多元函数求导法则

第17 次课 授课时间2016年12月23日 第3～5节课 教案完成时间2016

年12月16日

教 课程名称 高等数学 员 称

职 副教授 专业层次 药学四年制本科 年 级 2016 授课方式 理论 学时 3 授课题目（章，节） 第七章 多元函数及其微分法 §3.全微分 §4. 多元复合函数与隐函数的偏导数 基本教材：《高等数学》，顾作林主编，人民卫生出基本教材、主要参版社，2011年，第五版 考书 主要参考书：《医科高等数学》，张选群主编，高教和相关网站 出版社，2009年，第二版 教学目标与要求： 了解：全微分存在的必要条件和充分条件；一阶全微分形式的不变性；全微分的概念 掌握：全微分的求法；复合函数、隐函数的偏导数的求法 教学内容与时间分配： 复习 5分钟 全微分概念 5分钟 可微与可导间的关系 5分钟 全微分的算法及应用 25分钟 复合函数求导法则（推广及特例4种） 40分钟 一阶全微分形式的不变性 15分钟 隐函数求导法 20分钟 小结 5分钟 教学重点与难点： 重点：全微分的概念；复合函数求导规则；隐函数求导法 难点：全微分的概念；全微分存在的充分条件；锁链法则的理解；函数结构图的分析 教学方法与手段： 教学方法：讲授式为主，启发式和讨论式相结合，借助示意图及实例分析，加深对抽象概念理解。 教学手段：传统教学手段（板书）与现代化教学手段（多媒体）相结合，既有演算推导过程，又提高单位时间授课信息量。 教学组长审阅意见： 教研室主任审阅意见： 签名： 年 签名： 年 月 日 月 日 理论与实验课教案续页

教学方法手基 本 内 容 段 和时间分配 复习回顾：一元复合函数求导法则 第三节 全微分及其应用 5’ 难点 一元函数：yf(x)，在x点可导； 二元函数：zf(x,y)，在(x,y)点全增量z为 zz,存在；希望5’ xy5’ 重点 zf(xx,yy)f(x,y)AxByo() （1） 难点 其中A,B是不依赖于x,y（仅与x,y点有关）的常数，讨论式 (x)(y) 两个偏微分之和 22下面给出全微分的定义、存在的充要条件。 10’ 一、全微分概念 推广：三元为定义：若（1）式成立，则称zf(x,y)，在点(x,y)可三个偏微分微分，而AxBy称为在该点的全微分（total 之和 differential），记为： 启发式互动 dzAxBy （2） 板书 二、可微与可导间的关系 P222定理1（必要条件） f(x,y)在(x,y)点全微分存在 5’ zz,存板书 xy10’ 在（+连续） 通过练习加 （（1）式成立） P223定理2（充分条件） 深对方法的 A B 理解 几点说明： 10’ 1）P222定理1为全微分存在的必要条件定理，即（1）“锁链法则” 式成立 2zzzz,在(x,y)点存在且A,B； xyxy注意两点： 1）搞清函数）反之不成立。反例见复合关系； xy22(xy0)22f(x,y)xy分段函数（即zdz不是2）对某个自0(x2y20)变量求偏导，应经过一切的高阶无穷小） 3）反之何时成立？这就是P223定理2（充分条件）中间变量而（+偏导连续） 归结到该自 4）定理2的证明中用到拉格朗日中值定理（P80，变量。 （3-1-2’）） 10’ 5）将自变量的增量x,y称为自变量的微分，记为板书 dx,dy，从而 20’ dzzzdxdy （3） xy借用上图和 6）可以推广到多元函数（>二元） 三、算法 例：求全微分。 （1）zln(x2y2)dz2x2ydxdy x2y2x2y2上式 z：视zx为x,y的函数，固定y，z对x求导； （2）uxy2z3 （3）求z(1xy)x在(2,0)点的dz 四、全微分应用 1．近似计算 例（P224例4）求3(2.02)2(1.97)2的近似值。 fx：视z为u,x,y的函数，固定u,y，z对x求导。 带入为一元dx例（P224例3）求已知两端封闭的金属圆桶的底面半函数，故dz 径为30厘米，高为120厘米。要将它刷上0.02厘米厚的15’ 油漆，问共需多少油漆？ 2．误差估计（自学） 课堂练习： 1．求下列函数的全微分。 注意体会利用一阶全微分形式不变性求全微分和偏导数与按定义（1）zln(1x2y2) （2）求全微分不同 usin(x2y2z2) 10’ 公式 公式 首先构造F(x,y,z) 2．一矩形边长分别为x6米，y8米。如果x边增加5厘米，而y边减少10厘米，求该矩形对角线的近似变化情况。 第四节 多元复合函数与隐函数的求导法则 10’ 5’ 一、多元复合函数的求导法则 （一）复合函数的偏导数 定理（P229）如果 1）u(x,y),v(x,y)在(x,y)点2）zf(u,v)在对应点(u,v)，uuvv,,,存在； xyxyzz,连续， uv则zf[(x,y),(x,y)]在点(x,y)有 zzuzv （1） xuxvxzzuzv （2） yuyvyzz,。 xy 例1 zeusinv，uxy,vxy2，求zz,。 xy 例2 zf(x2y,xy2)，求推广及特殊情形： （1）自变量多于2个 zf(u,v)，uu(x,y,t),vv(x,y,t) （2）中间变量多于2个 zf(u,v,)，uu(x,y),vv(x,y),(x,y) 例3 z1uv222，ux2y2，vx2y2,2xy，求zz,。 xy （3）只有一个中间变量 zf(u,x,y)，uu(x,y) 例4 zf(x,y,u)ex2y2u2，ux2cosy，求zz,。 xy （4）只有一个自变量（全导数，total derivative） zf(u,v)，uu(x),vv(x) （5）一个中间变量，一个自变量（（4）中vx） zf(u,v)，uu(x) 例5 zydz，xet,y1e2t，求。 xdt（二）一阶全微分形式的不变性 一元函数： 二元函数： zf(x,y)在(x,y)点可微 1）dzzzdxdy （x,y为自变量）（全微分公式） xyzzdxdy仍成立。 xy2）若x(s,t),y(s,t)，则dz 证：画出函数结构图，所以 zzxzy （1）ds sxsys对zzxzy应  （2）dt txtyt+） 注意：1）这里不变性是指形式不变。 2）多元函数全微分四则运算公式同一元情形形式上一样（见P207四条公式） 3）利用一阶全微分形式不变性来计算全微分与偏导数与按全微分定义求全微分的路线相反。 例6 uxuudu,,，求。 xyx2y2例7 zexsiny,xst,yst，求dz,练习： 习题七 27（1）；28(2) ; 31(1) zzzz,，,。 xyst二、隐函数微分法 （一）一元隐函数求导公式 方法一：两边对x求导，解出公式表述） 方法二：由 dy（不足：无法用一般dxFFFdydy0x xydxdxFy 例8 设exy3xy2，求dy。 dx （二）二元隐函数求导公式 例9 设lnxzzzz0，求,。 yxy例10 设cos2xcos2ycos2z1，求dz。 练习： 习题七 -- 35(1); 36(3) 小结 理论与实验课教案末页

1. 掌握全微分公式及应用； 2. 多元复合函数的求导法则； 小 结 3. 一阶全微分形式的不变性； 4. 隐函数求导法。 思 作业：习题七 15（1）；25(2,4)；26(1)；29(2)； 32(2)； 33考 （2）；34 题 及 作 业 题 预习：第七章 第七节 多元函数的极值 第八节 经验公式与最小二乘法 实 施 情 况 及 效 果 分 析

教员签名： 年 月 日