2012年高考理科数学试题及答案-全国卷2

理 科 数 学

第Ⅰ卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1. 已知集合A={1, 2, 3, 4, 5}，B={(x,y)| x∈A, y∈A, x-y∈A}，则B中所含元素的个数为（ ）

A. 3

B. 6

C. 8

D. 10

2. 将2名教师，4名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（ ） A. 12种

B. 10种

C. 9种

D. 8种

3. 下面是关于复数z

P1: |z|=2， A. P2，P3

2的四个命题中，真命题为（ ） 1iP3: z的共轭复数为1+i，

P2: z2=2i，

P4: z的虚部为-1 .

B. P1，P2 C. P2，P4 D. P3，P4

x2y23a4. 设F1，F2是椭圆E: 221 (ab0)的左右焦点，P为直线x上的一点，

ab2则E的离心率为（ ） △F2PF1是底角为30º的等腰三角形，A.

1 2 B.

2 3 C.

3 4 D.

4 55. 已知{an}为等比数列，a4 + a7 = 2，a5 a6 = 8，则a1 + a10 =（ ）

A. 7

B. 5

C. -5

D. -7

6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a1， a2，…，aN，输入A、B，则（ ） A. A+B为a1， a2，…，aN的和

B.AB为a1， a2，…，aN的算术平均数

2C. A和B分别是a1， a2，…，aN中最大的数和最小的数 D. A和B分别是a1， a2，…，aN中最小的数和最大的数 7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A. 6

B. 9

C. 12

D. 18

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=43，则C的实轴长为（ ） A.2

B. 22

C. 4

D. 8

9. 已知0，函数f(x)sin(xA. [,]

1324110. 已知函数f(x)，则yf(x)的图像大致为（ ）

ln(x1)x

B. [,]

y 1 o 1 y 1 o 1 y 1 o 1 y 1 o 1 1524 )在(,)单调递减，则的取值范围是（ ）

421 C. (0,] D. (0,2]

2x x x x

A.

B.

C.

D.

11. 已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ） A.

26

B.

36

C.

23

D.

2 2 12. 设点P在曲线yA. 1ln2

1xe上，点Q在曲线yln(2x)上，则|PQ|的最小值为（ ） 2B.

2(1ln2)

C. 1ln2

D. 2(1ln2)

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）

13. 已知向量a，b夹角为45º，且|a|1，|2ab|10，则|b| .

xy1xy314. 设x，y满足约束条件，则zx2y的取值范围为 . x0y015. 某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 正常工作，则部件正常工作. 设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）服从正态分布N(1000，502)，且各元件能否正常工作互相，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为 .

元件1 元件2 元件3 16. 数列{an}满足an1(1)nan2n1，则{an}的前60项和为 . 三、解答题：（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. （本小题12分）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，

acosC3asinCbc0.

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=2，△ABC的面积为3，求b，c.

18. （本小题12分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理.

（Ⅰ）若花店某天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式；

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 频 数 10 20 16 16 15 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. 数学期望及方差；

（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

19. （本小题12分）如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，

A1 D

C A 219 13 20 10

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列、

C1 B1

ACBC

1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD. AA12（Ⅰ）证明：DC1⊥BC； （Ⅱ）求二面角A1-BD-C1的大小.

B

20. （本小题满分12分）设抛物线C:x2py(p0)的焦点为F，准线为l，A为C上的一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点.

（Ⅰ）若∠BFD=90º，△ABD面积为42，求p的值及圆F的方程；

（Ⅱ）若A、B、F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n的距离的比值.

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 21. （本小题12分）已知函数f(x)f(1)e

（Ⅰ）求f(x)的解析式及单调区间； （Ⅱ）若f(x)x11f(0)xx2.

212xaxb，求(a1)b的最大值. 2请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑. 22. （本小题10分）【选修4-1：几何证明选讲】

如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交于△ABC的外接圆于F，G两点，若CF // AB，证明： （Ⅰ）CD = BC； （Ⅱ）△BCD∽△GBD.

BCGDAEF23. （本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】

x2cos 已知曲线C1的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，x轴的

y3sin正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ = 2. 正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,3).

（Ⅰ）点A，B，C，D的直角坐标；

（Ⅱ）设P为C1上任意一点，求|PA|2 + |PB|2 + |PC|2 + |PD|2的取值范围.

24. （本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】

已知函数f (x) = |x + a| + |x-2|.

（Ⅰ）当a =-3时，求不等式f (x) ≥ 3的解集；

（Ⅱ）若f (x) ≤ | x-4 |的解集包含[1, 2]，求a的取值范围.

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）

理 科 数 学【参】

一、选择题： 1．【答案：D】

解析：要在1，2，3，4，5中选出两个，大的是x，小的是y，共C5210种选法. 2．【答案：A】

解析：只需选定安排到甲地的1名教师2名学生即可，共有C2C4种安排方案. 3．【答案：C】 解析：经计算z1221i,  |z|2，z2(1i)2=2i，复数z的共轭复数为1i1i，z的虚部为1，综上可知P2，P4正确.

4．【答案：C】

解析：由题意可得，△F2PF1是底角为30º的等腰三角形可得PF2F1F2，即

2(3ac3c)2c， 所以e. 2a45．【答案：D】

解析：∵a4a72，a5a6a4a78，a44，a72或a42，a74，

∵a1，a4，a7，a10成等比数列，a1a107.

6．【答案：C】

解析：由程序框图判断x>A得A应为a1，a2，…，aN中最大的数，由x解析：由三视图可知，此几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形（俯视图），高为3的三棱锥，故其体积为V323239. 8．【答案：C】

解析：抛物线的准线方程是x=4，所以点A(4,23)在x2y2a2上，将点A代入得

1132a24，所以实轴长为2a4.

9．【答案：A】 解析：由

1532k2k,kZ得，4k2k,kZ，

242244215∵0，∴.

2410．【答案：B】

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 解析：易知yln(x1)x0对x(1,0)号，故的值域是(-∞, 0). 所以其图像为B. 11．【答案：A】

(0,)恒成立，当且仅当x0时，取等

解析：易知点S到平面ABC的距离是点O到平面ABC的距离的2倍.显然O-ABC是棱长为1的正四面体，其高为12．【答案：B】 解析：因为y136226，故VOABC，VSABC2VOABC. 343126311xe与yln(2x)互为反函数，所以曲线yex与曲线yln(2x)关于

22直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值. 则

11y(ex)ex1，ex2，即xln2，故切点A的坐标为(ln2,1)，因此，

22|ln21|1ln2切点A点到直线y=x距离为d，所以|PQ|2d2(1ln2). 22二、填空题： 13．【答案：32】

解析：由已知得|2ab|2(2ab)24a24abb24|a|24|a||b|cos45|b|2

422|b||b|210，解得|b|32.

14．【答案：[3,3]】

解析：画出可行域，易知当直线Zx2y经过点(1,2)时，Z取最小值-3；当直线Zx2y经过点(3,0)时，Z取最大值3. 故Zx2y的取值范围为[3,3]. 15．【答案：

C O B A 3】

81解析：由已知可得，三个电子元件使用寿命超过1000小时的概率均为，所以该部件

2的使用寿命超过1000小时的概率为[1(1)2]16．【答案：1830】

1213. 28a2ka2k14k3①解析：由an1(1)an2n1得，由②①得,

a2k1a2k4k1②na2k1a2k12③ 由①得, S偶S奇(a2a1)(a4a3)(a6a5)159117(a60a59)

(1117)301770.由③得, S奇(a3a1)(a7a5)(a11a9) 2页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) (a59a57)21530，所以S60S偶S奇(S偶S奇)2S奇17702301830.

三、解答题：

17．解析：（Ⅰ）由acosC3asinCbc0及正弦定理可得sinAcosC3sinAsinC

sinBsinC0，sinAcosC3sinAsinCsin(AC)sinC0，3sinAsinCcosAsinC

sinC0，3sinAcosA10，2sin(A)10，

615，A，A. sin(A)，0A，A62666663sinC0，

（Ⅱ）

SABC13bc3，bc4，3，bcsinA24a2,A3，

a2b2c22bccosAb2c2bc4，b2c28，解得bc2.

18．解析：（Ⅰ）当n≥16时，y=16×(10-5)=80，当n≤15时，y=5n-5×(16-n)=10n-80，得

10n80,(n15)y(nN).

80, (n16)（Ⅱ）（ⅰ）X可能取60，70，80. P(X=60)=0.1，P(X=70)=0.2，P(X=80)=0.7， X的分布列为：

X P 60 0.1 70 0.2 80 0.7 X的数学期望E(X) =60×0.1+70×0.2+80×0.7=76， X的方差D(X) =(60-76)2×0.1+(70-76)2×0.2+(80-76)2×0.7=44. （ⅱ）若花店计划一天购进17枝玫瑰花，X的分布列为

X P 55 0.1 65 0.2 75 0.16 85 0.54 X的数学期望E(X) =55×0.1+65×0.2+75×0.16+85×0.54=76.4， 因为76.476，所以应购进17枝玫瑰花. 19．解析：（Ⅰ） 证明：设ACBC1AA1a，2直三棱柱ABCA1B1C1，

DC1DC2a， CC12a，DC12DC2CC12，DC1DC. 又

C1 DC1BD，DC1DCD，DC1平面BDC. B1

BC平面BDC，DC1BC.

（Ⅱ）由 (Ⅰ)知，DC12a，BC15a，又已知

A1 D

C A B

DC1BD，BD3a. 在Rt△ABD中，BD3a，ADa,DAB90，AB2a. AC2BC2AB2，

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) ACBC.

法一：取A1B1的中点E，则易证C1E平面BDA1，连结DE，则C1EBD，已知

DC1BD，BD平面DC1E，BDDE，C1DE是二面角A1BDC1平面角. 在Rt△C1DE中，sinC1DE二面角A1BDC1的大小为30.

法二：以点C为坐标原点，为x轴，CB为y轴,CC1为z轴,建立空间直角坐标系

C1E2a21，C1DE30. 即C1D22aCxyz.则A1a,0,2a,B0,a,0,Da,0,a,C10,0,2a. DBa,a,a，

DC1a,0,a,设平面DBC1的法向量为n1(x1,y1,z1)，则

nDBax1ay1az10，不妨令x11，得y12,z11，故可取n1(1,2,1).nDC1ax1az10同理,可求得平面DBA1的一个法向量n2(1,1,0). 设n1与n2的夹角为，则

cosn1n233, 30. 由图可知，二面角的大小为锐角，故|n1||n2|262二面角A1BDC1的大小为30.

20．解析：（Ⅰ） 由对称性可知，△BFD为等腰直角三角形，斜边上的高为p，斜边长

BD2p. 点A到准线l的距离dFBFD2p. 由S△ABD42得，

11BDd2p2p42， p2. 圆F的方程为x2(y1)28. 22（Ⅱ） 由对称性，不妨设点A(xA,yA)在第一象限，由已知得线段AB是圆F的在直ADB90，径，yABD2p，

直线m的斜率为kAF2o32代入抛物线C:x2py得xA3p.p，23pp30. 由.直线m的方程为x3y233p3xx3x2p.故直线n与抛物线Cx2py 得y,y. 由y得, x3pp32p的切点坐标为(3p3pp0. 所以坐标原点到m，,)，直线n的方程为x3y636n的距离的比值为3p3p：3. 412页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 21．解析：（Ⅰ） f(x)f(1)ex1f(0)x，令x=1得，f (x)=1，再由f(x)f(1)ex1f(0)xx2，令x0得f(1)e. 所以f(x)的解析式为f(x)exx12x12x∴f(x)e1x，x，2易知f(x)e1x是R上的增函数，且f(0)0.所以f(x)0x0，

f(x)0x0，所以函数f(x)的增区间为(0,)，减区间为(,0).

（Ⅱ） 若f(x)恒成立，

121即h(x)f(x)x2axbex(a1)xb0 xaxb恒成立，

22h(x)ex(a1).

(1)当a10时，h(x)0恒成立，h(x)为R上的增函数，且当x时，

h(x)，不合题意；

(2)当a10时，h(x)0恒成立，则b0，(a1)b0；

(3)当a10时，h(x)e(a1)为增函数，由h(x)0得xln(a1)，故

xf(x)0xln(a1)，f(x)0xln(a1)，当xln(a1)时，h(x)取最小值

h(ln(a1))a1(a1)ln(a1)b. 依题意有h(ln(a1))a1(a1)ln(a1)b0，

即ba1(a1)ln(a1)，

a10，(a1)b(a1)2(a1)2ln(a1)，令

u(x)x2x2lnx (x0)，则u(x)2x2xlnxxx(12lnx)，u(x)00xe,u(x)0

xe，所以当xe时，u(x)取最大值u(e)ee. 故当a1e,b时，22e12e(a1)b取最大值. 综上，若f(x)xaxb，则 (a1)b的最大值为.

22222．解析：（Ⅰ） ∵D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，∴DE//BC. ∵CF//AB，DF//BC，∴CF//BD且CF=BD，∵又D为AB的中点，∴CF//AD且CF=AD，∴CD=AF. ∵CF//AB，∴BC=AF，∴CD=BC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BC//GF，∴GB=CF=BD，∠BGD=∠BDG=∠DBC=∠BDC，∴△BCD∽△GBD.

23．解析：（Ⅰ）依题意，点A，B，C，D的极坐标分别为(2,),(2,BCGEDFA35411),(2,),(2,). 636所以点A，B，C，D的直角坐标分别为(1,3)、(3,1)、(1,3)、(3,1). （Ⅱ） 设P2cos,3sin，则|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2(12cos)2(33sin)2

(32cos)2(13sin)2(12cos)2(33sin)2(32cos)2(13sin)2

16cos236sin2163220sin232,52.

所以|PA|2|PB|2|PC|2|PD|2的取值范围为32,52.

页脚内容 2012年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 24．解析：（Ⅰ） 当a3时，不等式f(x)3|x3||x2|3x2x3x232x3x3或或或x4. 所以当a3时，不等

x3x23x3x23式f(x)3的解集为xx1或x4.

（Ⅱ）f(x)|x4|的解集包含[1,2]，即|xa||x2||x4|对x1,2恒成立，即|xa|2对x1,2恒成立，即2ax2a对x1,2恒成立，所以

2a1，即3a0. 故a的取值范围为3,0. 2a2

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