上海市青浦区2019届高三二模数学
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.不等式【答案】【解析】 【分析】 先移项通分得到【详解】因为故答案为
，进而可求出结果. ，所以
，即
，解得
.
的解集是________
【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，一般需要先移项再通分，进而求解，属于常考题型.
2.已知复数满足【答案】【解析】 【分析】
先由复数的除法运算求出，再根据模的计算公式即可求出结果. 【详解】因为因此故答案为
.
，所以
，
（其中为虚数单位），则
________
【点睛】本题主要考查复数的运算，熟记复数的除法运算法则、以及模的计算公式即可，属于基础题型.
3.在平面直角坐标系【答案】【解析】 【分析】 先由题中条件得到
，再依题意设所求的单位向量坐标为
、4，所以，
中，在轴、y轴正方向上的投影分别是、4，则与同向的单位向量是________
，根据模为1，即可求出结果.
；
【详解】因为在轴、y轴正方向上的投影分别是由题意设所求的单位向量坐标为
则，所以
.
，
因此所求向量的坐标为故答案为
【点睛】本题主要考查向量的坐标表示、以及向量共线问题，熟记概念及公式即可，属于基础题型. 4.在【答案】【解析】 【分析】
先由二项展开式的通项公式得到【详解】因为
的二项展开式的通项为
，
，令
，即可得出结果. ，
的二项展开式中，含有项的系数为________（结果用数值表示）
要求含有项的系数，只需令所求系数为故答案为
.
【点睛】本题主要考查指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.
5.在平面直角坐标系【答案】【解析】 【分析】
根据双曲线的几何意义得到双曲线与抛物线的共同焦点为（【详解】双曲线中，a＝2，b＝1，c＝双曲线与抛物线的共同焦点为（所以，故答案为：
，
，
，0），所以，
，
.
中，若双曲线
经过抛物线
（
）的焦点，则
________
，0），
【点睛】这个题目考查了抛物线和双曲线的几何意义，较为简单. 一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用。尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化。
6.已知、是互斥事件，【答案】【解析】 【分析】
根据互斥事件的性质，若、是互斥事件，则根据题中条件即可求出结果. 【详解】因为、所以故答案为
互斥事件，
，因此
，
.
，
；
，
，则
________
【点睛】本题主要考查互斥事件的概率问题，熟记事件的性质即可求解，属于常考题型. 7.函数【答案】【解析】 【分析】 根据
表示正弦值等于的一个角，可得
【详解】因为又因此函数故答案为
表示正弦值等于的一个角，因此，所以
是的最大值为________
，再由
，
，
的最大值为
. ，则
的最小值为________
的范围即可求出结果.
【点睛】本题主要考查三角函数与反三角函数的问题，熟记反三角函数的意义以三角函数的性质即可，属于常考题型.
8.若实数、y满足条件【答案】 【解析】
试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数故当可行域内点到原点距离最小时，取到最小值，即考点：线性规划．
9.已知、b、都是实数，若函数合是________ 【答案】【解析】 【分析】 结合函数结果. 【详解】由(1)当当当即
定义域判断其值域，由反函数的定义域为
，表示可行域内的点到原点．
距离的平方，
的反函数的定义域是，则的所有取值构成的集
，可得函数的值域为，即可得出
，由解析式可得， 时，
时，的值域为
；
又函数
的其定义域为
，因为
，
；
的反函数的定义域是
，
，所以，
所以函数的值域为，因为、b、都是实数，，不满足题意；
可以大于；
因此值域可以为（2）当当当即
时，
时，
的值域为
时，由解析式可得：
；
，
；
的值域必须为
.
，因为、b、都是实数，
可以大于，因此
符合题意；
同（1）可知：函数
综上：的所有取值构成的集合是故答案为
【点睛】本题主要考查分段函数与反函数的问题，熟记函数的性质即可，属于常考题型.
10.已知某四棱锥三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为________
【答案】【解析】 【分析】
正方体中作出该四棱锥，借助长方体求出各棱长，即可得出最大值. 【详解】由三视图在正方体中作出该四棱锥所以
，
因此该四棱锥的最长棱的长度为故答案为
的，
，
.
.
，由三视图可知该正方体的棱长为，
，
【点睛】本题主要考查几何体的三视图，由三视图先还原几何体，进而可求解，属于常考题型.
11.已知函数【答案】【解析】 【分析】 先由函数在区间
内有两个零点，得到
满足的关系式，作出不等式组所表示的平面区域，再设
，根
（
），在区间
内有两个零点，则
的取值范围是________
据的几何意义，结合图像，即可得出结果. 【详解】要使函数数
在区间
内有两个零点，函数对称轴为
,
所以，即，
根据不等式组作出如下图像：
设由
，则
解得
过点
， ，即
时，，
，
取得最小值，
由图可知，当
由图可知，当
，
则故答案为
.
过点时，取得最大值，
【点睛】本题主要考查二次函数零点分布问题、以及线性规划问题，熟记二次函数零点分布的判定条件即可求解，属于常考题型.
12.已知为【答案】 【解析】 【分析】
以外接圆圆心为半径建立坐标系，设范围即可. 【详解】设因为不妨设则
的外接圆半径为1，以外接圆圆心为原点建立坐标系， ，所以，
，
，
， ，
，
，
，列方程用
表示出
，代入圆的方程，再利用不等式解出
的
的外心，
，
，则
的最大值为________
因为，所以，
解得，
因为在圆所以
上，
，
即所以所以解得
或
， 上，所以
， ， ，
因为只能在优弧故
，
【点睛】本题主要考查平面向量的基本定理及其意义，熟记平面向量基本定理即可，属于常考题型.
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13.已知A.
，
B.
，则
（ ） C.
D.
【答案】B 【解析】 【分析】 根据函数【详解】因为所以故选B
【点睛】本题主要考查集合的交集，熟记概念即可，属于基础题型. 14.已知
是斜三角形，则“
”是“
”的（ ）
与的值域得到和，再求交集即可得出结果.
，
.
，
A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】
B. 必要不充分条件 D. 既不充分又不必要条件
根据充要条件的定义，结合正切函数的图像和性质，分析“若
”的真假，即可得出结果. 【详解】当若
时，
，此时，则
”的充分条件；
；
，则”与“若，则
均为锐角，则
为锐角，
若为钝角，则综上：“当若
，此时，
”是“时，
均为锐角，则
为锐角，
，此时，则
；
，满足条件；
若为钝角，则
若为锐角，为钝角，显然不满足； 综上“所以，“
”是“”是“
”的必要条件. ”的充要条件.
【点睛】本题主要考查充分条件与必要条件的判断、以及正切函数的性质，熟记充分条件与必要条件的概念等即可，属于常考题型.
15.已知曲线A. 1条 【答案】B 【解析】 【分析】
先由曲线的参数方程消去参数，化为普通方程，再判断定点与曲线关系，进而可得出结果. 【详解】由因此点
在双曲线
消去参数可得
的渐近线
； 上，
（是参数），过点B. 2条
作直线与曲线有且仅有一个公共点，则这样的直线有（ ）
C. 3条
D. 4条
由双曲线的特征可知，当直线与双曲线的另一条条渐近线平行、或直线与双曲线的右支相切时，满足直线与双曲线只有一个公共点，
因此，这样的直线只有2条. 故选B
【点睛】本题主要考查双曲线的特征以及直线与双曲线的位置关系，熟记双曲线的性质即可，属于常考题型.
16.等差数列
,满足
，则（ ）
A. 的最大值为50 C. 的最大值为51 【答案】A 【解析】 【分析】 先根据题意可知
中的项有正有负，不妨设
，根据题意可求得
，根据
，
B. 的最小值为50 D. 的最小值为51
去绝对值求和，即可求出结果. 【详解】
时，满足条件，所以
满足条件，即最小值为2，舍去B,D.
要使得取最大值，则项数为偶数， 设则所以
,
因为所以故选A
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，熟记等差数列的性质以及通项公式等即可，属于常考题型.
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17.如图，圆柱是矩形
绕其边
所在直线旋转一周所得，AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点.
，等差数列的公差为，首项为，不妨设，且
，由
可得
，
，
，所以，故
.
，所以，而，
（1）求三棱锥体积与圆柱体积的比值；
的中点，求异面直线CM与
所成角的大小.
（2）若圆柱的母线长度与底面半径相等，点M是线段【答案】(1)【解析】 【分析】
；(2)
(1)先设圆柱的母线长为，底面圆半径为，根据三棱锥以及圆柱的体积公式分别求出体积，进而可得出结果. (2)由题意，以为坐标原点，
方向分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线CM与
的方向向量，根据两向量夹角的余弦值，即可得出结果. 【详解】(1)设圆柱母线长为，底面圆半径为，因此又因为AB是底面圆的直径，点C是弧AB的中点， 所以
，
故三棱锥体积与圆柱体积的比值为
(2)由题意，以为坐标原点，度与底面半径相等，设则
，
，
因为点是线段所以因此
的中点，所以，
所以异面直线CM与
的，因此
， .
， ，
，
，
，
，
所成角的大小为
.
方向分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，因为圆柱的母线长
【点睛】本题主要考查几何体体积以及异面直线所成的角的问题，熟记棱锥与圆锥的体积公式即可求出体积之比；第二问求异面直线所成的角，可采用空间向量的方法，求出两直线方向向量的夹角即可得出结果，属于常考题型.
18.如图，某沿海地区计划铺设一条电缆联通A、B两地，A处位于东西方向的直线MN上的陆地处，B处位于海上一个灯塔处，在A处用测角器测得
，在A处正西方向1km的点C处，用测角器测得
，现有两
种铺设方案：① 沿线段AB在水下铺设；② 在岸MN上选一点P，先沿线段AP在地下铺设，再沿线段PB在水下铺设，预算地下、水下的电缆铺设费用分别为2万元/km，4万元/km.
（1）求A、B两点间的距离；
（2）请选择一种铺设费用较低的方案，并说明理由. 【答案】（1）千米；（2）方案②，理由见详解. 【解析】 【分析】 （1）过点作
于点，设
，根据
，
，即可求出，进而可得出结果；
(2)根据（1）得结果，结合题意可直接计算出方案①的费用； 方案②：设
，则
，其中
，在直角三角形
中，，，
总铺设费用为出结果.
【详解】（1）过点作又所以
（2）由（1）可知
，
于点，设，所以(km). (km)，
，即
，因为，解得
，再设，用导数的方法求其最小值即可得
，所以,
，
方案①：沿线段AB在水下铺设，总铺设费用为方案②：设在直角三角形所以
则总铺设费用为设
，
，则中，
，
，其中
，
，
万元；
，
，
则，令得，列表如下：
所以
的最小值为
. 极小值 单调递减 单调递增 所以该方案的总铺设费用为而
，
，此时.
所以应选择方案②进行铺设，点选择的正西方处，总铺设费用最低.
【点睛】本题主要考查导数在最大值、最小值问题中的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而确定函数的最值，属于常考题型. 19.已知
，函数
.
为奇函数； 对任意
；（2）
都成立，求的取值范围.
（1）求的值，使得（2）若
且
【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）根据题意得到函数定义域为，再由（2）
即可得出结果. 【详解】(1)由题意可知即(2)由当因此当当当立，故
时，时，有时，有时，
，所以
；
都成立，可得
；
对任意
都成立，即是
即可求出结果；
对任意
都成立；分别讨论
，
，
以及
的定义域为，因此，若为奇函数，则，
对任意对任意都成立；
显然不成立，所以对任意
都成立，等价于
符合题意； 都成立，则都成立，因为
时，
；
显然成立；所以
对任意对任意
显然成立，所以
，因此有
符合题意；
对任意
不能恒成
不符合题意；
.
综上，的取值范围为
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数单调性与奇偶性即可，属于常考题型.
20.在平面直角坐标系
中，对于任意一点
，总存在一个点
满足关系式：
（
，
），
则称为平面直角坐标系中的伸缩变换.
（1）在同一直角坐标系中，求平面直角坐标系中的伸缩变换，使得椭圆（2）在同一直角坐标系中，△到△
，记△
和△
（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换的面积分别为S与，求证：
；
变换为一个单位圆；
（
，
）得
【答案】(1)；(2)见详解.
【解析】 【分析】
（1）将椭圆方程化为标准方程（2）先设到直线
的方程为
，再由单位圆的方程，以及题中伸缩变换的概念，即可得出结果.
，
的距离，
化简即可得出结果.
，得到
，
设直线
的斜率为,得
，根据伸缩变换得到，从而求出点到直线的距离为，最后由
同理得到点到直线
【详解】(1)因为椭圆的标准方程为，又单位圆的方程为，
因此要想由椭圆变换为一个单位圆，伸缩变换只需为；
（2）先设由△
，因为为坐标原点，所以，
（
，
）得到△
，所以
，
（为坐标原点）经平面直角坐标系中的伸缩变换，
，
，
的斜率为，则直线
的距离为
的方程为
， ,故
，
所以设直线
所以点到直线
又直线的斜率为，直线的方程为，即，
所以点到直线因此
的距离为，
.
【点睛】本题主要考查伸缩变换的问题，熟记伸缩变换的概念、以及点到直线距离公式等即可求解，属于常考题型，计算量较大.
21.已知函数
（
），且不等式）.
的解，并写出数列
的通项公式（不必证明）；
，都有
成立，求的取值范围.
对任意的
都成立，数列
是以
为首项，公差为1的等差数列（（1）当（2）若【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）先由
时，写出方程（或
；），数列
的前项和为，对任意的
；（2）
直接写出方程的解，进而求出，即可得到数列的通项公式；
（2）先由（1）的结果得到，再由错位相减法求和即可得到，进而可求出结果. 【详解】（1）因为由不等式即又数列所以
是以；
，
时，易知方程对任意的，解得
，所以
的解为都成立，可得
，， ，
，
为首项，公差为1的等差数列，
（2）由（1）知
所以
②
①②得：整理得：由由
可得恒成立，可得
， ，
.
，
①
【点睛】本题主要考查数列的应用，以及错位相减法求数列的和的问题，熟记数列的性质以及公式等即可，属于常考题型.
