2015年四川省遂宁市中考数学试题及解析

2015年四川省遂宁市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1．（4分）（2015•遂宁）计算：1﹣（﹣）=（ ） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 2．（4分）（2015•遂宁）下列运算正确的是（ ） 32522233 A．B． 2（a﹣b）=2a﹣b C． D． （a）=a a﹣2a=﹣a a•a=a 3．（4分）（2015•遂宁）用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）

A． B． 4．（4分）（2015•遂宁）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（ ） A．B． C． D． 5．（4分）（2015•遂宁）直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（ ） A．（4，0） B． （0，4） C． （﹣4，0） D． （0，﹣4） 6．（4分）（2015•遂宁）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（ ） 2 3 4 5 A．B． C． D． 7．（4分）（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）

C． D．

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3cm 4cm 5cm 6cm A．B． C． D． 8．（4分）（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）

1cm 2cm 3cm 4cm A．B． C． D． 9．（4分）（2015•遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（ ） A．B． ﹣=20 ﹣=20 C． 10．（4分）（2015•遂宁）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b

2

＞0；②abc＜0；③b﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

2

﹣=20 D． +=20 2 3 4 5 A．B． C． D．

二、填空题（共本大题5小题，每小题4分，满分20分） 11．（4分）（2015•遂宁）把96000用科学记数法表示为 ． 12．（4分）（2015•遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n= ． 13．（4分）（2015•遂宁）某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是 ． 14．（4分）（2015•遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为 cm． 15．（4分）（2015•遂宁）下列命题： ①对角线互相垂直的四边形是菱形；

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②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3；

③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；

2

④定义新运算：a*b=2a﹣b，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9；

2

⑤抛物线y=﹣2x+4x+3的顶点坐标是（1，1）． 其中是真命题的有 （只填序号）

三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分）

30

16．（7分）（2015•遂宁）计算：﹣1﹣+6sin60°+（π﹣3.14）+|﹣

17．（7分）（2015•遂宁）解不等式组

|

，并将解集在数轴上表示出来．

18．（7分）（2015•遂宁）先化简，再求值：

÷

﹣

，其中m=﹣3．

四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分） 19．（9分）（2015•遂宁）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证： （1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

20．（9分）（2015•遂宁）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

21．（9分）（2015•遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）．

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令++=t，则

原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t =t+﹣t﹣t﹣t+t = 问题： （1）计算

（1﹣﹣﹣﹣…﹣﹣

）×（+++…+

2

2

2

2

）×（++++…+

）；

+）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣

（2）解方程（x+5x+1）（x+5x+7）=7．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22．（10分）（2015•遂宁）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如图所示，某人随机选取了5月1日至14日的某一天到达该市．

（1）请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数； （2）求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大？（直接判断，不要求计算）

23．（10分）（2015•遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；

（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

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六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，满分22分） 24．（10分）（2015•遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

2

（2）求证：AD=AM•AB； （3）若AM=

，sin∠ABD=，求线段BN的长．

25．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

2

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2015年四川省遂宁市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）

1．（4分）（2015•遂宁）计算：1﹣（﹣）=（ ） A． B． ﹣ C． D． ﹣ 考点：有 理数的减法． 分析：根 据有理数的减法法则，即可解答． 解答： 解：1﹣（﹣）=1+=． 故选：C． 点评：本 题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法法则． 2．（4分）（2015•遂宁）下列运算正确的是（ ） 32522233 A．B． 2（a﹣b）=2a﹣b C． D． （a）=a a﹣2a=﹣a a•a=a 考点：幂 的乘方与积的乘方；合并同类项；去括号与添括号；同底数幂的乘法． 分析：根 据同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项进行计算． 解答： ：A、a•a3=a4，错误； 解B、2（a﹣b）=2a﹣2b，错误； 326C、（a）=a，错误； 222D、a﹣2a=﹣a，正确； 故选D 点评：此 题考查同底数幂的乘法、幂的乘方和同类项，关键是根据法则进行计算． 3．（4分）（2015•遂宁）用3个完全相同的小正方体组成如图所示的几何体，则它的俯视图是（ ）

A． B． C． D． 考点：简 单组合体的三视图． 分析：根 据俯视图是从上边看的到的视图，可得答案． 第6页（共22页）

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解答：解 ：从上边看左边一个小正方形，右边一个小正方形，故B符合题意； 故选：B． 点评：本 题考查了简单组合体的三视图，从上边看的到的视图是俯视图． 4．（4分）（2015•遂宁）一个不透明的布袋中，放有3个白球，5个红球，它们除颜色外完全相同，从中随机摸取1个，摸到红球的概率是（ ） A．B． C． D． 考点：概 率公式． 分析：根 据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率． 解答：解 ：根据题意可得：一个不透明的袋中装有除颜色外其余均相同的3个白球和5个红球， 从中随机摸出一个，则摸到红球的概率是=． 故选A． 点评：本 题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 5．（4分）（2015•遂宁）直线y=2x﹣4与y轴的交点坐标是（ ） A．（4，0） B． （0，4） C． （﹣4，0） D． （0，﹣4） 考点：一 次函数图象上点的坐标特征． 分析：令 x=0，求出y的值，即可求出与y轴的交点坐标． 解答：解 ：当x=0时，y=﹣4， 则函数与y轴的交点为（0，﹣4）． 故选D． 点评：本 题考查了一次函数图象上点的坐标特征，要知道，y轴上的点的横坐标为0． 6．（4分）（2015•遂宁）在正方形、矩形、菱形、平行四边形、等腰梯形中，其中中心对称图形的个数是（ ） 2 3 4 5 A．B． C． D． 考点：中 心对称图形． 分析：根 据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形进行分析． 解答：解 ：正方形、矩形、菱形、平行四边形是中心对称图形，共4个， 故选：C． 点评：此 题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 第7页（共22页）

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7．（4分）（2015•遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=（ ）

3cm 4cm 5cm 6cm A．B． C． D． 考点：垂 径定理；勾股定理． 分析：连 接OA，先利用垂径定理得出AC的长，再由勾股定理得出OC的长即可解答． 解答：解 ：连接OA， ∵AB=6cm，OC⊥AB于点C， ∴AC=AB=×6=3cm， ∵⊙O的半径为5cm， ∴OC=故选B． ==4cm， 点评：本 题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理的应用是解题的关键． 8．（4分）（2015•遂宁）如图，在△ABC中，AC=4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是7cm，则BC的长为（ ）

1cm 2cm 3cm 4cm A．B． C． D． 考点：线 段垂直平分线的性质． 分析：首 先根据MN是线段AB的垂直平分线，可得AN=BN，然后根据△BCN的周长是7cm，以及AN+NC=AC，求出BC的长为多少即可． 解答：解 ：∵MN是线段AB的垂直平分线， ∴AN=BN， ∵△BCN的周长是7cm， ∴BN+NC+BC=7（cm）， ∴AN+NC+BC=7（cm）， 第8页（共22页）

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∵AN+NC=AC， ∴AC+BC=7（cm）， 又∵AC=4cm， ∴BC=7﹣4=3（cm）． 故选：C． 点评：此 题主要考查了线段垂直平分线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①垂直平分线垂直且平分其所在线段．②垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．③三角形三条边的垂直平分线相交于一点，该点叫外心，并且这一点到三个顶点的距离相等． 9．（4分）（2015•遂宁）遂宁市某生态示范园，计划种植一批核桃，原计划总产量达36万千克，为了满足市场需求，现决定改良核桃品种，改良后平均每亩产量是原计划的1.5倍，总产量比原计划增加了9万千克，种植亩数减少了20亩，则原计划和改良后平均每亩产量各多少万千克？设原计划每亩平均产量x万千克，则改良后平均每亩产量为1.5x万千克，根据题意列方程为（ ） A．B． ﹣=20 ﹣=20 C．﹣=20 D． +=20 考点：由 实际问题抽象出分式方程． 分析：根 据题意可得等量关系：原计划种植的亩数﹣改良后种植的亩数=20亩，根据等量关系列出方程即可． 解答：解 ：设原计划每亩平均产量x万千克，由题意得： ﹣=20， 故选：A． 点评：此 题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10．（4分）（2015•遂宁）二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①2a+b

2

＞0；②abc＜0；③b﹣4ac＞0；④a+b+c＜0；⑤4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数是（ ）

2

2 3 4 5 A．B． C． D． 考点：二 次函数图象与系数的关系． 分析： 由抛物线开口向下得到a＜0，由对称轴在x=1的右侧得到﹣＞1，于是利用不等式的性质得到2a+b＞0；由a＜0，对称轴在y轴的右侧，a与b异号，得到b＞0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方得到c＜0，于是abc＞0；抛物线与x轴有两个交点，第9页（共22页）

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所以△=b﹣4ac＞0；由x=1时，y＞0，可得a+b+c＞0；由x=﹣2时，y＜0，可得4a﹣2b+c＜0． 解答：解 ：①∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x=﹣＞1， 2∴2a+b＞0，故①正确； ②∵a＜0，﹣＞0， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故②错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， 2∴△=b﹣4ac＞0，故③正确； ④∵x=1时，y＞0， ∴a+b+c＞0，故④错误； ⑤∵x=﹣2时，y＜0， ∴4a﹣2b+c＜0，故⑤正确． 故选B． 2点评： 题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax+bx+c（a≠0）的图象，本当a＞0，开口向上，a＜0，开口向下；对称轴为直线x=﹣，a与b同号，对称轴在y轴的左侧，a与b异号，对称轴在y轴的右侧；当c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴的下方；当△=b﹣4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点． 二、填空题（共本大题5小题，每小题4分，满分20分）

4

11．（4分）（2015•遂宁）把96000用科学记数法表示为 9.6×10 ． 考点：科 学记数法—表示较大的数． 分析： 学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，科要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 解答： ：把96000用科学记数法表示为9.6×104． 解4故答案为：9.6×10． n点评： 题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|此＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12．（4分）（2015•遂宁）一个n边形的内角和为1080°，则n= 8 ． 考点：多 边形内角与外角． 分析：直 接根据内角和公式（n﹣2）•180°计算即可求解． 解答：解 ：（n﹣2）•180°=1080°， 解得n=8． 2第10页（共22页）

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点评：主 要考查了多边形的内角和公式．多边形内角和公式：（n﹣2）•180°． 13．（4分）（2015•遂宁）某射击运动员在一次射击训练中，共射击了6次，所得成绩（单位：环）为：6、8、7、7、8、9，这组数据的中位数是 7.5 ． 考点：中 位数． 分析：根 据中位数的概念求解． 解答：解 ：这组数据按照从小到大的顺序排列为：6、7、7、8、8、9， 则中位数为：=7.5． 故答案为：7.5． 点评：本 题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 14．（4分）（2015•遂宁）在半径为5cm的⊙O中，45°的圆心角所对的弧长为 考点：弧 长的计算． 分析： 根据弧长公式L=π cm．

进行求解． 解答： 解：L==π． 故答案为：π． 点评： 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式L=． 15．（4分）（2015•遂宁）下列命题： ①对角线互相垂直的四边形是菱形；

②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3；

③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0；

2

④定义新运算：a*b=2a﹣b，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9；

2

⑤抛物线y=﹣2x+4x+3的顶点坐标是（1，1）． 其中是真命题的有 ②③④ （只填序号） 考点：命 题与定理． 分析：根 据菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的性质和抛物线的性质判断即可． 解答：解 ：①对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，错误； ②点G是△ABC的重心，若中线AD=6，则AG=3，正确； ③若直线y=kx+b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，正确； 2④定义新运算：a*b=2a﹣b，若（2x）*（x﹣3）=0，则x=1或9，正确； 第11页（共22页）

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⑤抛物线y=﹣2x+4x+3的顶点坐标是（1，5），错误； 故答案为：②③④． 点评：本 题考查命题的真假性，是易错题．注意对菱形的判定，三角形的重心以及一次函数的性质和抛物线的性质的准确掌握． 三、解答题（本大题共3小题，每小题7分，满分21分）

16．（7分）（2015•遂宁）计算：﹣1﹣+6sin60°+（π﹣3.14）+|﹣| 考点：实 数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 专题：计 算题． 分析：原 式第一项利用乘方的意义化简，第二项化为最简二次根式，第三项利用特殊角的三角函数值计算，第四项利用零指数幂法则计算，最后一项利用绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果． 解答： 解：原式=﹣1﹣3+6×+1+=． 230

点评：此 题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．（7分）（2015•遂宁）解不等式组

，并将解集在数轴上表示出来．

考点：解 一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集． 分析：分 别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 解答： 解：， 由①得，x＞﹣3， 由②得，x≤2， 故此不等式组的解集为：﹣3＜x≤2． 在数轴上表示为： 点评：本 题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”的原则是解答此题的关键． 18．（7分）（2015•遂宁）先化简，再求值： 考点：分 式的化简求值． 专题：计 算题． ÷﹣，其中m=﹣3．

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分析：原 式第一项利用除法法则变形，约分后利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值． 解答： 解：原式=•﹣=﹣=， 当m=﹣3时，原式=﹣1． 点评：此 题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，满分27分） 19．（9分）（2015•遂宁）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证： （1）AE=CF；

（2）四边形AECF是平行四边形．

考点：平 行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 专题：证 明题． 分析：（ 1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF． （2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形． 解答：证 明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD． ∴∠ABE=∠CDF． 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△DCF（SAS）． ∴AE=CF． （2）∵△ABE≌△DCF， ∴∠AEB=∠CFD， ∴∠AEF=∠CFE， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 点评：此 题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 20．（9分）（2015•遂宁）一数学兴趣小组为了测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得A的仰角为30°，求树高．（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732）

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考点：解 直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：先 设AB=x米，根据题意分析图形：本题涉及到两个直角三角形Rt△ACB和Rt△ADB，应利用其公共边BA构造等量关系，解三角形可求得CB、DB的数值，再根据CD=BD﹣BC=10，进而可求出答案． 解答：解 ：∵设AB=x米， 在Rt△ACB和Rt△ADB中， ∵∠D=30°，∠ACB=45°，CD=10， ∴CB=x，AD=2x，BD==x， ∵CD=BD﹣BC=10， x﹣x=10， ∴x=5（+1）≈13.7． 答：该树高是13.7米． 点评：本 题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 21．（9分）（2015•遂宁）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题． 计算：（1﹣﹣﹣）×（+++）﹣（1﹣﹣﹣﹣）×（++）． 令++=t，则

原式=（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t =t+﹣t﹣t﹣t+t = 问题： （1）计算

（1﹣﹣﹣﹣…﹣﹣

）×（+++…+

2

2

2

2

）×（++++…+

）；

+）﹣（1﹣﹣﹣﹣﹣…﹣

（2）解方程（x+5x+1）（x+5x+7）=7．

考点：换 元法解一元二次方程；有理数的混合运算． 专题：换 元法． 第14页（共22页）

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分析： （1）设++…+=t，则原式=（1﹣t）×（t+）﹣（1﹣t﹣）×t，进行计算即可； 2（2）设x+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出t的值，再解一元二次方程即可． 解答： 解：（1）设++…+=t， 则原式=（1﹣t）×（t+=t+=0； （2）设x+5x+1=t， 则原方程化为：t（t+6）=7， 2t+6t﹣7=0， 解得：t=﹣7或1， 2当t=1时，x+5x+1=1， 2x+5x=0， x（x+5）=0， x=0，x+5=0， x1=0，x2=﹣5； 2当t=﹣7时，x+5x+1=﹣7， 2x+5x+8=0， 22b﹣4ac=5﹣4×1×8＜0， 此时方程无解； 即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5． 点评：本 题考查了有理数的混合运算和解高次方程的应用，能正确换元是解此题的关键，题目比较典型． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 22．（10分）（2015•遂宁）交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念．其指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，从某市交通指挥中心选取了5月1日至14日的交通状况，依据交通指数数据绘制的折线统计图如图所示，某人随机选取了5月1日至14日的某一天到达该市．

（1）请结合折线图分别找出交通为畅通和严重拥堵的天数； （2）求此人到达当天的交通为严重拥堵的概率；

（3）由图判断从哪天开始连续三天的交通指数方差最大？（直接判断，不要求计算）

2）﹣（1﹣t﹣2）×t ﹣t﹣2t﹣t+t+t 第15页（共22页）

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考点：折 线统计图；方差；概率公式． 分析：（ 1）根据指数在100以内为畅通，200以上为严重拥堵，图象的纵坐标，可得答案； （2）根据严重拥堵的天数除以调查的天数，可得答案； （3）根据方差的性质，可得答案． 解答：解 ：（1）由纵坐标看出畅通的天数为7天，严重拥堵的天数为2天； （2）此人到达当天的交通为严重拥堵的概率p==； （3）由方差越大，数据波动越大，得 5、6、7三天数据波动大． 点评：本 题考查了折线统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，如粮食产量，折线统计图表示的是事物的变化情况，如增长率，注意方差越小，波动越小，越稳定． 23．（10分）（2015•遂宁）如图，一次函数y=kx+b与反比例函数y=的图象交于A（1，4），B（4，n）两点．

（1）求反比例函数的解析式； （2）求一次函数的解析式；

（3）点P是x轴上的一动点，试确定点P并求出它的坐标，使PA+PB最小．

考点：反 比例函数与一次函数的交点问题；轴对称-最短路线问题． 分析： （1）把A（1，4）代入y=即可求出结果； （2）先把B（4，n）代入y=得到B（4，1），把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b求得一次函数的解析式为； 第16页（共22页）

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（3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P，则AB′的长度就是PA+PB的最小值，求出直线AB′与x轴的交点即为P点的坐标． 解答： 解：（1）把A（1，4）代入y=得：m=4， ∴反比例函数的解析式为：y=； （2）把B（4，n）代入y=得：n=1， ∴B（4，1）， 把A（1，4），B（4，1）代入y=kx+b得∴， ， ∴一次函数的解析式为：y=﹣x+5； （3）作点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于P， 则AB′的长度就是PA+PB的最小值， 由作图知，B′（4，﹣1）， ∴直线AB′的解析式为：y=﹣x+当y=0时，x=∴P（，0）． ， ， 点评：本 题主要考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，轴对称的性质，最小距离问题，这里体现了数形结合的思想，正确的理解距离和最小问题是解题的关键． 六、（本大题共2小题，第24题10分，第25题12分，满分22分） 24．（10分）（2015•遂宁）如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点D，AM⊥CD于点M，BN⊥CD于N．

（1）求证：∠ADC=∠ABD；

2

（2）求证：AD=AM•AB； （3）若AM=

，sin∠ABD=，求线段BN的长．

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考点：切 线的性质；相似三角形的判定与性质． 分析：（ 1）连接OD，由切线的性质和圆周角定理即可得到结果； （2）由已知条件证得△ADM∽△ABD，即可得到结论； （3）根据三角函数和勾股定理代入数值即可得到结果． 解答：（ 1）证明：连接OD， ∵直线CD切⊙O于点D， ∴∠CDO=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ADB=90°， ∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°， ∴∠1=∠3， ∵OB=OD， ∴∠3=∠4， ∴∠ADC=∠ABD； （2）证明：∵AM⊥CD， ∴∠AMD=∠ADB=90°， ∵∠1=∠4， ∴△ADM∽△ABD， ∴2， ∴AD=AM•AB； （3）解：∵sin∠ABD=， ∴sin∠1=， ∵AM=， ∴AD=6， ∴AB=10， ∴BD==8， ∵BN⊥CD， ∴∠BND=90°， ∴∠DBN+∠BDN=∠1+∠BDN=90°， 第18页（共22页）

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∴∠DBN=∠1， ∴sin∠NBD=， ∴DN=∴BN=， =． 点评：本 题考查了圆的切线性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题． 25．（12分）（2015•遂宁）如图，已知抛物线y=ax+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）三点．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在y轴上是否存在点M，使△ACM为等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足要求的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P（t，0）为线段AB上一动点（不与A，B重合），过P作y轴的平行线，记该直线右侧与△ABC围成的图形面积为S，试确定S与t的函数关系式．

2

考点：二 次函数综合题． 2分析： 1）把A（﹣2，0）（，B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax+bx+c，求解即可； （2）作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形，然后求出OM1得出M1的坐标，当CA=CM2时，则△AM2C是等腰三角形，求出OM2得出M2的坐标，当CA=AM3时，则△AM3C是等腰三角形，求出OM3得出M3的坐标，当CA=CM4时，则△AM4C是等腰三角形，求出OM4得出M4的坐标， （3）当点P在y轴或y轴右侧时，设直线与BC交与点D，先求出S△BOC，再根据第19页（共22页）

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△BPD∽△BOC，得出=（），2=（），求出S=S△BPD；当点2P在y轴左侧时，设直线与AC交与点E，根据=（），得出2=（）2，求出S=S△ABC﹣S△APE=9﹣，再整理即可． 2解答： ：解（1）把A（﹣2，0），B（4，0），C（0，3）代入抛物线y=ax+bx+c得： ， 解得：， 则抛物线的解析式是：y=﹣x+x+3； （2）如图1，作线段CA的垂直平分线，交y轴于M，交AC与N，连结AM1，则△AM1C是等腰三角形， ∵AC=∴CN=， =， 2∵△CNM1∽△COA， ∴=， ∴=， ， =， ∴CM1=∴OM1=OC﹣CM1=3﹣∴M1的坐标是（0，）， 当CA=CM2=时，则△AM2C是等腰三角形， 则OM2=3+， M2的坐标是（0，3+）， 当CA=AM3=时，则△AM3C是等腰三角形， 第20页（共22页）

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则OM3=3， M3的坐标是（0，﹣3）， 当CA=CM4=时，则△AM4C是等腰三角形， 则OM4=﹣3， M4的坐标是（0，3﹣）， （3）如图2，当点P在y轴或y轴右侧时， 设直线与BC交与点D， ∵OB=4，OC=3， ∴S△BOC=6， ∵BP=BO﹣OP=4﹣t， ∴=， ∵△BPD∽△BOC， ∴=（）， 2∴=（2）， 2∴S=S△BPD=t﹣3t+6（0≤t＜4）； 当点P在y轴左侧时， 设直线与AC交与点E， ∵OP=﹣t，AP=t+2， ∴=， 2∵=（）， ∴=（）， 2∴S△APE=， ∴S=S△ABC﹣S△APE=9﹣=﹣t﹣3t+6（﹣2＜t＜0）． 2第21页（共22页）

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点评：此 题考查了二次函数的综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、线段的垂直平分线等，关键是根据题意画出图形，作出辅助线，注意分类讨论，数形结合的数学思想方法．

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