量子力学试卷B(2007级)

武汉理工大学考试试题纸（ B卷） 课程名称 量子力学 题号 一 题分 15 二 20 三 15 四 50 五 六 七 专业班级 电子0701－03 八 九 十 总分 100 备注: 学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题) 一、 选择题（只有一个正确答案，每题3分，共15分） C1、已知做直线运动的粒子处于状态x，则归一化常数C为 （ ） 1ix（A）1 （B）11 （C） （D） 2、设粒子归一化波函数为r,, ，则粒子在球壳r,rdr中被测到的几率为 （ ） （A）（C）02222dsinddr （B）dsindr2dr 0002d2sinddr （D）d2sindr2dr 00002ˆ的可能测值为（ ） 3、在Y2m,态中， Lz （A）2h,h,0,h,2h （B）2,2 （C）2,,,2 （D）2,,0,,2 4、在光的照射下，原子从低能级跃迁到高能级，这种现象称为 （ ） （A）受激辐射 （B）自发和受激吸收 （C）光的吸收 （D）自发辐射 5、金属中的电子气Fermi能量Ef与电子气密度的关系为：（ ） （A）Ef2/3 （B）Ef （C）Ef21/3 （D）Ef 二、填空题 (每空2分，共20分） ˆ ， 1、在量子力学中，力学量通常用算符表示，在坐标表象中，动量变为动量算符即pˆ 。 在动量表象中，坐标变为坐标算符，即r2、线性厄米算符的性质是：（1）线性厄米算符的本征值必为 ； （2）线性厄米算符的属于不同本征值的本征函数，彼此 ； 3、具有半整数自旋的全同粒子体系用反对称波函数来描述，这种粒子遵循 统计， 称为 。 4、在利用正则方程处理电磁场中带电荷为q的粒子的运动状态时，需要利用粒子正则坐标和正则动量，粒子正则动量P与粒子的机械动量p之间的关系式为 ，根据量子力学中的正则量子化程序，应该把 动量变成算符。 5、变分原理在于：根据具体问题在物理上的特点，先提出 波函数，然后在该波函数下求 能量平均值，最后对能量平均值求 。 三、证明题（共15分，要有具体证明步骤，否则不给分） （1）在一维谐振子中，可以引入升降算符来计算系统的本征值，已知升降算符的表达式为 a，a ，n表示写振子的能量本征态。证明：ann1n1 （10分） ˆ,LˆiLˆ （5分） （2）证明：Lxyz四、计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分,要求有具体计算步骤） 1、在一维无限深势阱〔0,a〕中，粒子处于第一激发态，即n＝2，求 （1）粒子位置x的平均值x、x及位置不确定度（涨落）x； （2）粒子动量p的平均值p、p2及动量不确定度（涨落）p； （3）计算动能平均值 （15分） 2、考虑一个具有三维态空间的物理体系，在态空间选定一组正交归一化基，在这组基下， 2210Hamilton量可以用矩阵H120表示，（1）当测量系统的能量时，可能的结果是什么？ 003i12iH（2）一个粒子处于，用这组基表示为，求，和H （１５分） H3i3、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由等效哈密顿量： HA(S1zS2z)BS1S2 描述，其中S1，S2是二个自旋，S1z，S2z是它们的Z分量，A和B为常数。 求该哈密顿量的所有能级。 （10分） 4、在t0时刻，氢原子处于状态 r,0c1112r3r4r 322式中nr为氢原子的第n个能量本征态。计算t0时能量的取值几率与平均值， 写出t0时的波函数。 （10分） 武汉理工大学教务处

试题标准答案及评分标准用纸

| 课程名称—量子力学—— （ B 卷） | 一、选择题（每题3分，共15分） 装 1.C 2.B 3. D 4.C 5.A

| 二、填空题 (每空2分，共20分）

1. i，ip

2. 实数 正交

3. 费米－狄拉克 费米子

qA 正则动量 c 5. 试探 极值

4. pP三、 证明题（共15分）

（1）证明：令ann1 则

其共轭式为nan1，与上式两边分别作用得 （2分） naann1**n1

 利用aannn a,a1和mnmn （5分）

等式左边=naa1nn1nnn1 等式右边=n1 故n122n1n1

2n1，所以ann1n1 （3分）

ˆypˆzpˆxpˆzzpˆy Lˆxxpˆz Lˆyypˆx （2分） （2）证明：Lxyzˆ,LˆypLˆy,zpˆxxpˆzˆz,zpˆxypˆz,xpˆzˆy,zpˆxˆz,xpˆzxyˆzzpypzpyp

ˆˆ,zpˆ00pˆz,pˆxixpˆypˆiLypzxyzyxzˆzi （3分） 利用动量分量彼此对易和z,p 四 计算题（第1、2题各15分，第3、4题各10分，要求有具体计算步骤）

1、解：一维无限深势阱中，粒子处于第一激发态的波函数为 2x22xsin （2分） aa*22aa22xdx （1）粒子坐标的平均值：xxx2xdxxsin 0a0a2 x20*2xx22xdx2a222x121xsindxa 20aa38 x11x2x2a2 （5分）

128 （2）动量的平均值：p0**ˆ2xdx22xpxi0d2xdx0 dx2ˆ2xdxx pxp002*22*22d242xdx22dxa2

pp2p22 （5分） ap2422p2 （3）粒子动能为E，则有E （3分） 22m2ma2m 2、解：（1）Hamilton量满足的本征方程为

210aa2 120bb1003cc0非零解的条件为

0a20b0

03c12

120003310 （6分）

210即123 31是可能的能量本征值，能量有简并。

210i115120i （3分） （2）HHHiii30033i3210i1111H2H2H2120i （3分） iii30033i3HH2H222222 （3分） 33、解：选S(S1S2)与SzS1zS2z的共同本征态SMs。 当S1，MS0,1是三重态，对二电子交换对称。

S0，MS0 是单态，对二电子交换反对称。 （2分）

首先有

222S(S1S2)2S1S22S1S232 2S1S22 定态方程为

HSMsESMs

因为

S21Ms221Ms , S2000

所以

S1S21Ms(234222)1Ms41M

sS1S200 又

3400

Sz1Ms(S1zS2z)1MsMs1Ms Sz000对三重态能级为

（4分）

2EMs A分为三条：

224B , Ms0,1

2E1A4B , E24B , E3A4B （3分）

对单态能级仅一条：E3204B （1分）

4、解：氢原子的本征解为 Ee41n22n2 （2分）

由波函数归一化条件可知归一化常数为 1 c211123232 （2分） 不为零的能量取值几率为

WE2WE348;WE134 能量平均值为

E38E1167e4 2E44E323042 （2分）

当t0时，波函数为

r,t3i1i38expE2i2r2t3rexpE3t84rexpE4t =3i1i38rexp48t24i23e3rexp183et84rexp32e4t34分） （