专题六均值不等式、柯西不等式＿、攻关方略均值不等式、柯西不等式及其推论｀排序不等式介绍如下:1.均值不等式:设αl’α2’…,α″是″个正实数,记Q＂＝√α｛＋α;＋…＋α:,A＂＝〃α!＋α2＋…＋α蔽′’G″＝《／∏lα2…α″,H＂＝、~.冈″’G〃＝〈／tM2…α＂’H〃＝上＋上＋…上’则Q翻≥A.≥G腮≥H＂’其中等号成、γ1.’则Q＂≥α1α2α『『立的条件是α｜＝α2＝…＝α″.Q″’A″’G＂,H″分别称为平方平均、算术平均、几何平均、调和平均.2.柯西不等式:设αl’α2’…’α″;bl’b2’…’b″是2〃个实数,则有（α｛＋αi＋…＋α鼎）（b｛＋b;＋…＋b:）≥（αlbl＋α2b2＋…＋α″b″）2’其中等号成立的条件是α‘＝M前（′＝1,2’…’″）’∧是一个常数.3.柯西不等式的向量形式:设α’β是两个向量,则｜面.F≤｜页｜.｜Ⅱ｜’当且仅当百＝6或存在实数卢’使而＝硒时取等号.4.三角不等式:由｜质｜＋｜F｜≥｜可＋F｜可知;设α!’α2’b］’b2均为实数,则√α｛＋α;＋√b;＋b;≥′）〗｜√（＼〗十』′等式成立白存在非负实数〃及入使得〃αl＝Ml,／Lα2＝M25.柯西不等式的几个推论;（1）当b‖＝b2＝…＝b″＝1时’柯西不等式即为〃（α;＋α;＋…＋α:）≥（αl＋α2＋…＋〗若巨~＼~＋／］〗刀）贝｜／α｛＋α;＋…＋α:√—″≥αl＋α2＋…＋α＂’即为上述Q』≥A′』.〃（2）当‘』-去（′-l.2｀…时,有（幽;＋侧:＋…凰微）（六＋六＋…＋六）≥诚（』）警侧』,6』eM』-］｀2…,＂）则（贵＋贵十喘）（″!＋偷』十…十″.）≥（炳＋√页了＋…＋√瓦厂）2.6.排序不等式:若两组实数αl≤α2≤…≤α″’且bl≤b2≤…≤b＂’则对于bl’b2’…’b″的任意排列hl’b『2,…’bi＂’有αlb＂＋α2b＂—］＋…＋α厕6l≤αlb旷l＋α2bi2＋…＋α厕b前”≤αlbl＋α2b2＋…＋α”b″.排序原理可简作:反序和≤乱序和≤顺序和.下面举例讲解均值不等式、柯西不等式的应用.36专题六均值不等式、柯西二＼例题展示g删m证明柯西不等式.解题策略:柯西不等式的证明方法很多’典型且易懂的证法有下面三种.证明;证法—;设″维向量质＝（α」’α2’…’α″）,β＝（b｜’b2’…’b＂）’有CoS〈i’F〉＝』.牟.β壹』,由｜c。s〈I.F）≤l,即得｜质.Ⅱ｜≤i｜.｜百,而j.F-α｜b」｜α』b』＋唾＋α｀汕Ⅷ’｜i｜.｜百「.｜i｜.｜∏｜＝√（α｛＋α;＋…＋α,』）2√（b;＋b;＋…＋6鼎）.平方得（α｜bl＋α2b2＋…＋α″b″）2≤（α『＋α;ˉ｝ˉ…＋α刊）（6｛＋b;＋…＋b;）.等号成立的条件是i,Ⅱ共线’即α′＝M′（入eR）.证法二:由拉格朗日恒等式’即配方如下:（∑α;）。（∑b!）I＝1j＝l（∑α』b′）:＝∑（α』b′—αjb』）2≥0,移项即得.i＝1］≤j＜／≤′′证法三:构造二次函数／（工）＝（αl工＋bl）2＋（α2工＋b2）2＋…＋（α＂工＋b″〉2＝（α;＋α!＋…＋α:）工2＋2（αlbl＋α2b2＋…＋α″b＂）工＋（b｝＋b§＋…b:）.其中α』（j＝1’2’…’″）不全为零.因为α｛＋α;＋…＋α;＞0’又因为／（r）≥0恒成立’所以△＝4（αl6l＋α2b2＋…＋α〃b″）2—4（α｛＋α;＋…＋α:）（b;＋b;＋…＋陇）≤0’即（α!6l＋α2b2＋…＋α＂b＂）2≤（α｛＋αi＋…＋α:）（b｛＋b;＋…＋b刊）.当且仅当α汪＋6′工＝0（i＝1’2’…,″）’即丽＝瓦＝…＝丝时等号成立.6网若αl＝α2＝…＝α″＝0’则柯西不等式（α｛＋α;＋…＋α:）（b｛＋α;＋…＋α乳）≥（αlb］＋α2b2＋…＋α″b″）2显然成立.α1α2翻酗设实数工’〕’舅满足r＋2y＋3之＝6’求工2＋）′2＋Z2的最小值.解题策略:运用柯西不等式解题的关键是构造符合柯西不等式的形式.解:由柯西不等式得:（｜』＋2』＋3』）（甄』＋yⅨ＋霍』》≥（涎＋2测—:露）;-挪.所以堑,＋测′＋雹』≥竿酮醚已知正数α.b.‘满足α＋b十C＝l.证明;α』＋b,＋〔:≥α』＋《:＋c;3证明:利用柯西不等式,得:（α2＋b2＋C2）2＝（α÷α;＋b;6÷＋C;b＋）2≤［（α;）2＋（6;）2＋（C;）2］（α＋b＋（.）.＝（α3＋b3＋C3）（α＋b＋〔.）（因为α＋b＋C＝1）.又因为α2＋62＋C2≥αb＋bC＋Cα’在此不等式两边同乘以2’再加上α2＋b2＋C2得:（α＋6＋C）2≤3（α2＋b2＋c2）,因为（α2＋b2＋C2）2≤（α3＋b3＋C3）。3（α2＋b2＋C2）’37挑战9S5:零正兴高中数学串讲故（α:＋63＋C3）≥α2＋b2＋C23啊Ⅱ］已知α1’α2’…’α′′〔R＋,求证:红＋丝＋…＋α册—1＋塑≥α1＋α2＋ˉ…＋α″.α2α3α′lα］解题策赂:本题可以运用基本不等式进行证明’也可以运用柯西不等式222证明:证法—:因为红＋α2≥2αl.丝＋α3≥2α2’…,α＂—］＋α″≥2α＂ˉˉl,红＋αl△α′』·α2α3α川αl2222上述不等式相加’即得红＋尘＋…＋α″—!＋红≥“!ˉ｜ˉα2＋…＋α,′.α2α3α门αl证法二:由柯西不等式,得:（:＋胳＋…＋醚i亏｛＋贾）…2＋…＋幽.）≥（“｜＋侧』＋～）,,因为‘!1＋α2＋…＋α＂＞0’所以红＋丝＋…＋α:ˉ］＋丝≥α1＋α2＋…＋α＂.α2α3αγ【α］蛔设α1,α2,…’α′｜是1’2’…’″的任意—个排列,证明;α!＋α2｜（′2＋α刷｜｜α″ˉ!＋α′』＞万干I.1-卜1斗-…＋1刀—1证明:由柯西不等式得:［（哩!＋蜒』）＋（幽』＋凰』）＋…＋（嫂….）］（六｜“』｜感』｜＋…＋鳞—』‖—醛」≥（γ【—1）2』‖α］-厂α2＋十α2-『ˉα3↓—…＋…—门ˉ侧.≥2（“』＋醚.↓叫）—侧Ⅱ—侧｛』″（″｜l）＿α』—αⅧ≥″（″〔pⅡui—2（″—1）2（″—1）2＞（″—1）2″—1（″1）（γ】＋2）—1一（门＿1）（门＋2）′〗＋2酮硒有小于1的″（″≥2）个正数工］’工2’工3’…’工＂’且工］＋工2＋工3＋…十r″＝1.求证:1-卜1＋1＋…-卜l·＞4.I.］.r］°r2—｀r2·r3—工3又·了】—工′l解题策略:每一个.r『均为（0’1）内的正数’由工l＋工2＋Z3＋…＋工＂＝l’可〗,可ˉ联想到基本不等式工1＋工2＋工3＋…＋拓＂≥″振］工2工3…工″’从而需妥对原式中每一项进行,从『而需妥对ˉ原式中每一项进行放缩,得到工1工2◇·。工′′乘积的形式;也可构造出柯西不等式的形式’利用柯西不等式进行证明证明:证法—:因为0＜沁＜1’所以q＞—（j＝1,2,3,…,″）·工j—工7l工M1所以″』～Ⅻ1＂＋＿1″』→‘?＋“,墅』l?＋…＋″Ⅷ＿峨〔＞去＋去＋去＋…＋去蔓1′l）÷1l工2｀r3···工′『38专题六均值不等式、柯西不等式又因为振』…唾.≤…ˉ」／｜》′＋…／｜野.-＋｀所以）…》’…＝∩所以ˉ1『＋—13＋｀rl—工l工2—x2旷3二≥〃l3＋…＋色r3］｀r′l‘r′『3＞′l2≥22＝4.所以。r］—ˉX、丫1丁＋工2—｀Tjl了＋｀r3—～rjlⅧ＋…＋、r′』—x栅?ˉ＞4.证法二:由柯西不等式可得:1［（rⅡ虐r｛）＋（曰Ⅻ＂＿矿;〕—侣…＋（r,—域）］（l‘＋］;＋1』＋…＋l‘｜≥″:＼～r｜＿。Tl.Ⅺ2—又。2x3—工3工″—占r″／又因为0＜.Ⅺ′＜1（j＝1’2’…’′!）’所以工t＞〗.!,所以（工｜—叁r｛）＋（T2—工;）＋…＋（工＂工刊）＝1＿（工｛＋工;＋…＋工刊）e（0’1）’所以工1—工113＋.r2—r213＋0工3—工31了＋…＋1占r门—工′‖13＞″2.又因为′!≥2’所以工l—工l13＋r2例贮｝工23＋1工3—I.3:＋…＋阶工’‖1工′』3＞4.司』—α‖儿—口″已知α’6’C为正数’且α≥6≥c.求证α彼司＿″＿″」（6｀,（、解题策略:应用排序不等式（反序和≤乱序和≤顺序和）解题’首先妥把两个数的大小关系明确出来’分清顺序和｀乱序和及反序和’由于乱序和是不确定的’根据需妥写出其中的一个即可.证聊;｜荆为‘′≥″≥《＞侧｀所以《』…≥″〕≥’.÷≥十≥÷＞（1αCbα,bC〔二α所以上≥上上≥上.所以片≥击≥六所以赤≥志≥六所以巾顺亨和≥乱序枷得;声十盂;-力≥砰＋志—蒜-苦＋景＋紫@义酗侧』≥萨≥』.÷≥》≥入所以州乱序＂≥反序＂;兽＋÷＋箭幸＋景＋僻≡＋＋÷＋十-÷＋÷十＋@巾oo厕式知;蒜＋丽＋蒜≥÷＋÷卜占5b55b55b5新题精选L∩）设鞭｀」′eR则卜』十÷）（去＋』型）的最｜值为（2）已知α’b,CeR’α＋2b＋3C＝6,则α2＋4b2＋9（.2的最小值为（3）设工’）′,露eR,且满足:工2＋y2＋霓2＝1,兰r＋2J＋3惠＝√T工,则r＋V＋Z＝39挑战9S5:零正兴高中数学串讲2.已知函数／（r）＝′′′—｜r（1）求″2的值;2｜’′＂〔R’且.／（r＋2）≥（）的解集为［—1’1］（2）昔“.b,‘eR丰,日÷＋六＋六-狮.求证;蜒＋2b＋:‘≥93.（1）若3r＋4）′＝2,试求工2＋）′2的最小值及最小值点;（2）已知实数α’6’c’〃满足α＋b＋C＋α＝3’且α2＋2b2＋3C2＋6‘／2＝5’试求α的最值.4.已知正实数工,γ,Z满足工＋y＋尾＝工y乏’且不等式—些＋／＋—上≤∧恒成立’求工＋yγ＋之之＋工入的取值范围15.（1）设P是△ABC内的—点’r’y’露是P到三边α,b’c的距离’R是△ABC外接圆的半径｀证明;√了＋〃＋拒≤忘娠』＋″』十鹰赵（2）求使直线工cos0＋ysln0＝2和椭圆r2＋3y2＝6有公共边的0的取值范围（0≤0≤冗）.40专题六均值不等式、柯西不等式6.设函数／（工）＝｜工—4｜＋｜工—3｜.（］）求／（工）的最小值加;（2）在（1）的条件下’当α＋2b＋3〔-加（α’6’（.eR）时’求α2＋b2＋C2的最小值7设翅.b.C巨R＋,求证;α＋b＋c≤α』≠b:＋b≠』—′』共αb2（2α2bCCααb≡一….″′
