我们熟知平均值不等式：
即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平均值”
等号成立的条件是
.
我们还可以引入另一个平均值：对数平均值：
那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式
，
以下简单给出证明：不妨设
，设
，则原不等式变为：
以下只要证明上述函数不等式即可.以下我们来看看对数不等式的作用.题目1：（2015长春四模题）已知函数说法错误的是A.
B.
C.
D.有极小值点
，且
有两个零点
，则下列
【答案】C【解析】函数
导函数：
2更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０有极值点
，而极值
，
，，即：①②
①-②得：
，A正确.
有两个零点：
根据对数平均值不等式：
，而
而①+②得：
，B正确，C错误，即D成立.
.
两点，线段
中点的横坐标为
，证明：
题目2：（2011辽宁理）已知函数若函数
的图像与轴交于
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设
，
，
，则
①②
①-②得：
③
而根据对数平均值不等式：
，化简得：，
3更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０③等式代换到上述不等式
④
根据：
（由③得出）∴④式变为：
∵，∴，∴在函数单减区间中，即：
题目3：(2010天津理)已知函数
.
证明：
.
.如果，且
【解析】原题目有3问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不等式直接去证明第三问：设
，则
，
，
①②
①-②得：
两边取对数
根据对数平均值不等式
题目4：（2014江苏南通市二模）设函数
4，其图象与
更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０轴交于证明：
【解析】根据题意：
两点，且（
为函数
，
①②
①-②得：
，即：.
的导函数）.
移项取对数得：
根据对数平均值不等式：
，①+②得：
根据均值不等式：
∵函数在单调递减
∴
题目5：已知函数求证：【解析】由
，
与直线交于两点.
，可得：①，
②
①-②得：
5更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０③
①+②得：
④
根据对数平均值不等式
利用③④式可得：
由题于与交于不同两点，易得出则
∴上式简化为:
∴
第2关：参数范围问题—常见解题6法
求解参数的取值范围是一类常见题型．近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡屡出现．学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题的策略和方法．一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．时分析：习惯上把x当作自变量，记函数y=x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当py>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量6更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例2．若对于任意角总有对于一些含参数的不等式问题，如果能够将不等式进行同解变形，将不等式中的变量和参数进行分离，即使变量和参数分别位于不等式的左、右两边，然后通过求函数的值域的方法将问题化归为解关于参数的不等式的问题。成立，求的范围．，分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k)[f(x)]min≥g(k)②f(x)>g(k)g(k)<[f(x)]min③f(x)≤g(k)[f(x)]max≤g(k)④f(x) 表示从第一项依次到第n项的和，然后又将Sn表示成第n项依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到Sn的一种求和方法。也称倒写相加法，这是在推导等差数列的前n项和公式时曾用到的方法.例3设，利用课本中推导等差数列的前项和的公式的方法，可求得的值为：解：因为f（x）=，∴f（1－x）=∴（fx）+（f1－x）=.设S=f（－5）+f（－4）+…+f（6），则S=f（6）+f（5）+…+f（－5）∴2S=（f（6）+f（－5））+（f（5）+f（－4））+…+（f（－5）+…f（6））=610更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０∴S=f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（6）=3.4、拆项重组求和.有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分为几个等差、等比或常见的数列的和、差，则对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和．也称分组求和法.例4求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.解：设∴＝将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝＝＝＝5、裂项相消法求和有些数列求和的问题，可以对相应的数列的通项公式加以变形，将其写成两项的差，这样整个数列求和的各加数都按同样的方法裂成两项之差，其中每项的被减数一定是后面某项的减数，从而经过逐项相互抵消仅剩下有限项，可得出前项和公式．这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用，也称为通项法。它适用于型（其中{}是各项不为0的等差数列，c为常数）、部分无理数列、含阶乘的数列等。常见拆项公式有：；；；；；；；等11更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例5设数列，求解：由题意得：（其中n为正整数）的前项的和，，令，所以：。 6、并项求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求和例6设数列的首项为，前项和。满足关系式：的公比为，作数列使设数列，求和：b1b2－b2b3+b3b4－b4b5…+b2n－1b2n－b2nb2n+1.解:由题意知为等比数列，得，故=，故：bn=，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列。于是b1b2－b2b3+b3b4－b4b5+…+b2n－1b2n－b2nb2n+1 =b2（b1－b3）+b4（b3－b5）+b6（b5－b7）+…+b2n（b2n－1+b2n+1）=－（b2+b4+…+b2n）=－=－（2n2+3n）7、累加法给出数列｛｝的递推式和初始值，若递推式可以巧妙地转化为型，可以考虑利用累加法求和，此法也叫叠加法。例7数列的前项和为，已知，求12更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解：由得：即，对由，，又，所以，成立。，…，，当，累加得：时，也成立8多法并取求和根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和，它通常集分组、裂项、公式求和于一体，是一个解决综合性数列求和的重要途径.例8已知数列{an}：的值.解：∵＝＝∴＝＝第4关：绝对值不等式解法问题—7大类型 类型一：形如解法:根据础.1、当时，型不等式的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基或2、当，无解13更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０使3、当时，，无解使例1不等式A.C.解：因为即，解得：，，所以.的解集为（B.D.）成立的的解集.的解集所以类型二：形如，故选A.型不等式解法：将原不等式转化为以下不等式进行求解：或需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为：例2不等式A．C．解：的解集为（）B.D.或14更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０或类型三：形如，方法求解，显得比较繁琐，其简洁解法如下解法：把看成一个大于零的常数进行求解，即：，故选D型不等式，这类不等式如果用分类讨论的，或例3设函数解：，若，则的取值范围是，故填：.类型四：形如型不等式解法：可以利用两边平方，通过移项，使其转化为：“两式和”与“两式差”的积的方法进行，即：例4不等式解：的解集为所以原不等式的解集为类型五：形如15型不等式更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解法：先利用绝对值的定义进行判断，再进一步求解，即：，无解例5解关于解：的不等式（1）当时，原不等式等价于：（2）当时，原不等式等价于：（3）当时，原不等式等价于：或或综上所述（1）当时，原不等式的解集为：（2）当时，原不等式的解集为：（3）当时，原不等式的解集为：类型六：形如使恒成立型不等式.16更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解法：利用和差关系式：，结合极端性原理即可解得，即：；；例6不等式（）A．C.解：设函数B.D.对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围是所以而不等式故类型七：形如对任意的实数恒成立，故选择A，，1、解法：对于解含有多个绝对值项的不等式，常采用零点分段法，根据绝对值的定义分段去掉绝对值号，最后把各种情况综合得出答案，其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，去掉所求解集，亦可集合图像进行求解.例7解不等式分析：找出零点：确定分段区间：17更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解：（1）当时，原不等式可化为：解得：因为，所以不存在（2）当时，原不等式可化为：解得：又因为，所以（3）当时，原不等式可化为：，解得：又，所以综上所述，原不等式的解集为：2、特别地，对于形如，型不等式的解法，除了可用零点分段法外，更可转化为以下不等式，即：或例8设函数（1）若（2）如果解：（1）当，解不等式求的范围由得：18更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０即：或解得：，即：或故不等式的解集为：（2）由得：即：或即：或因为所以恒成立，成立，解得：或故的取值范围为：绝对值不等式一直是高中教学中的一个难点，我们通过化归思想将其进行等价变换，从而避免了繁琐的讨论，减小了运算量，以上所介绍的七种类型的含有绝对值的不等式总体上囊括了近几年高考中有关的题目，当然方法可能并不为一，在解决此类问题的时候很多人也比较喜欢使用数形结合的方法来处理，这其实也体现了数学形式多样化的统一美.方法是多种多样的，只是无论多么优秀的方法最终也是用来解题的工具，如果我们仅仅是停留在最求方法的多样化而忽略了数学的本质——思想，那么就有点得不偿失了.第5关：三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求19更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０方法：一配方法一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面就介绍几种常见的求三角函数最值的若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定的函数化归为二次函数的最值问题来处理。例1函数的最小值为（）.A．2B.0C.D.将函数表达式化为6，配方，得[分析]本题可通过公式因含有cosx的二次式，可换元，令cosx=t，则,当t=1时,即cosx=1时，,选B.例2求函数y=5sinx+cos2x的最值[分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。二引入辅助角法例3已知函数量x的集合。[分析]此类问题为它可通过降次化简整理为解型求解。：的三角函数求最值问题，当函数y取得最大值时，求自变20更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０三利用三角函数的有界性在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。例4求函数的值域[分析]此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。解法一：原函数变形为，可直接得到：或解法一：原函数变形为或例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。[分析]在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。解：f(x)的最小正周期为，最大值为。四引入参数法（换元法）对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。21更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例6求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。[分析]解：令sinx+cosx=t，则，其中当五利用基本不等式法利用基本不等式求函数的最值，要合理的拆添项，凑常数，同时要注意等号成立的条件，否则会陷入误区。例7求函数的最值。解：=当且仅当即时，等号成立，故。六利用函数在区间内的单调性例8已知，求函数的最小值。[分析]此题为型三角函数求最值问题，当sinx>0,a>1，不能用均值不等式求最值，适合用函数在区间内的单调性来求解。设，在（0，1）上为减函数，当t=1时，。七数形结合由于，所以从图形考虑，点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。例9求函数的最小值。22更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０[分析]法一：将表达式改写成y可看成连接两点A(2,0)与点(cosx,sinx)的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图），所以求y的最小值就是在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。设过点A的切线与半圆相切与点B,则可求得所以y的最小值为（此时）.法二：该题也可利用关系式asinx+bcosx=界性来求解。（即引入辅助角法）和有八判别式法例10求函数的最值。[分析]同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。解：时此时一元二次方程总有实数解由y=3，tanx=-1，由九分类讨论法含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。23更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例11设，用a表示f(x)的最大值M(a).解：令sinx=t,则（1）当，即在[0，1]上递增，（2）当即时，在[0，1]上先增后减，（3）当即在[0，1]上递减，以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。解决这类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。第6关：求轨迹方程问题—6大常用方法 知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法：1.待定系数法：如果动点P的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨迹方程，也有人将此方法称为定义法。2.直译法：如果动点P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点P满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点P所满足的几何上的等量关系，再用点P的坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。3.参数法：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点P运动的某个几何量t，以此量作为参变数，分别建立P点坐标x，（t），（t），y与该参数t的函数关系x＝fy＝g24更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０进而通过消参化为轨迹的普通方程F（x，y）＝0。4.代入法（相关点法）：如果动点P的运动是由另外某一点P'的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点坐标满足某已知曲线方程），则可以设出P（x，y），用（x，y）表示出相关点P'的坐标，然后把P'的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点P的轨迹方程。5.几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线，角平分线的性质等），可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。6：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程），该法经常与参数法并用。（二）求轨迹方程的注意事项：1.求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P的运动规律，即P点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。3.求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解，（即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上），又要检验是否丢解。（即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示），出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形。4．求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。课前热身： 1.P是椭圆=1上的动点，过P作椭圆长轴的垂线，垂足为M，则PM中点的轨迹中点的轨迹方程为：（）A、【答案】：B【解答】:令中点坐标为,则点P的坐标为(代入椭圆方程得,选BB、C、D、=12.圆心在抛物线（A）上，并且与抛物线的准线及轴都相切的圆的方程是BC【答案】：D25D更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为,选D3:一动圆与圆O：心M的轨迹是：A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支【答案】：D【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆4:点P(x0，y0)在圆x2+y2=1上运动，则点M（2x0，y0）的轨迹是A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在y轴上的椭圆C.焦点在y轴上的双曲线D.焦点在X轴上的双曲线【答案】：A（）【解答】:令M的坐标为则代入圆的方程中得,选A【互动平台】一：用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方程。 例1：已知的顶点A，B的坐标分别为（-4，0），（4，0），C为动点，且满足求点C的轨迹。【解析】由可知，即，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则，则轨迹方程为（，图形为椭圆（不含左，右顶点）。【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。（1）圆：到定点的距离等于定长26更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０（2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离）（3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离）（4）到定点与定直线距离相等。【变式1】:1:已知圆的圆心为M1，圆M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心P的轨迹方程。解：设动圆的半径为R，由两圆外切的条件可得： 。 ， 的圆心为 。 ∴动圆圆心P的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为 2:一动圆与圆O：外切，而与圆C：内切，那么动圆的圆心M的轨迹是： A：抛物线B：圆C：椭圆D：双曲线一支 【解答】令动圆半径为R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足双曲线定义。故选D。二：用直译法求曲线轨迹方程此类问题重在寻找数量关系。例2：一条线段AB的长等于2a,两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，求AB中点P的轨迹方程？解设M点的坐标为由平几的中线定理：在直角三角形AOB中，OM=M点的轨迹是以O为圆心，a为半径的圆周.【点评】此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有下列几种情况：1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设条件列出等式，得出其轨迹方程。3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应的恒等变换即得其轨迹方程。27更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其数量的关系，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法.【变式2】（x,y）到两定点A（－3，0）和B（3，0）的距离的比等于2（即:动点P求动点P的轨迹方程？【解答】∵|PA|=），代入得化简得（x－5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4为半径的圆.三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的取值范围。例3．过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程。【解析】分析1：从运动的角度观察发现，点M的运动是由直线l1引发的，可设出l1的斜率k作为参数，建立动点M坐标（x，y）满足的参数方程。解法1：设M（x，y），设直线l1的方程为y－4＝k（x－2），（k≠０）∵M为AB的中点，28更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０消去k，得x＋2y－5＝0。另外，当k＝0时，AB中点为M（1，2），满足上述轨迹方程；当k不存在时，AB中点为M（1，2），也满足上述轨迹方程。综上所述，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。分析2：解法1中在利用k1k2＝－1时，需注意k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能否避开讨论呢？只需利用△PAB为直角三角形的几何特性：解法2：设M（x，y），连结MP，则A（2x，0），B（0，2y），∵l1⊥l2，∴△PAB为直角三角形化简，得x＋2y－5＝0，此即M的轨迹方程。分析3：：设M（x，y），由已知l1⊥l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k2＝－1，即可列出轨迹方程，关键是如何用M点坐标表示A、B两点坐标。事实上，由M为AB的中点，易找出它们的坐标之间的联系。解法3：设M（x，y），∵M为AB中点，∴A（2x，0），B（0，2y）。又l1，l2过点P（2，4），且l1⊥l2∴PA⊥PB，从而kPA·kPB＝－1，注意到l1⊥x轴时，l2⊥y轴，此时A（2，0），B（0，4）中点M（1，2），经检验，它也满足方程x＋2y－5＝0综上可知，点M的轨迹方程为x＋2y－5＝0。【点评】 1）解法1用了参数法，消参时应注意取值范围。解法2，3为直译法，运用了kPA·kPB ＝－1，这些等量关系29更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响【变式3】过圆O：x2+y2=4外一点A（4，0），作圆的割线，求割线被圆截得的弦BC的中点M的轨迹解法一：“几何法”设点M的坐标为（x,y）,因为点M是弦BC的中点，所以OM⊥BC,２２２ 所以|OM|＋|ＭＡ|＝|ＯＡ|，即(x2+y2)+(x－４)2+y2=16化简得：（x－2）2+y2=4................................①由方程①与方程x2+y2=4得两圆的交点的横坐标为1，所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）。所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。解法二：“参数法”设点M的坐标为（x,y），B（x1,y1）,C（x2,y2）直线AB的方程为y=k(x－4),由直线与圆的方程得（1+k2）x2－8k2x+16k2－4=0...........(*),由点M为BC的中点，所以x=...............(1),又OM⊥BC，所以k=.................(2)由方程（1）（2）消去k得（x－2）2+y2=4,又由方程（*）的△≥0得k2≤,所以x＜1.所以点M的轨迹方程为（x－2）2+y2=4（0≤x＜1）所以M的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆在圆O内的部分。四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例4.轨迹方程。分析：题中涉及了三个点A、B、M，其中A为定点，而B、M为动点，且点B的运动是有规律的，显然M的运动是由B的运动而引发的，可见M、B为相关点，故采用相关点法求动点M的轨迹方程。【解析】设动点M的坐标为（x，y），而设B点坐标为（x0，y0）则由M为线段AB中点，可得30更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０即点B坐标可表为（2x－2a，2y）【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【变式4】如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程【解析】：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|AB的中点，依垂径定理在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)又|AR|=|PR|=又因为R是弦所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=代入方程x2+y2－4x－10=0,得－10=0整理得【备选题】已知双曲线两点．（I）若动点满足，使·（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程,的左、右焦点分别为，，过点的动直线与双曲线相交于（II）在轴上是否存在定点为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，31更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０请说明理由．解：由条件知解法一：（I）设，，设，则则，由，，得．，即于是的中点坐标为．当不与轴垂直时，，即．又因为两点在双曲线上，所以，即，，两式相减得．．将当与轴垂直时，的轨迹方程是代入上式，化简得，求得．，使的方程是．为常数．，也满足上述方程．所以点（II）假设在轴上存在定点当代入不与轴垂直时，设直线有．则是上述方程的两个实根，所以，，于是32更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０．因为当此时故在轴上存在定点，使是与无关的常数，所以与轴垂直时，点，即，此时，，=．的坐标可分别设为．为常数．解法二：（I）同解法一的（I）有当代入不与轴垂直时，设直线有的方程是．．则是上述方程的两个实根，所以．．由①②③得．…………………………………………………④．……………………………………………………………………⑤当时，，由④⑤得，，将其代入⑤有．整理得．当当故点时，点的坐标为，满足上述方程．，求得．，使33与轴垂直时，的轨迹方程是，也满足上述方程．（II）假设在轴上存在定点点为常数，更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０当不与轴垂直时，由（I）有，．以上同解法一的（II）．【误区警示】1.错误诊断 【例题5】的轨迹方程。中，B，C坐标分别为（-3，0），（3，0），且三角形周长为16，求点A【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为，则由定义可知，则，得轨迹方程为【错因剖析】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。【正确解答】ABC为三角形，故A，B，C不能三点共线。轨迹方程里应除去点，即轨迹方程为2.误区警示 1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求 出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。 2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方法的选择。 3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部分或漏掉的部分。 【课外作业】【基础训练】1:已知两点给出下列曲线方程：①；②；③）A①③【答案】:D（；④，在曲线上存在点P满足的所有曲线方程是B②④C①②③D②③④34更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０【解答】:要使得曲线上存在点P满足,即要使得曲线与MN的中垂线有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有①无解,则选D2.两条直线【解答】:直接消去参数与即得(交轨法):的交点的轨迹方程是.3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点O作圆的弦0A，则弦的中点M的轨迹方程是.【解答】:令M点的坐标为(,则A的坐标为(2,代入圆的方程里面得:4:当参数m随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为___________。【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x，y分别用已有的参数m来表示，然后消去参数m，便可得到动点的轨迹方程。【解答】：抛物线方程可化为它的顶点坐标为消去参数m得：故所求动点的轨迹方程为。5:点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，则点M的轨迹方程为____________。【分析】：点M到点F（4，0）的距离比它到直线的距离小1，意味着点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点M的轨迹方程。【解答】：依题意，点M到点F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点M的轨迹是以F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。6:求与两定点距离的比为1：2的点的轨迹方程为_________【分析】:设动点为P，由题意，则依照点P在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。【解答】：设是所求轨迹上一点，依题意得由两点间距离公式得：化简得：7抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于A、B两点，动点C在抛物线上，求△ABC重心P的轨迹方程。35更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０【分析】：抛物线其中的焦点为。设△ABC重心P的坐标为，点C的坐标为。【解答】：因点是重心，则由分点坐标公式得：即由点在抛物线上，得：将代入并化简，得：（【能力训练】8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（MN中点的横坐标为，求此双曲线方程。，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，【解答】：设双曲线方程为。。将y=x－1代入方程整理得由韦达定理得解得。。又有，联立方程组，∴此双曲线的方程为。9.已知动点P到定点F（1，0）和直线x=3的距离之和等于4，求点P的轨迹方程。【解答】：设点P的坐标为（x，y），则由题意可得（1）当x≤3时，方程变为。（2）当x>3时，方程变为。，化简得。，化简得36更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０故所求的点P的轨迹方程是或10.过原点作直线l和抛物线M的轨迹方程。 交于A、B两点，求线段AB的中点 【解答】：由题意分析知直线l的斜率一定存在，设直线l的方程y=kx。把它代 入抛物线方程以△>0，解得设A（ ），B（ ，得。因为直线和抛物线相交，所。 ），M（x，y），由韦达定理得。 由消去k得。 又，所以。 。 ∴点M的轨迹方程为 【创新应用】11.一个圆形纸片，圆心为O，F为圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于P，则P的轨迹是（）A:椭圆B:双曲线C:抛物线D:圆【答案】：A【解答】：由对称性可知||PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R为圆的半径），则P的轨迹是椭圆，选A第7关：参数方程与极坐标问题—“考点”面面看 “参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化，极坐标系与普通坐标系的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析：一、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数，先确定一个关系（或（或，再代入普通方程，求得另一关系）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程表示的曲线是（）37更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０即可消去含的项，即有A.双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题的破解策略.解析：注意到t与互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，，又注意到，可见与以上参数方程等价的普通方程为.显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B.点评：这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题，转化的关键是要注意变量范围的一致性.趁热打铁1：与普通方程等价的参数方程是（）（为能数）解析：所谓与方程致而且对于A化为普通方程为对于B化为普通方程为对于C化为普通方程为对于D化为普通方程为而已知方程为例2、设P是椭圆为何问题.若设同的直线），显然.分析：注意到变量等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一；；;.显然与之等价的为B.上的一个动点，则的几何意义，故研究二元函数的最大值是，最小值的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.的最值时，可转化为几，则方程既满足表示一组直线，（对于取不同的值，方程表示不，又满足，故点是方程组的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式解析：令是方程组问题.，对于既满足，又满足，故点，由，所以的最大值为，的公共解，依题意得，解得：最小值为满足的方程.有困难，也常采用消元，但由来表示出或时会出现无理式，这对进一步求函数最值依点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数然不够简洁，但若通过三角函数换元，则可实现这一途径.即，因此可通过转化为法”.趁热打铁2：已知线段，直线l垂直平分38的一元函数.以上二个思路都叫“参数，交于点O，在属于l并且更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０以O为起点的同一射线上取两点，使的轨迹方程.解析：以O为原点，BB’为y轴，为，设，则由，得，求直线BP与直线，的交点M轴建立直角坐标系，则，则直线BP的方程为；直线和方程为；，因此点M的轨迹为长轴长为6，短轴长为4的椭圆（除B，）.二、极坐标与直角坐标的互化利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P的直角坐标为，它的极坐标为，则；若把直角的终边的位置），以便坐标化为极坐标，求极角正确地求出角.例3、极坐标方程时，应注意判断点P所在的象限（即角表示的曲线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.解析：由，化简得，化为直角坐标系方程为.显然该方程表示抛物线，故选D.点评：若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线，因此通常要把极坐标方程化为直角坐标方程，加以研究.趁热打铁3：已知直线的极坐标方程为是解析：极点的直角坐标为，对于方程，则极点到该直线的距离，可得为，因此点到直线的距离为例4、极坐标方程A．B．.化为直角坐标方程转化成直角坐标方程为（C．）D．分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.39更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解析：趁热打铁4：点A．解析：的直角坐标是B．C．，则点D．，因此选C.的极坐标为（）点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解.都是极坐标，因此选C.三、参数方程与极坐标的简单应用参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.例5、已知的三个顶点的极坐标分别为,判断三角形ABC的三角形的形状，并计算其面积.分析：判断△ABC的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.解析：如图，对于又，由余弦定理得：，，，，，，,，所以AB边上的高趁热打铁5：如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程.解析：取O为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线的极坐标方程为，设A（，），P为，以及，把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为：一、选择题（8题）1.已知点M的极坐标为A.2．若直线的参数方程为B.，下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是（C.，则直线的斜率为（D.））.即时训练，因点A在直线等腰三角形，上，且40更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０A．B．C．D．上的点是（B．C．D．）D．）D．两条射线）3．下列在曲线A．4．将参数方程A．5．参数方程为A．一条直线B．两条直线B．化为普通方程为（C．表示的曲线是（C．一条射线6．直线和圆交于两点，则的中点坐标为（）A．B．C．D．7．极坐标方程A．一条射线和一个圆8．直线的参数方程为之间的距离是（A．B．）表示的曲线为（）B．两条直线C．一条直线和一个圆，上的点D．一个圆与对应的参数是，则点C．D．二、填空题（4题）9.点10.圆心为C11.极坐标方程为12若A，B的极坐标为，半径为3的圆的极坐标方程为表示的圆的半径为，则|AB|=__________，___________（其中O是极点）三、解答题（3题）13.求椭圆14.若方程15.。的曲线是椭圆，求实数的取值范围.，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.41更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０即时训练参一、选择题：1.A解析：能表示点M的坐标有3个，分别是B、C、D.2．D3．B4．C解析：解析：转化为普通方程：解析：转化为普通方程：表示一条平行于，当，但是轴的直线，而，得，所以表示两条射线，时，5、D解析：6．D解析：因此中点为7．C解析：或，则8、C解析：距离为二、填空题：9、或写成位于第四象限且标为10、或写成.解析：如下图，设圆上任一点为P（），则解析：由或，得，故点而点的极坐11、1解析：方程变形为的半径相等，故所求的圆的半径为r=1，该方程表示的圆的半径与圆12、解析：在极坐标系中画出点A、B，易得，42更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０三、解答题：13.解析：（先设出点P的坐标，建立有关距离的函数关系）到定点的距离为，14.解析：将方程两边同乘以，化为：，，若方程表示椭圆，则须满足：15.，若A、B是C上关于坐标轴不对称的任意两点，AB的垂直，，，，平分线交x轴于P（a，0），求a的取值范围.15.解析：第8关：均值不等式问题—拼凑8法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。在运用均值不等式解题时,我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式，或者不便于利用题设条件，此时需要对题中的式子适当进行拼凑变形。均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。以均值不等式的取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的拼凑方法概括为八类。一、拼凑定和通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。例１已知解：，求函数的最大值。43更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过因式分解，将函数解析式由“和”的形式，变为“积”的形式，然后利用隐含的“定和”关系，求“积”的最大值。例2求函数的最大值。解：。因，当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为“拼凑定和”创造条件。例3已知解：，求函数的最大值。。当且仅当，即时，上式取“=”。故，又。二、拼凑定积通过裂项、分子常数化、有理代换等手段，变为“和”的形式，然后以均值不等式的取等条件为出发点，配项凑定积，创造运用均值不等式的条件例4设，求函数的最小值。44更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０解：。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关分式的最值问题，若分子的次数高于分母的次数，则可考虑裂项，变为和的形式，然后“拼凑定积”，往往是十分方便的。例5已知解，求函数的最大值。：，。当且仅当时，上式取“=”。故。评注：有关的最值问题，若分子的次数低于分母的次数，可考虑改变原式的结构，将分子化为常数，再设法将分母“拼凑定积”。例6已知，求函数的最小值。解：因为，所以，令，则。所以。当且仅当，即时，上式取“=”。故。评注：通过有理代换，化无理为有理，化三角为代数，从而化繁为简，化难为易，创造出运用均值不等式的环境。三、拼凑常数降幂，求证：。例7若分析：基本不等式等号成立的条件具有潜在的运用功能，它能在“等”与“不等”的互化中架设桥梁，能为解题提供信息，开辟捷径。本题已知与要求证的条件是，为解题提供了信息，发现应拼凑项，巧妙降次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。证明：当且仅当45。时，上述各式取“=”，更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例8若解，求故原不等式得证。评注：本题借助取等号的条件，创造性地使用基本不等式，简洁明了。的最大值。：。当且仅当时，上述各式取“=”，故，求证：明，，又。当且仅当四、拼凑常数升幂时，上述各式取“=”，故原不等式得证。，的最大值为7。。：例9已知证例10若，且，求证。的轮换对称式，容易发现等号成立的条分析：已知与要求证的不等式都是关于件是证，故应拼凑，巧妙升次，迅速促成“等”与“不等”的辩证转化。明：，。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。例11若，求证：46。更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０证明：又。当且仅当。时，上述各式取“=”，故原不等式得证。五、约分配凑通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次。例12已知，求的最小值。解：。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例13已知解：因为所以，求函数，所以。的最小值。。当且仅当时，即，上式取“=”，故。例14若，求证。分析：注意结构特征：要求证的不等式是关于立。此时，的轮换对称式，当时，等式成设，解得，所以应拼凑辅助式为拼凑的需要而添，经此一添，解题可见眉目。证明：。47更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０。当且仅当时，上述各式取“=”，故原不等式得证。六、引入参数拼凑某些复杂的问题难以观察出匹配的系数，但利用“等”与“定”的条件，建立方程组，解地待定系数，可开辟解题捷径。例15已知解：设，故有，且，求的最小值。。。当且仅当成立时上述不等式取“=”，即，代入，解得，此时同时，故的最小值为36七、引入对偶式拼凑根据已知不等式的结构，给不等式的一端匹配一个与之对偶的式子，然后一起参与运算，创造运用均值不等式的条件。例16设为互不相等的正整数，求证。证明：记则，构造对偶式，，当且仅当相等的正整数，48时，等号成立。又因为为互不更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０所以，因此评注：本题通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式。八、确立主元拼凑在解答多元问题时，如果不分主次来研究，问题很难解决；如果根据具体条件和解题需要，确立主元，减少变元个数，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式。例17在分析：中，证明为轮换对称式，即的地位相同，因此可选一个变元为主元，将其它变元看作常量（固定），减少变元个数，化陌生为熟悉。证明：当时，原不等式显然成立。当时，当且仅当，即为正三角形时，原不等式等号成立。综上所述，原不等式成立。评注：变形后选择A为主元，先把A看作常量，B、C看作变量，把B、C这两个变量集中到，然后利用的最大值为1将其整体消元，最后再回到A这个主元，变中求定。综上可见，许多貌似繁难的最值问题或不等式证明问题，运用均值不等式等号成立条件，恰当拼凑，可创造性地使用均值不等式，轻松获解。这种运用等号成立条件的拼凑方法，既开拓了学生的思路，又活跃了学生的思维，培养了学生的数学能力。第9关：不等式恒成立问题—8种解法探析 不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．这里对这一类问题的求解策略作一些探讨．1最值法例1．已知函数在处取得极值，其中为49更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０常数．（I）试确定等式分析：不等式解：（I）（过程略）（II）（过程略）函数（III）由（II）可知，函数的值；（II）讨论函数恒成立，求的取值范围．恒成立，可以转化为．的单调减区间为在，函数的单调增区间为．的单调区间；（III）若对于任意，不处取得极小值，此极小值也是最小值．要使（）恒成立，只需，解得或．所以的取值范围为．评注：最值法是我们这里最常用的方法．．恒成立；恒成立2分离参数法例2．已知函数（I）求函数的单调区间；（II）若不等式的最大值．分析：对于（II）不等式对于任意都成立（其中是自然对数的底数），求中只有指数含有，故可以将函数进行分离考虑．解：（I）（过程略）函数的单调增区间为，的单调减区间为（II）不等式等价于不等式，由于，知；设，则50更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０．由（I）知，，即；于是，，即在区间上为减函数．故在上的最小值为．所以的最大值为．评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解．3数形结合法例3．已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数与函数在上的图象，借助图形可以直观、简捷求解．与函数且时，欲使函数，即．．时，函数在的图象恒在下解：在同一平面直角坐标系内作出函数上的图象（如右），从图象中容易知道：当函数上方，不合题意；当且的图象恒在函数方或部分点重合，就必须满足故所求的的取值范围为评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法．4变更主元法例4．对于满足不等式的一切实数，函数的值恒大于，则实数的取值范围是＿＿＿．分析：若审题不清，按习惯以为主元，则求解将非常烦琐．应该注意到：函数值大于一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元．解：设立的问题．，，则原问题转化为对恒成51更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０故应该有，解得或．所以实数的取值范围是．评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题．5特殊化法例5．设是常数，且（）．（I）证明：对于任意，．（II）假设对于任意有，求的取值范围．有求分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意出的取值范围，思路很自然，但计算量大．可以用特殊值探路，确定目标，再作相应的证明．解：（I）递推式可以化归为，，所以数列是等比数列，可以求得对于任意，．（II）假设对于任意有，取就有解得；下面只要证明当时，就有对任意有由通项公式得当（）时，52更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０当（）时，，可见总有．故的取值范围是评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法．6分段讨论法例6．已知解：（i）当时，显然，若当时，恒有＜0，求实数a的取值范围．＜0成立，此时，（ii）当时，由＜0，可得＜＜，令则＞0，∴是单调递增，可知＜0，∴是单调递减，可知此时的范围是（—1，3）综合i、ii得：的范围是（—1，3）．例7．若不等式对于恒成立，求的取值范围．解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对当时，不等式恒成立，所以，此时当时，不等式就化为进行分段讨论，；的最小值为，所以；，此时当时，不等式就化为，此时的最大值为，所以；由于对上面集即区间53的三个范围要求同时满足，则所求的的范围应该是上三个的范围的交更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０说明：这里对变量进行分段来处理，那么所求的对三段的果就是所求的结果．时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系．要同时成立，所以，用求交集的结评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合7单调性法例8．若定义在的函数满足，且对于任意时不等式恒成立，成立，若不等式则实数解：设的取值范围是＿＿＿．，则，有．这样，，则，函数因此在为减函数．；而（当且仅当时取等号），又，所以的取值范围是．评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解．8判别式法例9．若不等式对于任意恒成立．则实数的取值范围是＿＿＿．分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法．解：当时，不等式化为，显然对一切实数恒成立；当得时，要使不等式．的取值范围是．一切实数恒成立，须有，解综上可知，所求的实数不等式恒成立问题求解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例．例10．关于的不等式54在上恒成立，求实数的更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０取值范围．通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理；∵，∴不等式可以化为最小值即可，分段处理如下．当时，，，；下面只要求在时的再令上有，，递增，在区间在上有，它的根为，；所以在区间递减，则就有，这样就有，的最大值是在区间即在区间是递减．同理可以证明是递增；所以，在时的最小值为，即．技巧解：由于，所以，，两个等号成立都是在时；从而有（时取等号），即．评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功．第10关：圆锥曲线最值问题—5大方面 最值问题是圆锥曲线中的典型问题，它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义，而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。一．求距离的最值例1.设AB为抛物线y=x2的一条弦，若AB=4，则AB的中点M到直线y+1=0的最短距离为，解析：抛物线y=x2的焦点为F（0，1），准线为y=1，过A、B、M准垂足分别是A1、则所求的距离d=MM1+3=1(AA1+BB1)B1、M1，1的垂线，442 +3=1(AF+BF)+3≥1AB+3=1×4+3=11,当且仅当弦AB过焦点F时，d取42424244线y=554 4 更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０11 最小值，4 评注：灵活运用抛物线的定义和性质，结合平面几何的相关知识，使解题简洁明快，得心应手。二．求角的最值例2．M，N分别是椭圆x2的左、右焦点，l是椭圆的一条准线，点P在l上，y24 2 1 则∠MPN的最大值是.解析：不妨设l为椭圆的右准线，其方程是x22，点，直线P(22,y0)(y00)PM和PN倾斜角分别为和.∵∴M(2,0),N(2,0)kPMtan y00 y032 ,kPN222 tanMPNtan() y00y0于是tan 2222 y0232 y0y01 232 ∴tantan 1tantan∵ y0 22y022223 2636y0y026y06 MPN[0,) 2MPN 6 即∠MPN的最大值为.评注：审题时要注意把握∠MPN与PM和PN的倾斜角之间的内在联系.三、求几何特征量代数和的最值2例3.点M和F分别是椭圆2上的动点和右焦点，定点B(2,2).⑴求|MF|+|MB|的最小值.⑵求5|MF|+|MB|的最小值.xy1259 解析：易知椭圆右焦点为F(4,0)，左焦点F′(-4,0)，离心率e=4，准线方程x=±25.4 5 ⑴|MF|+|MB|=10―|MF′|+|MB|=10―（|MF′|―|MB|）≥10―|F′B|=10―2故当M，B，F′三点共线时，|MF|+|MB|取最小值10―2⑵过动点M作右准线x=25的垂线，垂足为H，则10.4 10.4 |MF|4 e|MH|5 .于是5|MF|+|MB|=|MH|+|MB|≥|HB|=17.可见，当且仅当点B、M、H4 |MH||MF| 544 共线时，5|MF|+|MB|取最小值17.44评注：从椭圆的定义出发，将问题转化为平几中的问题，利用三角形三边所满足的基本关系，是解决此类问题的常见思路。56更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０例4．点P为双曲线x2的右支上一点，M，N分别为(x5)2y24 y211和(x5)2y21上的点，则PM－PN的最大值为.解析：显然两已知圆的圆心分别为双曲线的左焦点F1(5,0)和右焦点F2(5,0).对于双曲线右支上每一个确定的点P，连结PF1，并延长PF1交⊙F1于点Mo.则PM0为适合条件的最大的PM，连结PF2,交⊙F2于点No.则PN0为适合条件的最小的PN.于是PMPNPM0PN0(PF11)(PF21)(PF1PF2)2426 故PM－PN的最大值为6.评注：仔细审题，合理应用平面几何知识，沟通条件与所求结论的内在联系，是解决本题的关键.例5．已知e1，e2分别是共轭双曲线x22和x22的离心率，则e1+e2 a2yb21a2y b 21的最小值为.解析：ea2b2b21 22a2b2a2 1a 2,e2b21a2b2(e)24eb2a21e24(1b2a21e2a2)(1b2)42(a2b 2)4228 考虑到e1e20，故得e1e222.即e1+e2的最小值为22.评注：解题关键在于对圆锥曲线性质的准确理解，并注意基本不等式等代数知识的合理应用.四、求面积的最值例6．已知平面内的一个动点P到直线的距离与到定点(3,0) 的距离之l:x 43 F3 比为23，点1，设动点P的轨迹为曲线C.3 A(1,2) ⑴求曲线C的方程；⑵过原点O的直线l与曲线C交于M，N两点.求△MAN面积的最大值.解析：⑴设动点P到l的距离为d，由题意PFd3 2 根据圆锥曲线统一定义，点P的轨迹C为椭圆.∵c3,e c3 ,可得a2,a2 ∴b2a2c2431故椭圆C的方程为：x2y24 1⑵若直线l存在斜率，设其方程为ykx,l与椭圆C的交点M(x1,y1),N(x2,y2) 57更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０x(14k)x40 将y=kx代入椭圆C的方程24∴4x1x20,x1x2 14k2于是y1 2并整理得22.|MN| (1k2)(x1x2)2(1k2)[(x1x2)24x1x2] 211k2(1k)214k14k21又点A到直线l的距离|k| 2d 1k2故△MAN的面积S 1|2k1||MN|d214k2从而①当k=0时，S2=1得S=1②当k>0时，S2<1得S<1③当k<0时，(2k1)24kS1 14k214k22S1 24 1()(4k)k1 4242 得S 2综上，△MAN的最大值为2.评注：本题将△MAN的面积表示为l的斜率k的函数，其过程涉及弦长公式和点到直线距离等解析几何的基础知识，在处理所得的面积函数时，运用了分类讨论的思想方法。当然，也可以将该面积函数转化为关于k的一元二次方程，由△≥0求得面积S的最大值。五.求最值条件下的曲线方程例7.已知椭圆的焦点F1(―3,0)、F2(3,0)且与直线x―y+9=0有公共点，求其中长轴最短的椭圆方程.2解法1：设椭圆为2=1与直线方程x―y+9=0联立并消去y得：(2a2―9)x2+18a2x+90a2―a4=0，由题设△=(18a2)2―4(2a2―9)(90a2―a4)≥0a4―54a2+405≥0a2≥45或a2≤9.∵a2－9>0,∴a2≥45,故amin=35，得（2a）min=65,此时椭圆方程为2.xy2解法2：设椭圆则acosα―S2112若直线l不存在斜率，则MN即为椭圆C的短轴，所以MN=2..1 于是△MAN的面积xy a2a29 x2y2=1与直线x―y+9=0的公共点为M(acosα,a29sin)，22aa9 +9=0有解.45 36 1 a29sin58更多资料请加ＱＱ群：９５５２８１４６０ ∵2a29cos() 9 =―9cos(α+)=，∴|92a29 |1 2a29 ≥9a2≥45,22a9 ∴amin=3此时椭圆的方程5，得（2a）min=65,.x2y214536 解法3：先求得F1(―3，0)关于直线x―y+9=0的对称点F(―9,6)，设直线x―y+9=0与椭圆的一个交点为M，则2a=|MF1|+|MF2|=|MF|+|MF2|≥|FF2|=65，于是(2a)min=65,此时易得：a2=45,b2=36，2于是椭圆的方程为2.xy14536 评注：本题分别从代数、三角、几何三种途径寻求解决。由不同角度进行分析和处理，有利于打开眼界，拓宽思路，训练思维的发散性。解决圆锥曲线中的最值问题，要熟练准确地掌握圆锥曲线的定义、性质，在此基础上，灵活合理地运用函数与方程、转化与划归及数形结合等思想方法，仔细审题，挖掘隐含，寻求恰当的解题方法。此外，解题过程力争做到思路清晰、推理严密、运算准确、规范合理。第11关：排列组合应用问题—解题21法 排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理。一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有然后排首位共有最后排其它位置共有由分步计数原理得练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？34=1440A5A4 59
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