第4讲 离散型随机变量及其概率分布
分层训练A级 基础达标演练
(时间：30分钟 满分：60分)
一、填空题(每小题5分，共30分) 1．若随机变量X的概率分布列为
X P 1
且p1＝2p2，则p1等于________．
1
解析 由p1＋p2＝1且p2＝2p1可解得p1＝3. 1答案 3 2．设随机变量X的概率分布P(X＝k)＝
c
，k＝0、1、2、3，则c＝________. k＋1x1 p1 x2 p2 cccc
解析 由P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝1得：1＋2＋3＋4＝1， 12∴c＝25. 12答案 25 3．已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝________．
12321
解析 ∵2a＋2a＋2a＝1，∴a＝3，P(X＝2)＝＝.
2×331答案 3 4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成
1 / 7
i
(i＝1,2,3)，则P(X＝2)等于2a
功次数，则P(X＝0)的值为________． 解析 设X的概率分布为：
X P 0 p 1 2p 即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成1
功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝3. 1答案 3 5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于________．
解析 “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此
353939529102
P(X＝12)＝8C1188＝C1188.
答案
C91131052
88
26．随机变量X的概率分布为P(X＝k)＝a3k，k＝1,2，3，…，则a的值为
________．
22223
＋＋…＝1. 解析 由P(X＝k)＝1，即a3＋
33
∞
k＝1
∴a
2
3
1－3
1
＝1，解得a＝22. 1答案 2 二、解答题(每小题15分，共30分)
7．鲁川在鱼缸中养了3条白色、2条红色和n条黑色金鱼，现从中任取2条
2 / 7
金鱼进行观察，每取得1条白色金鱼得1分，每取得1条红色金鱼得2分，1
每取得1条黑色金鱼得0分，用X表示所得的分数，已知得0分的概率为6， (1)求鱼缸中黑色金鱼的条数n；(2)求X的概率分布．
2
Cn1
解 (1)因为P(X＝0)＝2＝6，所以n2－3n－4＝0，解得n＝4(n＝－1舍
Cn＋5
去)．即鱼缸中有4条黑色金鱼． (2)由题意，得X的可能取值为0,1,2,3,4.
21111C3＋C4·C2111C4C31
因为P(X＝0)＝，P(X＝1)＝2＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝2
6C93C936
C1C1C213·212
＝，P(X＝4)＝＝， C26C29936所以X的概率分布为
X P
8．某高派出足球、排球、篮球三个球队参加11市学校运动会，它们获得冠军的概率分别为2，
3，23.
(1)求该高中获得冠军个数X的分布列；
(2)若球队获得冠军，则给其所在学校加5分，否则加2分，求该高中得分η的分布列．
解 (1)∵X的可能取值为0,1,2,3，取相应值的概率分别为 1121
P(X＝0)＝1－2×1－3×1－3＝9，
1211211271
P(X＝1)＝2×1－3×1－3＋1－2×3×1－3＋1－2×1－3×3＝18，
211211271111
1－1－1－P(X＝2)＝2×3×3＋2×3×3＋2×3×3＝18，P(X＝3)＝2×321
×3＝9. ∴X的分布列为
3 / 7
0 16 1 13 2 1136 3 16 4 136 X P 0 19 1 718 2 718 3 19 (2)∵得分η＝5X＋2(3－X)＝6＋3X， ∵X的可能取值为0,1,2,3.∴η的可能取值为6,9,12,15，
17
取相应值的概率分别为P(η＝6)＝P(X＝0)＝9，P(η＝9)＝P(X＝1)＝18，P(η71
＝12)＝P(X＝2)＝18，P(η＝15)＝P(X＝3)＝9. ∴得分η的分布列为
η P 6 19 9 718 12 718 15 19 分层训练B级 创新能力提升
1．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X≤1)等于________．
12C4C24
解析 P(X≤1)＝1－P(X＝2)＝1－C3＝5.
6
4答案 5
2．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为________．
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．当X＝4时，
2
C1279C3
说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝3＝.
C12220
27
答案 220
3. 如图所示，A、B两点5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信息总量为X，则P(X≥8)
4 / 7
＝________.
解析 法一 由已知，X的取值为7,8,9,10，
1C2C1＋C2C23C22C21
∵P(X＝7)＝C3＝5，P(X＝8)＝＝10，
C355111
C1C212C2C122C1
P(X＝9)＝C3＝5，P(X＝10)＝C3＝10，
55
21
2
1
∴X的概率分布为
X P 7 15 8 310 9 25 10 110 ∴P(X≥8)＝P(X＝8)＋P(X＝9)＋P(X＝10) 3214＝10＋5＋10＝5.
21C2C24
法二 P(X≥8)＝1－P(X＝7)＝1－C3＝5.
5
4答案 5
4．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)．若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________． 解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了．
X＝0，甲没抢到题，或甲抢到2题，但答时一对一错． X＝1时，甲抢到1题且答对或甲抢到3题，且一错两对， X＝2时，甲抢到2题均答对． X＝3时，甲抢到3题均答对． 答案 －1,0,1,2,3
5．(2013·深圳调研)第26届世界大学生夏季运动会将于2011年8月12日到23日在深圳举行，
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为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12名男志愿者和18名女志愿者．将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)：
若身高在175 cm以上(包括175 cm)定义为“高个子”，身高在175 cm以下(不包括175 cm)定义为“非高个子”，且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”．
(1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中提取5人，再从这5人中选2人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？
(2)若从所有“高个子”中选3名志愿者，用ξ表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数，试写出ξ的分布列．
解 (1)根据茎叶图，有“高个子”12人，“非高个子”18人， 用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是1
∴选中的“高个子”有12×6＝2(人)， 1
“非高个子”有18×6＝3(人)．
用事件A表示“至少有一名‘高个子’被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名‘高个子’被选中”， C2373
则P(A)＝1－C2＝1－10＝10.
5
7
∴至少有一人是“高个子”的概率是10. (2)依题意，ξ的取值为0,1,2,3.
312C814C4C828
P(ξ＝0)＝C3＝55，P(ξ＝1)＝C3＝55，
121221C4C812C314
P(ξ＝2)＝3＝，P(ξ＝3)＝3＝.
C1255C1255
51
＝. 306
∴ξ的分布列如下：
ξ P 0 1455 1 2855 2 1255 3 155 6.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，
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否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的概率分布，并求李明在一年内领到驾照的概率． 解 X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了， 故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了， 故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了， 故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096. X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过， 故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024. ∴李明实际参加考试次数X的概率分布为
X P 1 0.6 2 0.28 3 0.096 4 0.024 李明在一年内领到驾照的概率为 1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.
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