，若AB = 2，BC = 1，求AG

3.如图，矩形纸片ABCD中，AB=3cm，BC=5cm，现将A、C重合，使纸片折叠压平，设折痕为EF，求重叠部分△AEF的面积。

- 5 -

4.如图所示，在同一平面上把三边为BC=3，AC=4，AB=5，的三角形沿最长边AB翻折后得到△ABC′，则CC′的长等于（ ） A.1213524 B. C. D. 5556 2.路径最短问题

解题思路：把几何体适当展开成平面图形，在利用“两点之间线段最短”或点到直线“垂线段最短”等性质来解决问题。 例题：

1.（难）如图，圆柱形玻璃杯，高为12cm，底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一直蚂蚁正好在杯外壁，离杯子上沿4cm处与蜂蜜相对的A点处，蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm. 2.如图，一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20、3和2，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶表面到B点最短路程是

第1题 第2题

- 6 -

3.如图，A，B两村在一条河流CD的同侧，A，B与该河距离分别为100米、700米，且C，D之间距离为600米．现要建一自来水厂向AB两村送水，铺设水管工程费用为每米200元，请你上选择水厂位置P，使铺设水管费用最省，并求出铺设水管总费用是多少元？

3.滑梯等问题 例题：

1. 要登上某建筑物，靠墙有一架梯子，底端离建筑物5m，顶端离地面12m，则梯子的长度是（ ） A.12m B.13m C.14m D.15m

2.在布置新年联欢会的会场时，小虎准备把同学们做的拉花用上，他搬来了一架高为2.5米的梯子，要想把拉花挂在高2.4米的墙上（设梯子上端要到达或超过挂拉花的高度才能挂上），小虎应把梯子的底端放在距离墙 .米处。

3.如图，在一次暴风灾害中，一颗大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是 米

4.如图，有两棵树，一棵高10m，另一棵高4m，两树相距8m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞行（ ）

A.8m B.10m C.12m D.14m

第1题 第2题 4.方位问题

角度表示方向：一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向，如图，OA方向可表示为北偏西60°。

注意：不可以说西偏北、东偏北、西偏南和东偏南. 例题：

- 7 - 北A60°西O东南

1.一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A. 25海里 B. 30海里 C. 35海里 D. 40海里

2.已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（ ）

A.100 B.180 C.220 D. 260

3.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向240千米的B处有一台风中心，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以20千米/时的速度沿北偏东30°的方向往C移动，如下图所示，且台风中心的风力不变，若城市所受风力达到或超过4级，则称台风受台风影响. （1）该城市是否会受到这次台风的影响？请说明理由

（2）若受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（结果保留整数） （2）该城市受到台风影响的最大风力为几级？

5.面积问题 例题：

1.在△ABC中，若其三条边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形所拼成的四边形的面积是 . 2.如图：已知在四边形ABCD中，AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，∠B=900，求：S四边形ABCD

3.有一块如图所示的三角形空地，计划将这块空地建成一个花园，预计每平方米造价40元，求建这个花园需要投资多少元？（保留四个有效数字，用科学记数法表示）

- 8 -

4.如图，一块四边形的菜地ABCD，AB=2，CD=1，∠A=600，∠B=∠D=900，求这块菜地的面积。

6.规律探究题（难）

1.（常考）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示），已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1， S2 ，S3 ，S4 ，则S1＋ S2 ＋S3 ＋S4 ＝

2.如图所示，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…，记正方形ABCD的边长为a1=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3……an则 a3= ，an= .

- 9 -

3.如图所示是由两个正方形组成的长方形花坛ABCD，小明从顶点A沿着花坛间的小路走到长边中点O，再从O走到正方形OCDF的中心O1，再从O1走到正方形O1GFH的中心O2，又从O2走到正方形O2IHJ的中心O3，又从O3走到正方形O3KJP的中心O4，一共走了312m，则长方形花坛的周长是 m 4.给出一组式子：345，8610，15817，241026，……请你写出第n个表达式： 222222222222- 10 -