2021北京初三二模分类汇编-专题18几何综合(教师版)

（1）下图即为所求：

第1页（共26页）（2）∠BPH=90°，解：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AB，∴AB=AP，且∠PAB=60°．∴△ABP是等边三角形．∴∠BPA=60°．∵∠OAP=60°，∴∠APO=30°，∴∠BPO=∠BPA+∠APO=90°．∴∠BPH=90°．（3）OA=2CH.证明：连接BP，BC，由（2）可知，△ABP是等边三角形，∴BA=BP，∠ABP=∠BPA=60°．∵线段OB绕点O顺时针旋转60°得到OC，∴OB=OC，∠BOC=60°．∴△BOC是等边三角形．∴BO=BC，∠OBC=60°．∴∠ABO=60°-∠OBP=∠PBC．∴△ABO≌△PBC．∴AO=PC，∠BPC=∠BAO．∵∠OAP=α，∴∠BAO=∠BAP+∠OAP=60°+α．∴∠BPC=60°+α．∵∠BPN=180°-∠APO-∠BPA=120°-(90°-α)=30°+α，∴∠HPC=∠BPC-∠BPN=30°．∵CH⊥ON，∴∠CHO=90°．∴在Rt△CHP中，PC2CH．∴OA=2CH．第2页（共26页）2.（2021•燕山二模类似石景山一模）在等腰三角形ABC中，ABAC，BAC(0＜＜60)．点P是△ABC内一动点，连接AP，BP，将△APB绕点A逆时针旋转，使AB边与AC重合，得到△ADC，射线BP与CD或CD延长线交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为（2）探究∠ADM与∠APM的数量关系为；；（3）如图1,若DP平分∠ADC，用等式表示线段BM，AP，CD之间的数量关系，并证明.第3页（共26页）【答案】解：（1）依题意补全图1和图2；由作图知，∠BAP与∠CAD的数量关系为相等；…………………………3分（2）∠ADM=∠APM或∠ADM+∠APM=180°…………5分（3）如图，线段MC，AE，BD之间的数量关系是：MCAEBD．………6分证明：由作图可知△ABP≌△ACD．

∠APB=∠ADC,AP=AD,BP=CD,．

∠ADM=∠APM．DE平分∠ADC，∠ADP=∠PDC．AP=AD，

∠APD=∠ADP

∠APD=∠PDC．AP//CM．∠PAD=∠ADM=，∠APM=∠M．又由（2）知，∠ADM=∠APM=

OP=OA，OM=OD．OP+OM=OM+ODPM=AD=AP.

BM=BP+PM.

BM=CD+AP．……………………………………7分第4页（共26页）．3.（2021•房山二模）如图，已知AC是矩形ABCD的对角线，BAC30，点M是DC延长线上一点，BAC的平分线与BCM的平分线交于点E，将线段CA绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使点F在射线CB上，连接EF.（1）依题意补全图形；（2）求AEC的度数；（3）用等式表示线段AE，CE，EF之间的数量关系，并证明．【答案】（1）补全图形如图所示：………….………..……….2分

（2）∵AC是矩形ABCD的对角线，延长DC至M，

∴ABCBCDBCM90.

∵将线段CA绕点C逆时针旋转，得到线段CF，使线段CF在射线CB上，BAC30∴ACF60.∵BAC的平分线与BCM的平分线交于点E，∴BAECAE15，ECF45.∴AEC60.（3）答：AECEEF.

证明：在EA上截取EHEC，连接CH，

第5页（共26页）………….………..……….4分………….………..……….5分

∵AEC60，∴△ECH是等边三角形，∴EHCECH60，CECHEH.∴ECHHCA.

∵将线段CA绕点C逆时针旋转，得到线段CF，∴CFCA.

在△ECF与△HCA中，

ECHC，

∴△ECF≌△HCA.ECHHCA，

CFCA.

∵AEEHHA，∴AECEEF.

∴EFHA.

………….………..……….7分

第6页（共26页）二．K字图（共3题）4.（2021•西城二模）如图，在△ABC中，ACB90，ACBC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且APB45，过点C作CDPA，垂足为D.（1）当ABP90时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数最关系；（2）如图2，当ABP＞90时，①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；②在线段AP上取一点K，使得ABKACD，画出图形并直接写出此时KP

的值.BP第7页（共26页）第8页（共26页）【答案】27.（本小题满分7分）（1）解：补全图形如图7所示··························1分AP=2CD··························2分（2）①AP=2CD证明：如图8，作BE⊥AP于点E，作CF⊥BE交EB的延长线于点F，则∠F=∠FED=∠BEP=90°∵CD⊥PA于点D，∴∠ADC=∠CDE=90°∴四边形CDEF为矩形∴∠DCF=90°∴∠2+∠3=90°第9页（共26页）∵∠ACB=90°∴∠1+∠3=90°∴∠1=∠2∵AC=BC，∠ADC=∠F=90°∴CADCBF∴CD=CF，AD=BF∴四边形CDEF为正方形∴DE=EF=CD∵∠APB=45°，∠BEP=90°可得∠PBE=∠APB=45°∴EP=BE∴AP=AD+DE+EP=BF+DE+BE=EF+DE=2CD·························5分解析：法②：类似法一，过B作BF⊥CD于F，BE⊥AP于E，设AD为x，DE=BF=CD设为y，则DF=BE=EP=y-x，于是AP=AD+DE+EP=x+y+y-x=2y=2CD；法③：延长线段DC和PB交于点H，过B作BE⊥DC于E,由AA判得△CHB∽BPA,∴；法④：在AP右上方作等腰Rt△APE，AE交CD于F，链接CE。由AA旋转相似判得△ACE∽△ABP∴；法⑤：过点B作BF⊥AB，使得BF=AB，延长AC和EB交于点F，∵∠AEB=∠APB=45°，∴A、B、P、E四点共圆，则△ACE∽△EAP，可得AE=AF=AC+CF=2AC，∴AP=2CD。②画图见图9························6分第10页（共26页）2························7分5.（2021•东城二模）已知△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，∠ADE=∠BAC=90°，P为AE的中点，连接DP．(1)如图1，点A,B,D在同一条直线上，直接写出DP与AE的位置关系；（2）将图1中的△ADE绕点A逆时针旋转，当AD落在图2所示的位置时，点C，D，P恰好在同一条直线上.①在图2中，按要求补全图形，并证明∠BAE=∠ACP；②连接BD，交AE于点F．判断线段BF与DF的数量关系，并证明．【答案】27.解：（1）DP与AE的位置关系：DP⊥AE；-----------------------------------1分（2）①补全图形，如图：----------------------------------------------------------------------------------------------------------2分证明：∵∠BAC=90°，第11页（共26页）∴∠BAE+∠CAE=90°．∵△ADE是等腰直角三角形，且P为AE的中点，∴DP⊥AE，即∠APD=90°．--------------------------------------------------------------------3分∵点C，D，P在同一条直线上，∴∠ACP+∠CAE=90°．∴∠BAE=∠ACP.-------------------------------------------------------------------------------4分-----------------------------------------------------5分(3)线段BF与DF的数量关系：BF=DF．证明：如图，过点B作BH⊥AE于点H．∴∠AHB=∠APD=90°.∵∠BAE=∠ACP,AB=AC,∴△BAH≌△ACP(AAS)．∴BH=AP=DP．∵∠BHF=∠DPF，∠BFH=∠DFP，∴△BFH≌△DFP(AAS)．∴BF=DF．------------------------------------------------------6分--------------------------------------------------------------------------------------------7分6.（2021•平谷二模）在ABC中，ACB90，ACBC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AMCP于点M，过点B作BNCP于点N.(1)求证：CM=BN；(2)取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图2，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明；第12页（共26页）25．【答案】(1)补全图形...........................................1证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP∴∠AMC=∠BNC=90°∴∠1+∠2=90°∵∠ACB=90°∴∠1+∠3=90°∴∠2=∠3......................................2∵AC=BC∴△ACM≌△CBN（AAS）∴CM=BN............................3(2)依题意补全图形结论：AM=BN+2OM.............................................4证明：连接OC.............................................................5∵∠ACB=90°AC=BC，O是AB中点∴OC=OB，∠3=∠4=45°∵△ACM≌△CBN∴AM=CN，∠1+∠3=∠4+∠2∴∠1=∠2∵CM=BN∴△OCM≌△OBN（SAS）.................6∴OM=ON，∠5=∠6∵∠5+∠7=90°∴∠6+∠7=90°∴AM=BN+2OM................................7法二：延长NO，交AM于点H.................................5∵O是AB中点∴OA=OB∵AM⊥CP，BN⊥CP∴AM∥BN∴∠1=∠2∵∠3=∠4∴△OAH≌△OBN（ASA）.................6∴AH=BN，HO=ON∵AM=CN，CM=BN∴MH=MN∵∠AMN=90°HM=MN，O是HN中点∴HM=2OM∴AM=BN+2OM................................7第13页（共26页）三．对角互补（共3题）7．（2021•门头沟区二模）已知，如图，∠MAN=90°，点B是∠MAN的内一点，且到AM，AN的距离相等．过点B做射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°交AN于点D．(1)依题意补全图形；(2)求证：BC=BD；(3)连接AB，用等式表示线段AB，AC，AD之间的数量关系，并证明．第14页（共26页）【答案】27．（本小题满分7分）解：(1)依题意补全图形（略）；………………………………1分(2)证明：过B作BE⊥AM，BF⊥AN，垂足分别为E，F，则BE=BF．∵∠MAN=∠CBD=90°，∴∠ACB+∠ADB=180°．∵∠ACB+∠BCE=180°，∴∠BCE=∠ADB．∵BE⊥AM，BF⊥AN，∴∠BEC=∠BFD=90°，∴△BEC≌△BFD．∴BC=BD．……………………………………3分(3)AC+AD=2AB，……………………………………4分证明：过B作BG⊥AB交AN于点G．…………………5分∵BG⊥AB∴∠ABG=90°．∴∠ABG=∠CBD=90°，∴∠ABC=∠GBD．∵∠ACB+∠ABD=180°，∠ABD+∠GDB=180°，∴∠ACB=∠GDB．∵BC=BD，∴△ABC≌△GBD．…………………………6分∴AB=BG．∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等，∴∠BAG=1∠MAN=45°，2∴AG=2AB，∴AC+AD=2AB．……………………………………7分第15页（共26页）8.（2021•丰台二模）已知∠MON=90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重

合），且OA>OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF=OA，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）求证：CB=CF；

（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明．

答案：（1）如图所示：

（2）法1：【利用全等和垂直平分线性质】证明：连接CA.

∵OP平分∠MON，∴∠AOC∠FOC.在△AOC和△FOC中，

第16页（共26页）OAOFAOCFOCOCOC∴△AOC≌△FOC.∴ACFC.

∵CE是线段AB的垂直平分线，∴CBCA.∴CBCF.法2：【利用正方形的对称性、垂直平分线的性质】

证明：过点A作MO的垂线AQ交OP于点Q，连接FQ，连接AC.

∵OP平分∠MON，∴∠AOC∠FOC.在△AOQ和△FOQ中，OAOFAOQFOQOQOQ∴△AOQ≌△FOQ∴AQFQ∵∠AOB=90°

∴四边形AOFQ是正方形∴CACF∵CE是线段AB的垂直平分线∴CACB∴CBCF法3：[利用全等、角平分线的性质、垂直平分线的性质]

证明：过点C分别作OM、ON的垂线CR、CQ，垂足分别为R、Q，连接AC，如图∠OFQ=∠OAQ=90°

第17页（共26页）∵C是OP上一点，OP平分∠MON，CR⊥OM、CQ⊥ON∴CRCQ在Rt△CRO和Rt△CQO中CRCQOCOC∴Rt△CRO≌Rt△CQO（HL）∴OROQ∵OAOF∴OA－OROF－OQ即RAQF在Rt△CRA和Rt△CQF中RAQFARCFQCRCQC∴Rt△CRA≌Rt△CQF(SAS)∴CACF∵CE是线段AB的垂直平分线∴CACB∴CBCF第18页（共26页）（3）AB2CF.[借助第二问的结论思考]

法1：【利用全等、四边形内角和360°、邻补角的性质、等腰直角三角形性质】

证明：∵CBCF，∴∠CFB∠CBF.∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO∠CFB.∴∠CAO∠CBF.∵∠CBO+∠CBF180°，∴∠CAO+∠CBO180°.∴∠AOB+∠ACB180°.∵∠AOB90°，∴∠ACB90°.又∵CACB，

∴△ACB是等腰直角三角形.∴AB2CB.∴AB2CF.

法2：【利用正方形的对称性、邻补角的性质、垂直平分线的性质、等腰直角三角形性

质】

证明：

由（2）问【法2】得知：四边形AOFQ是正方形∴CACF∠CFB∠CAO

第19页（共26页）∵CBCF，∴∠CFB=∠CBF∴∠CAO=∠CBF∵∠CBF+∠CBO180°∴∠CAO+∠CBO180°∴∠AOB+∠ACB180°.∵∠AOB90°，∴∠ACB90°.又∵CACB，

∴△ACB是等腰直角三角形.∴AB2CB.∴AB2CF.

法3：[利用全等性质、角平分线的性质、等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质、等

腰直角三角形性质]

证明：

由（2）问【法3】得知：Rt△CRA≌Rt△CQF∴∠ACR∠FCQ∵CBCF，CQ⊥CF∴∠FCQ=∠BCQ∴∠ACR=∠BCQ

∵∠ROQ=∠CQO=∠CRO=90°∴∠RCQ=90°

∴∠ACB∠ACR+∠RCB=∠BCQ+∠RCB=∠RCQ=90°又∵CACB，

∴△ACB是等腰直角三角形∴AB2CB.∴AB2CF.

第20页（共26页）9.（2021•石景山二模）已知等边△ABC，D为边BC中点，M为边AC上一点（不与A，C重合），连接DM.（1）如图1，点E是边AC的中点，当M在线段AE上（不与A，E重合）时，将DM绕点D逆时针旋转120得到线段DF，连接BF．①依题意补全图1；②此时EM与BF的数量关系为：，DBF=°.（2）如图2，若DM2MC，在边AB上有一点N，使得NDM120.直接用等式表示线段BN，ND，CD之间的数量关系，并证明．【答案】27．解:（1）①补全图形如图1．……………………………1分②线段EM与BF的数量关系为EMBF；DBF=120.（2）证明：取线段AC中点E，连接ED．如图2．第21页（共26页）………3分点D是边BC的中点，点E是边AC的中点,DE1BA,CE1CA,BDCD1BC．222△ABC是等边三角形，ABBCAC∠B∠C60．DEBDCDCE，∠CED∠EDC∠B60．BDE120，NDM120，EDMBDN．△EDM≌△BDN．BNEM，NDMD2MC．ECEMMC，CDBN1ND．2……………………………………7分解析：法②：作∠CDH=120°，由SAS得△CDM≌△HDN。于是可得CD=BD=BH=BN+NH=BN+MC=BN+DN，∴2CD=2BN+ND.四．截长补短（共1题）10.（2021•朝阳二模）在正方形ABCD中，将线段DA绕点D旋转得到线段DP（不与BC平行），直线DP与直线BC相交于点E，直线AP与直线DC相交于点F．（1）如图1，当点P在正方形内部，且∠ADP=60°时，求证：DE+CE=DF；（2）当线段DP运动到图2位置时，依题意补全图2，用等式表示线段DE，CE，DF之间的数量关系，并证明．第22页（共26页）【答案】26.（1）证明：设AB=a．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD=a．∵DA=DP，∠ADP=60°，∴△APD是等边三角形．∴∠PAD=60°．∴在Rt△ADF中，DF=3a．……………………………………………1分在Rt△DCE中，CE=323a，DE=a．33∴DE+CE=DF．……………………………………………………………2分解析：法②：延长DE至H，使得EH=EC，连接HC，再证△DCH≌DPF；法③：过P作PH⊥PD交CF于H，再证△PHF为等腰三角形即可。法④：延长CB至H，使得HE=DE，再证△DCH≌△ADF即可。（2）依题意补全图形，如图所示.………………………………………………3分DE-CE=DF.………………………………………………………………………4分证明：作DH⊥AP交BC于点H.∵DH⊥AF，∴∠HDC+∠AFD=90°.∵∠HDC+∠DHC=90°，∴∠AFD=∠DHC.∵AD=DC，∠ADF=∠DCH=90°，∴△ADF≌△DCH.……………………………………………………………5分∴DF=CH.∵DA=DP，∴∠ADH=∠EDH.∵AD∥BC，∴∠ADH=∠EHD.∴∠EDH=∠EHD.∴ED=EH.……………………………………………………………………6分∴DE-CE=DF.解析：法②：截长：在DE上截取DH=DF，链接CP、CH，设∠CDE为x，通过等腰三角形的常用倒角可得∠CHE=∠HCE，即CE=HE，所以DE=DH+HE=DF+CE。法③：补短：延长FD至H，使得DH=CE，可得△AHD≌△DBC，所以DB=AH，通过等腰三角形和直角三角形的常用倒角可得∠HAF=∠HFA=45+x，所以AH=HF。于是DB=AH=HF=HD+DF=CE+DF。第23页（共26页）五．三线合一（共1题）11．（2021•顺义二模）已知：如图，在RtABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，P是AB边上任意一点，D是AB边的中点，连接CP，CD，并将PC绕点P逆时针旋转60°得到PE，连接AE．（1）求证：CD=BC；（2）①依题意补全图形；②用等式表示线段PE与AE的数量关系，并证明．【答案】27．（1）解：∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°∵D是AB边的中点，∴CD=BD．∴△CDB是等边三角形∴CD=BC．……………………2分（2）①………………1分……………………………3分②线段PE与AE之间的数量关系为PE=AE.第24页（共26页）证明：连接EC,ED∵PE=PC，∠EPC=60°∴△EPC是等边三角形∴CP=CE，∠ECP=60°∵∠DCB=60°∴∠ECD=∠PCB,∵CD=CB，∴△CPB≌△CED，∴∠CDE=∠B=60°,∵∠CDB=60°∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE∵DA=DC∴△ADE≌△CDE∴AE=CE∴AE=PE………………………………………………………………………………7分六．特殊三角形（共1题）（2021•昌平二模）如图，在等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是CA延长12．线上任意一点，点E是AB延长线上任意一点，且AD=BE.过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G.（1）依题意补全图形；（2）当∠AED=α，请你用含α的式子表示∠AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路.第25页（共26页）【答案】27.（1）

………………………………1分（2）当∠AED=α时，∠AGC=45°-α.推理如下：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB=45°.∵∠EAD=90°，∴∠ADE+∠AED=90°∵AF⊥DE，∴∠DFA=90°，∴∠ADE+∠DAF=90°∴∠DAF＝∠AED=α，∴∠DAF＝∠CAG=α，∵∠ACB=∠CAG+∠AGC=45°∴∠AGC=45°-α.……………………………………4分（3）CG=2AD……………………………………5分证明思路1：构造等腰直角△BEH，接下来证△ACG≌△ABH.……………………………………7分证明思路2：在AE上截取AM=AD，连接DM.得到△ADM是等腰直角△.接下来证△ACG≌△EMD.……………………………………7分证明思路3：过点E上作AC的平行线交GB的延长线于点PD，连接AP，DP.证△BEP是等腰直角△，四边形AEPD是矩形.接下来再证△ACG≌△ABP.……………………………7分第26页（共26页）