和政县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

和政县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 下列命题的说法错误的是（ ）

A．若复合命题p∧q为假命题，则p，q都是假命题 B．“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件

C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0” 2． 已知函数f(x)esinx，其中xR，e2.71828x为自然对数的底数．当x[0,2函数yf(x)]时，

的图象不在直线ykx的下方，则实数k的取值范围（ ）

A．(,1) B．(,1] C．(,e) D．(,e]

【命题意图】本题考查函数图象与性质、利用导数研究函数的单调性、零点存在性定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，以及构造思想、分类讨论思想的应用． 3． 已知集合A={0，m，m2﹣3m+2}，且2∈A，则实数m为（ ） A．2 （ ）

A．1 B．2 C．-1 D．-2 5． 函数y=|a|x﹣

（a≠0且a≠1）的图象可能是（ ） B．3

C．0或3

D．0，2，3均可

224． e1,e2是平面内不共线的两向量，已知ABe1ke2，CD3e1e2，若A,B,D三点共线，则的值是

A． B． C． D．

6． 已知集合A{2,1,1,2,4}，B{y|ylog2|x|1,xA}，则A【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 7． A．9

B．

C．3

（﹣6≤a≤3）的最大值为（ ） D．

，则x=（ ）

D．

B（ ）

A．{2,1,1} B．{1,1,2} C．{1,1} D．{2,1}

8． 已知向量=（﹣1，3），=（x，2），且A．

B．

C．

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9． 已知函数f（x）=A．

B．

，则

的值为（ ）

C．﹣2 D．3

10．与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是（ ）

A．若x∉A，则y∉A B．若y∉A，则x∈A C．若x∉A，则y∈A D．若y∈A，则x∉A 11．已知双曲线

的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支

有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ） A．（1，2] B．（1，2） C．[2，+∞） D．（2，+∞）

12．已知复数z满足z•i=2﹣i，i为虚数单位，则z=（ ） A．﹣1﹣2i B．﹣1+2i

C．1﹣2i D．1+2i

二、填空题

13．（x﹣）6的展开式的常数项是 （应用数字作答）．

14．图中的三个直角三角形是一个体积为20的几何体的三视图，则h__________.

15．i是虚数单位，化简：

= ．

16．运行如图所示的程序框图后，输出的结果是

17．已知数列{an}中，2an，an+1是方程x2﹣3x+bn=0的两根，a1=2，则b5= ．

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18．设MP和OM分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：

①MP＜OM＜0；②OM＜0＜MP；③OM＜MP＜0；④MP＜0＜OM， 其中正确的是 （把所有正确的序号都填上）．

三、解答题

19．已知﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2，点P的坐标为（x，y）

22

（1）求当x，y∈Z时，点P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率； 22

（2）求当x，y∈R时，点P满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的概率．

20．（本题满分13分）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且与直线l1：x2y60相切，设点A为圆上 一动点，AMx轴于点M，且动点N满足ON（1）求曲线C的方程；

（2）若动直线l2：ykxm与曲线C有且仅有一个公共点，过F1(1,0)，F2(1,0)两点分别作F1Pl2，

131OA()OM，设动点N的轨迹为曲线C. 232F1Ql2，垂足分别为P，Q，且记d1为点F1到直线l2的距离，d2为点F2到直线l2的距离，d3为点P

到点Q的距离，试探索(d1d2)d3是否存在最值？若存在，请求出最值.

21．在数列（Ⅰ）当

中，时，求

，使

，

的值；

构成公差不为0的等差数列？证明你的结论； ，使得

．

，其中

，

．

（Ⅱ）是否存在实数（Ⅲ）当

时，证明：存在

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22．已知数列{an}的首项a1=2，且满足an+1=2an+3•2n+1，（n∈N*）． （1）设bn=

，证明数列{bn}是等差数列；

（2）求数列{an}的前n项和Sn．

23．已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0． （Ⅰ）求数列{an}的通项公式

（Ⅱ）记bn=log2an，求数列{an•bn}的前n项和Sn．

24．若函数f（x）=sinωxcosωx+

sin2ωx﹣

（ω＞0）的图象与直线y=m（m为常数）相切，并且切点的横

坐标依次构成公差为π的等差数列． （Ⅰ）求ω及m的值；

（Ⅱ）求函数y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和．

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和政县外国语学校2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参）

一、选择题

1． 【答案】A

【解析】解：A．复合命题p∧q为假命题，则p，q至少有一个命题为假命题，因此不正确； B．由x2﹣3x+2=0，解得x=1，2，因此“x=1”是“x2﹣3x+2=0”的充分不必要条件，正确； C．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0 则￢p：∃x∈R，x2+x+1≤0，正确；

D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”，正确． 故选：A．

2． 【答案】B

【解析】由题意设g(x)f(x)kxesinxkx，且g(x)0在x[0,]时恒成立，而

x2xg'(x)ex(sinxcosx)k．令h(x)ex(sinxcosx)，则h'(x)2ecosx0，所以h(x)在[0,]上递

2增，所以1h(x)e2．当k1时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递增，g(x)g(0)0，符合题意；当ke22时，g'(x)0，g(x)在[0,]上递减，g(x)g(0)0，与题意不合；当1ke2时，g(x)为一个递增

2函数，而g'(0)1k0，g'()e2k0，由零点存在性定理，必存在一个零点x0，使得g'(x0)0，

2当x[0,x0)时，g'(x)0，从而g(x)在x[0,x0)上单调递减，从而g(x)g(0)0，与题意不合，综上

所述：k的取值范围为(,1]，故选B．

3． 【答案】B

2

【解析】解：∵A={0，m，m﹣3m+2}，且2∈A，

2

∴m=2或m﹣3m+2=2，

解得m=2或m=0或m=3．

当m=0时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=2时，集合A={0，0，2}不成立． 当m=3时，集合A={0，3，2}成立． 故m=3． 故选：B．

【点评】本题主要考查集合元素和集合之间的关系的应用，注意求解之后要进行验证．

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4． 【答案】B 【解析】

考点：向量共线定理． 5． 【答案】D

【解析】解：当|a|＞1时，函数为增函数，且过定点（0，1﹣当|a|＜1时且a≠0时，函数为减函数，且过定点（0，1﹣故选：D．

6． 【答案】C

【解析】当x{2,1,1,2,4}时，ylog2|x|1{1,1,0}，所以A7． 【答案】B

【解析】解：令f（a）=（3﹣a）（a+6）=﹣（a）的最大值为故故选B．

【点评】本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

8． 【答案】C 【解析】解：∵∴3x+2=0， 解得x=﹣． 故选：C．

，

，

（﹣6≤a≤3）的最大值为

=

，

+

），因为0＜1﹣），因为1﹣

＜1，故排除A，B

＜0，故排除C．

B{1,1}，故选C．

，而且﹣6≤a≤3，由此可得函数f

【点评】本题考查了向量共线定理、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

9． 【答案】A

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【解析】解：∵函数f（x）=∴f（）=

=﹣2， =f（﹣2）=3﹣2=．

故选：A．

10．【答案】D

【解析】解：由命题和其逆否命题等价，所以根据原命题写出其逆否命题即可． 与命题“若x∈A，则y∉A”等价的命题是若y∈A，则x∉A． 故选D．

11．【答案】C

【解析】解：已知双曲线

的右焦点为F，

，

若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ∴≥

，离心率e2=

，

∴e≥2，故选C

【点评】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．

12．【答案】A

【解析】解：由z•i=2﹣i得，故选A

，

二、填空题

13．【答案】 ﹣160

6

【解析】解：由于（x﹣）展开式的通项公式为 Tr+1=

•（﹣2）r•x6﹣2r，

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6

令6﹣2r=0，求得r=3，可得（x﹣）展开式的常数项为﹣8=﹣160，

故答案为：﹣160．

【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．

14．【答案】 【解析】

试题分析：由三视图可知该几何体为三棱锥，其中侧棱VA底面ABC，且ABC为直角三角形，且

11AB5,VAh,AC6，所以三棱锥的体积为V56h5h20，解得h4.

32

考点：几何体的三视图与体积. 15．【答案】 ﹣1+2i ．

【解析】解：故答案为：﹣1+2i．

16．【答案】 0

【解析】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出S=sin由于sin所以S=sin

周期为8， +sin

+…+sin

=0．

+sin

+…+sin

的值，

=

故答案为：0．

【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了正弦函数的周期性和特殊角的三角函数值的应用，属于基本知识的考查．

17．【答案】 ﹣1054 ．

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2

【解析】解：∵2an，an+1是方程x﹣3x+bn=0的两根，

∴2an+an+1=3，2anan+1=bn， 则b5=2×17×（﹣31）=1054． 故答案为：﹣1054．

∵a1=2，∴a2=﹣1，同理可得a3=5，a4=﹣7，a5=17，a6=﹣31．

【点评】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18．【答案】 ②

【解析】解：由MP，OM分别为角∵

∴OM＜0＜MP． 故答案为：②．

的正弦线、余弦线，如图， ，

【点评】本题的考点是三角函数线，考查用作图的方法比较三角函数的大小，本题是直接比较三角函数线的大小，在大多数此种类型的题中都是用三角函数线比较三个函数值的大小．

三、解答题

19．【答案】

【解析】解：如图，点P所在的区域为长方形ABCD的内部（含边界），

22

满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点的区域为以（2，2）为圆心，2为半径的圆面（含边界）．

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（1）当x，y∈Z时，满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的点有25个，

22

满足x，y∈Z，且（x﹣2）+（y﹣2）≤4的点有6个，

依次为（2，0）、（2，1）、（2，2）、（1，1）、（1，2）、（0，2）； ∴所求的概率P=

．

=π，

（2）当x，y∈R时，

满足﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：4×4=16，

22

满足（x﹣2）+（y﹣2）≤4，且﹣2≤x≤2，﹣2≤y≤2的面积为：

∴所求的概率P==．

【点评】本题考查的知识点是几何概型概率计算公式，计算出满足条件和所有基本事件对应的几何量，是解答的关键，难度中档．

20．【答案】

【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.

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（2）由（1）中知曲线C是椭圆，将直线l2：ykxm代入 椭圆C的方程3x4y12中，得

22

(4k23)x28kmx4m2120

由直线l2与椭圆C有且仅有一个公共点知， k2m24(4k23)(4m212)0，

22整理得m4k3 …………7分

|mk||mk|且d1，d2

221k1k1当k0时，设直线l2的倾斜角为，则d3|tan||d1d2|，即d3|d1d2| kdd2dd24|m|||1|∴(d1d2)d3(d1d2)|1 2kk1k22第 12 页，共 15 页

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4|m|16 …………10分

1m231|m||m|422∵m4k3 ∴当k0时，|m|3 ∴|m|1143，∴(d1d2)d343……11分 3|m|332当k0时，四边形F1F2PQ为矩形，此时d1d23，d32

∴(d1d2)d323243 …………12分

综上1、2可知，(d1d2)d3存在最大值，最大值为43 ……13分

21．【答案】

【解析】【知识点】数列综合应用 【试题解析】（Ⅰ）（Ⅱ）即

，

将

，

，成等差数列，

， ，即

．

代入上式， 解得的公差不为0． ，使

，

令， ，

……

，

将上述不等式相加，得 取正整数22．【答案】

，就有

，即

．

．

构成公差不为0的等差数列．

, ． ．

，

．

，

经检验，此时存在（Ⅲ）又 由

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【解析】解：（1）∵∴数列{bn}是以（2）由（1）可知∴

①

②

①﹣②得：

为首项，3为公差的等差数列．

=，

，

，

∴

．

【点评】本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用定义法和错位相减法是解决本题的关键．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q， 由an＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0， 化简得q﹣q﹣2=0，

2

解得q=2或q=﹣1（舍），

2

∵a3=a1•q=4a1=8，∴a1=2，

∴数列{an}是以首项和公比均为2的等比数列，

n

∴an=2；

（Ⅱ）由（I）知bn=log2an=

n

∴anbn=n•2，

=n，

123n1n

∴Sn=1×2+2×2+3×2+…+（n﹣1）×2﹣+n×2，

2Sn=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，

123n1nn+1

两式相减，得﹣Sn=2+2+2+…+2﹣+2﹣n×2，

∴﹣Sn=

n+1

﹣n×2，

n+1

∴Sn=2+（n﹣1）2．

【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．

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24．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵f（x）=sinωxcosωx+=

ωx+

（1﹣cos2ωx）﹣

=

sin2ωx﹣2ωx﹣

2ωx=sin（2ωx﹣

），

依题意得函数f（x）的周期为π且ω＞0， ∴2ω=

，

∴ω=1，则m=±1；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（2ωx﹣∴

．

），∴

，

又∵x∈[0，2π]， ∴

．

．

∴y=f（x）在x∈[0，2π]上所有零点的和为

【点评】本题主要考查三角函数两倍角公式、辅助角公式、等差数列公差、等差数列求和方法、函数零点基础 知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想，是中档题．

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