高中数学破题致胜微方法(高中常见函数及解题技巧)：分式函数的性质

我们规定，形如fxaxbdc0,adbc0,x的函数，称为分式函数。

cxdc今天我们就对这类函数进行深入研究，大家要了解这类函数各方面的性质。通过与反比例函数的类比，归纳总结。

先看例题：

例：以下关于函数fx2x1(x3)的叙述正确的是（ ） x3A.函数fx在定义域内有最值B.函数fx在定义域内单调递增C.函数fx的图象关于点(3,1)对称

5D.y的图象向右平移3个单位,x2(x3)615解：整理函数为f(x)2

x3x35所以可以看做，由y向右平移三个单位，再向上平移两个单位。

x由此，可以画出函数草图，如图：

依次判断选项：

1

A.函数在定义域内无最值，所以A不正确。

B.根据图象，函数在两个区间分别单调递减，所以B不正确。 C.根据平移可知，函数关于（3,2）对称，所以C不正确 D.由刚才的推理知，D正确 所以本题选D

注意：原函数可由反比例函数平移得到，原函数的对称点，也可以由平移得到。

规律整理：

fxaxbcxdc0,adbc0,xdc

a(cxd)badf(x)axbcccxdcxd bcadc2a

xdcc（1）定义域为，dcdc， （2）值域为，aca，c （3）对称中心：(dc,ac) （4）渐近线：xdac,yc

2

bcad0.

f(x)在dc,上为增函数，f(x)在,dc上为增函数.

bcad0.

f(x)在dc,上为减函数，f(x)在d,c上为减函数.

练：函数y2x5x3的值域是，04，，求此函数的定义域 解：将函数变形为：y2(x3)651x3x32

相当于反比例函数y1x，向右平移三个单位，再向上平移两个单位。由此画出函数图象，如图

3

因为函数值域为，，0又因为，当y0,x 4，55，所以由图象可知x的取值范围为：x3 2277同理，当y4,x，所以由图象可知x的取值范围为：3x

2257综上，函数的定义域为[,3)(3,]

22 总结：

1.要灵活理解分式函数的各种性质，并合理使用，简化运算。

2.不要死记硬背，要结合反比例函数，类比学习。灵活使用平移的思想，解决问题。 练习： 1.已知函数y

x，求出该函数的定义域、值域、判断单调性和奇偶性，并画出图像 x1x232.求函数y2的值域

x33.求函数y 答案：

1. 如下图，请同学自己写出相关答案。

3在2，5上的最大值和最小值 x14

3. 解： 因为将函数y3x向左平移1个单位后得到函数y3x1又因为x[2,5]，所以函数在此区间上为单调递减函数。 故该函数的值域为[12,1] 所以 最大值为：1 最小值为：

12

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