等腰三角形和等边三角形 教案、全解、试题全集(附答案)

一. 教学内容：

等腰三角形和等边三角形

二. 教学目标：

1、了解等腰三角形和等边三角形的概念；

2、加深理解等腰三角形的性质，并能够用其解决相关问题；

3、掌握有一个30°的直角三角形的性质，并能运用它解决相关问题； 4、会用尺规作角平分线；

5、掌握角平分线的两个相关性质，能够运用性质解决问题；

三. 重点、难点：

1、等腰三角形与等边三角形的判定与性质； 2、角平分线的两个定理的运用；

四. 知识要点与学习目标： 1、等腰三角形的概念

定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两条边叫做腰；另一条边叫做底边；两腰的夹角叫做顶角；腰与底边的夹角叫做底角；

2、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的性质1：等腰三角形的两个底角相等；（简称：等边对等角） （2）等腰三角形的性质2：等腰三角形顶角平分线垂直平分底边；（三线合一）

（3）等腰三角形判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等；（简称：等角对等边） 3、等边三角形的性质：

（1）等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 4、角平分线性质定理与判定定理：

（1）角平分线上任意一点到角两边的距离相等；

（2）在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上

【典型例题】

例1 已知：在△ABC中，AB＝AC

（1）若∠A＝70°，则∠B＝___________，∠C＝___________ （2）若一个角为30°，则它的另外两内角分别为__________ （3）若一个角为100°，则它的另外两内角分别为_________ 解：（1）55°；55°

（2）另外两内角分别为：75°，75°；30°，120° （3）40°，40°

小结：渗透分类思想，培养思维的严密性.

例2 已知：如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC，AD＝AE

求证：BD＝CE

证明：作AF⊥BC，垂足为F，则AF⊥DE ∵AB＝AC，AD＝AE（已知） AF⊥BC，AF⊥DE（辅助线作法）

∴BF＝CF，DF＝EF（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合） ∴BD＝CE

强调说明：等腰三角形中的“三线合一”常常作为解决等腰三角形问题的辅助线，添加辅助线时，有时作顶角的平分线，有时作底边中线，有时作底边的高，有时作哪条线都可以，有时却不能，还要根据实际情况来定.

例3 已知：如图，D是等边△ABC内一点，DB＝DA，BP＝AB，∠DBP＝∠DBC。求证：∠P＝30°

证明：连结DC

在△BPD和△BCD中

∴△BPD≌△BCD

在△ADC和△BCD中

∴△ADC≌△BDC ∴

因此，∠P＝30°

例4 求证：等腰三角形两腰上中线的交点到底边两端点的距离相等。

已知：如图，AB＝AC，BD、CE分别为AC边、AB边的中线，它们相交于F点

求证：BF＝CF

证明：∵BD、CE是△ABC的两条中线，AB＝AC ∴AD＝AE，BE＝CD 在△ABD和△ACE中 ∴△ABD≌△ACE ∴∠1＝∠2

在△BEF和△CDF中 ∴△BEF≌△CDF ∴BF＝FC

例5 已知：如图：在△ABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，∠AEF＝∠AFE.

求证：EF⊥BC

证明：作BC边上的高AM，M为垂足 ∵AM⊥BC

∴∠BAM＝∠CAM

又∵∠BAC为△AEF的外角 ∴∠BAC＝∠E+∠EFA

即∠BAM+∠CAM＝∠E＋∠EFA ∵∠AEF＝∠AFE ∴∠CAM＝∠E ∴EF∥AM ∵AM⊥BC ∴EF⊥BC

【模拟试题】（答题时间：40分钟）

一、填空题

1. 下列几何图形中：（1）平行四边形；（2）线段；（3）角；（4）圆；（5）正方形；（6）任意三角形.其中一定是轴对称图形的有_____________.

2. 角是轴对称图形，它的对称轴是_________________. 3. 线段是轴对称图形，它的对称轴是__________________.

4. 下面的三角形都是等腰三角形，且均为，它们均有一部分被木板遮住了，你能相当快的说出它们被遮住的顶角或底角各是多少度吗？

5. 我们知道等腰三角形是轴对称图形，你认为它有____条对称轴.对于等腰三角形对称轴的问题，芳芳、丽丽、园园有了不同的看法.

芳芳：“我认为等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线.” 丽丽：“我认为等腰三角形的对称轴是底边中线所在的直线.” 园园：“我认为等腰三角形的对称轴是底边高线所在的直线.” 你认为她们谁说的对呢？

请说明你的理由______________________________________________.

二、解答题

1. 指出下列图形的所有对称轴数，并画出其中一条对称轴.

2. 已知：如图，度数.

于E，且，已知

，求

的

3. 如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC 的度数.

【试题答案】

一、

1. （2）（3）（4）（5） 2. 角平分线所在的直线. 3. 线段的垂直平分线. 4. 90°，30°.

5. 一，全对，因为等腰三角形这三线合一. 二、

1. （1）5条 （2）5条 （3）2条 作图略 2. ∠ACD＝80°，∠DCF＝130° 3. 30°