2020-2021学年安徽省淮南市某校初三(上)12月月考数学试卷

2020-2021学年安徽省淮南市某校初三（上）12月月考数学试卷

一、选择题

1. 下列四张扑克牌图案，属于中心对称图形的是( )

A. B. C. D.

2. 如图，⊙𝑂中，半径𝑂𝐶⊥弦𝐴𝐵于点𝐷，点𝐸在⊙𝑂上， ∠𝐸=22.5∘

，𝐴𝐵=4，则半径𝑂𝐵等于( )

A.√2 B.2 C.2√2 D.3

3. 在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为1

3，则黄球的个数为( ) A.2 B.4

C.12

D.16

4. 如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条𝐴𝐵，𝐴𝐶夹角为150∘，𝐴𝐵的长为32𝑐𝑚，𝐵𝐷的长为14𝑐𝑚，则𝐷𝐸

̂的长为(         )𝑐𝑚．

A.15

4𝜋 B.12𝜋 C.15𝜋 D.36𝜋

5. 若反比例函数𝑦=𝑘

𝑥的图象经过点(2, −1)，则该反比例函数的图象在( ) A.第一、二象限 B.第一、三象限

C.第二、三象限

D.第二、四象限

第1页 共28页 6. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都随机选择一条路径，并且选择每条路径的可能性相等，则它获得食物的概率是( )

A.1 B.13

4

C.2

7

D.2

3

7. 函数𝑦=(𝑚+1)𝑥𝑚2−2𝑚−4

是𝑦关于𝑥的反比例函数，则𝑚的值为( )

A.−1 B.3

C.−1或3

D.2

8. 如图，点𝐴是反比例函数𝑦=𝑘

𝑥

的图像上的一点，过点𝐴作𝐴𝐵⊥𝑥轴，垂足为𝐵．点𝐶为𝑦轴上的一点，连接

𝐴𝐶，𝐵𝐶．若△𝐴𝐵𝐶的面积为4，则𝑘的值是( )

A.4 B.−4

C.8

D.−8

9. 一副学生三角板放在一个圆里恰好如图所示，顶点𝐷在圆外，其他几个顶点都在圆上，圆和𝐴𝐷交于点𝐸，已知𝐴𝐶=8𝑐𝑚，则这个圆上的弦𝐶𝐸长是( )

A.6√2 𝑐𝑚 B.6√3 𝑐𝑚

C.4(√3+1) 𝑐𝑚

D.(1+6√3) 𝑐𝑚

第2页 共28页

◎

10. 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的对称轴是直线𝑥=−1，且过点(1,0)．顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①𝑎𝑏>0且𝑐<0；②4𝑎−2𝑏+𝑐>0；③8𝑎+𝑐>0；④𝑐=3𝑎−3𝑏；⑤直线𝑦=2𝑥+2与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐两个交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，则𝑥1+𝑥2+𝑥1⋅𝑥2=−5．其中正确的个数有( )

A.5个 B.4个

C.3个

D.2个

二、填空题

二次函数𝑦=3(𝑥+3)2−2顶点坐标为________．

近视眼镜的度数𝑦（度）与镜片焦距𝑥（米）成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25米，则眼镜度数𝑦与镜片焦距𝑥之间的函数关系式为________．（无需确定𝑥的取值范围）

如图，⊙𝑂的半径𝑂𝐴=2，𝐵是⊙𝑂上的动点（不与点𝐴重合），过点𝐵作⊙𝑂的切线𝐵𝐶，𝐵𝐶=𝑂𝐴，连结𝑂𝐶，𝐴𝐶．当△𝑂𝐴𝐶是直角三角形时，其斜边长为________.

第3页 共28页 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数𝑦=𝑘

𝑥

(𝑥>0)的图象与边长是6的正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的两边𝐴𝐵，𝐵𝐶分别

相交于𝑀，𝑁 两点．△𝑂𝑀𝑁的面积为10，若动点𝑃在𝑥轴上，则𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值是________.

三、解答题

如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△𝑂𝐴𝐵的三个顶点𝑂(0, 0)，𝐴(4, 1)，𝐵(4, 4)均在格点上.

(1)画出△𝑂𝐴𝐵关于𝑦轴对称的△𝑂𝐴1𝐵1，并写出点𝐴1的坐标；

(2)画出△𝑂𝐴𝐵绕原点𝑂顺时针旋转90∘后得到的△𝑂𝐴2𝐵2，并写出点𝐴2的坐标；

(3)在(2)的条件下，求线段𝑂𝐴在旋转过程中扫过的面积（结果保留𝜋）.

已知关于𝑥的一元二次方程 𝑥2+𝑥+𝑚−1=0. (1)当 𝑚=0 时，求方程的实数根；

(2)若方程有两个不相等的实数根，求实数𝑚的取值范围．

如图，要把残破的轮片复制完整，已知弧上的三点𝐴，𝐵，𝐶．

第4页 共28页

◎

(1)用尺规作图法找出̂𝐵𝐴𝐶所在圆的圆心（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)设△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，底边𝐵𝐶=8𝑐𝑚，腰𝐴𝐵=5𝑐𝑚，求圆片的半径𝑅．

淮南市教育局为了丰富初中学生的大课间活动，要求各学校开展形式多样的阳光体育活动．民生中学就“学

生体育活动兴趣爱好”的问题，随机调查了本校某班的学生，并根据调查结果绘制成如下的不完整的扇形统计图和条形统计图：

(1)在这次调查中，喜欢篮球项目的同学有________人，在扇形统计图中，“乒乓球”的百分比为________%，如果学校有800名学生，估计全校学生中有________人喜欢篮球项目；

(2)请将条形统计图补充完整；

(3)在被调查的学生中，喜欢篮球的有2名女同学，其余为男同学．现要从中随机抽取2名同学代表班级参加校篮球队，请直接写出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率．

如图，𝐴𝐵是⊙𝑂的直径，点𝐶是⊙𝑂上一点，∠𝐶𝐴𝐵的平分线𝐴𝐷交𝐵𝐶

̂于点𝐷，过点𝐷作𝐷𝐸 // 𝐵𝐶交𝐴𝐶的延长线于点𝐸．

第5页 共28页

(1)求证：𝐷𝐸是⊙𝑂的切线；

(2)过点𝐷作𝐷𝐹⊥𝐴𝐵于点𝐹，连接𝐵𝐷．若𝑂𝐹=1，𝐵𝐹=2，求𝐵𝐷的长度．

一天晚上，小明在帮妈妈洗三个只有颜色不同的有盖茶杯，这时突然停电了，小明只好将茶杯和杯盖随机搭配在一起，请用列举法或画树状图图法求三个茶杯颜色全部搭配正确的概率是多少？

如图，在平面直角坐标系中，一次函数𝑦=1

2𝑥+5和𝑦=−2𝑥的图象相交于点𝐴，反比例函数𝑦=𝑘

𝑥的图象经过点𝐴．

(1)求反比例函数的表达式.

(2)设一次函数𝑦=1𝑘

2

𝑥+5的图象与反比例函数𝑦=𝑥

的图象的另一个交点为𝐵，连接𝑂𝐵，求△𝐴𝐵𝑂的面积．

已知抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6(𝑎≠0)交𝑥轴于点𝐴(6, 0)和点𝐵(−1, 0)，交𝑦轴于点𝐶． (1)求抛物线的解析式和顶点坐标；

(2)如图(1)，点𝑃是抛物线上位于直线𝐴𝐶上方的动点，过点𝑃分别作𝑥轴，𝑦轴的平行线，交直线𝐴𝐶于点𝐷，𝐸，当𝑃𝐷+𝑃𝐸取最大值时，求点𝑃的坐标；

(3)如图(2)，点𝑀为抛物线对称轴𝑙上一点，点𝑁为抛物线上一点，当直线𝐴𝐶垂直平分△𝐴𝑀𝑁的边𝑀𝑁时，求点𝑁的坐标．

第6页 共28页

◎

第7页 共28页 第8页 共28页

◎

参与试题解析

2020-2021学年安徽省淮南市某校初三（上）12月月考数学试卷

【解析】

设盒子中有𝑥个黄球，则由题意可得𝑥+8=3，解此方程即可求得黄球的个数． 81

一、选择题 1.

【答案】 B

【考点】 中心对称图形 【解析】

根据中心对称图形的概念和各扑克牌的花色排列特点的求解． 【解答】

解：𝐴，不是中心对称图形，不符合题意； 𝐵，是中心对称图形，符合题意； 𝐶，不是中心对称图形，不符合题意； 𝐷，不是中心对称图形，不符合题意． 故选𝐵. 2.

【答案】 C

【考点】 勾股定理 圆周角定理 垂径定理 等腰直角三角形

【解析】

直接利用垂径定理进而结合圆周角定理得出△𝑂𝐷𝐵是等腰直角三角形，进而得出答案. 【解答】

解：∵ 半径𝑂𝐶⊥弦𝐴𝐵于点𝐷，

∴ 𝐴𝐶

̂=𝐵𝐶̂， ∴ ∠𝐸=1

∠𝐵𝑂𝐶=22.5∘

2，

∴ ∠𝐵𝑂𝐷=45∘

，

∴ △𝑂𝐷𝐵是等腰直角三角形. ∵ 𝐴𝐵=4，

∴ 𝐷𝐵=𝑂𝐷=2，

则半径𝑂𝐵等于√22+22=2√2. 故选𝐶． 3. 【答案】 D 【考点】 概率公式

第9页 共28页

【解答】

解：设盒子中有𝑥个黄球， 则由题意可得：81

𝑥+8=3， 解得：𝑥=16.

经检验：𝑥=16是方程的解， 所以盒子中有16个黄球. 故选D. 4.

【答案】 C

【考点】 弧长的计算 【解析】

根据𝐴𝐵=32𝑐𝑚，𝐵𝐷=14𝑐𝑚，可以得到𝐴𝐷的长，然后根据𝐴𝐵，𝐴𝐶夹角为150∘和弧长计算公式可以得到𝐷𝐸⌢

的长．

【解答】

解：∵ 𝐴𝐵=32𝑐𝑚，𝐵𝐷=14𝑐𝑚，𝐴𝐵，𝐴𝐶夹角为150∘， ∴ 𝐴𝐷=𝐴𝐵−𝐵𝐷=18(𝑐𝑚)， ∴ 𝐷𝐸̂的长为：150∘

×𝜋×18180

∘=15𝜋. 故选𝐶. 5.

【答案】 D

【考点】

待定系数法求反比例函数解析式 反比例函数的性质

【解析】

根据反比例函数图象在第一、三象限或在第二、四象限，根据(2, −1)所在象限即可作出判断． 【解答】

解：点(2, −1)在第四象限，则该反比例函数的图象的两个分支在第二、四象限． 故选𝐷． 6. 【答案】 A 【考点】 概率公式

◎ 第10页 共28页

【解析】

由一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径，观察图可得：它有6种路径，且获得食物的有2种路径，然后利用概率公式求解即可求得答案。 【解答】

解：∵ 一只蚂蚁在树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机的选择一条路径， ∴ 它有6种路径，

∵ 获得食物的有2种路径， ∴ 获得食物的概率是2

1

6=3. 故选𝐴． 7.

【答案】 B

【考点】

反比例函数的定义 【解析】 【解答】

解：由题意得{𝑚2−2𝑚−4=−1,

𝑚+1≠0,

解得𝑚=3. 故选𝐵． 8.

【答案】 D

【考点】

反比例函数系数k的几何意义 【解析】

连结𝑂𝐴，如图，利用三角形面积公式得到𝑆△𝑂𝐴𝐵＝𝑆△𝐴𝐵𝐶＝4，再根据反比例函数的比例系数𝑘的几何意义得到1

2|𝑘|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的𝑘的值． 【解答】

解：连接𝑂𝐴，如图，

∵ 𝐴𝐵⊥𝑥轴， ∴ 𝑂𝐶 // 𝐴𝐵，

∴ 𝑆△𝑂𝐴𝐵=𝑆△𝐴𝐵𝐶=4.

第11页 共28页 ∵ 𝑆△𝑂𝐴𝐵=1

2

|𝑘|，

∴ 1

2|𝑘|=4. ∵ 𝑘<0， ∴ 𝑘=−8． 故选𝐷. 9.

【答案】 C

【考点】 勾股定理 圆周角定理 三角形的面积

【解析】

【解答】

解：连接𝐵𝐸，作𝐴𝐹⊥𝐶𝐸于点𝐹，作𝐵𝐺⊥𝐶𝐸于点𝐺.

∵ ∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐴𝐸𝐵=90∘，

∴ 𝐴𝐵为该圆的直径且𝐴𝐵=√82+82=8√2. ∵ ∠𝐵𝐴𝐸=30∘， ∴ 𝐵𝐸=4√2， ∴ 𝐴𝐸=4√6，

故𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐸=𝑆△𝐴𝐶𝐵+𝑆△𝐴𝐵𝐸

=

12×82+1

2×4√2×4√6 =32+16√3.

根据圆周角定义可得∠𝐵𝐸𝐶=∠𝐶𝐴𝐵=45∘，∠𝐴𝐶𝐹=∠𝐴𝐵𝐸=60∘，可得𝐴𝐹=4√3，𝐵𝐺=4， 𝑆四边形𝐴𝐶𝐵𝐸=𝑆△𝐴𝐶𝐸+𝑆△𝐶𝐵𝐸

=

12×4√3×𝐶𝐸+1

2×4×𝐶𝐸 =(2√3+2)𝐶𝐸，

得到𝐶𝐸=4(√3+1)𝑐𝑚. 第12页 共28页

◎

故选𝐶. 10.

【答案】 C

【考点】

二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质 二次函数图象上点的坐标特征 二次函数图象与系数的关系

【解析】

本题考查了二次函数的基础知识，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，要求学生具备一定的理解能力和综合分析能力． 【解答】

解：∵ 抛物线对称轴𝑥=−1，经过(1，0)， ∴ −

𝑏2𝑎

=−1， 𝑎+𝑏+𝑐=0，

∴ 𝑏=2𝑎， 𝑐=−3𝑎， ∵ 抛物线开口向下， ∴ 𝑎<0，

∴ 𝑏<0， 𝑐>0，

∴ 𝑎𝑏>0且𝑐>0，故①错误；

∵ 抛物线对称轴𝑥=−1，经过(1，0)， ∴ (−2，0)和(0，0)关于对称轴对称， ∴ 𝑥=−2时，𝑦>0，

∵ 当𝑥=−2时，𝑦=4𝑎−2𝑏+𝑐>0，故②正确；

∵ 抛物线与𝑥轴交于(1，0)，且对称轴𝑥=−1， ∴ 抛物线与𝑥轴负半轴交于(−3，0)， ∴ 𝑥=−4时，𝑦<0， ∴ 16𝑎−4𝑏+𝑐<0， ∵ 𝑏=2𝑎，

∴ 16𝑎−8𝑎+𝑐<0，即8𝑎+𝑐<0，故③错误； ∵ 𝑐=−3𝑎=3𝑎−6𝑎，𝑏=2𝑎，

∴ 𝑐=3𝑎−3(2𝑎)=3𝑎−3𝑏，故④正确；

∵ 直线𝑦=2𝑥+2与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐两个交点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2， ∴ 方程𝑎𝑥2+(𝑏−2)𝑥+𝑐−2=0的两个根分别为𝑥1，𝑥2， ∴ 𝑥1+𝑥2=−

𝑏−2𝑎

，𝑥1⋅𝑥2=

𝑐−2𝑎

，

∴ 𝑥1+𝑥2+𝑥1⋅𝑥2=−𝑏−2𝑐−2

𝑎+𝑎 =−

2𝑎−2𝑎

+

−3𝑎−2𝑎

=−5，故⑤正确.

综上，②④⑤正确.

故选𝐶.

二、填空题 【答案】

第13页 共28页 (−3,−2) 【考点】

二次函数y=ax^2 、y=a（x-h）^2+k (a≠0)的图象和性质 【解析】

因为顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2+𝑘，其顶点坐标是(ℎ,𝑘),对照求二次函数𝑦=3(𝑥+3)2−2的顶点坐标. 【解答】

解：∵ 二次函数𝑦=3(𝑥+3)2−2是顶点式， ∴ 顶点坐标为(−3,−2). 故答案为：(−3,−2)． 【答案】

𝑦=

100

𝑥 【考点】

根据实际问题列反比例函数关系式 【解析】 由于近视眼镜的度数𝑦（度）与镜片焦距𝑥（米）成反比例，可设𝑦=𝑘

𝑥，由于点(0.25, 400)在此函数解析式上，故可先求得𝑘的值． 【解答】

解：根据题意近视眼镜的度数𝑦（度）与镜片焦距𝑥（米）成反比例，设𝑦=𝑘

𝑥， 由于点(0.25, 400)在此函数解析式上， ∴ 𝑘=0.25×400=100， ∴ 𝑦=

100𝑥

．

故答案为：𝑦=100𝑥

．

【答案】

2√2或2√3 【考点】 切线的性质 等腰直角三角形 勾股定理

【解析】

先根据切线的性质和等腰直角三角形的判定方法证得△𝑂𝐵𝐶,是等腰直角三角形，当∠𝐴𝑂𝐶=90∘，连接𝑂𝐵，根据勾股定理可得斜

边𝐴𝐶的长，当∠𝑂𝐴𝐶=90∘，同理可求． 【解答】

解：连接𝑂𝐵，∵ 𝐵𝐶是⊙𝑂的切线，∴ ∠𝑂𝐵𝐶=90∘. ∵ 𝐵𝐶=𝑂𝐴， ∴ 𝑂𝐵=𝐵𝐶=2，

∴ △𝑂𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴ ∠𝐵𝐶𝑂=45∘， ∴ ∠𝐴𝐶𝑂≤45∘.

∵ 当△𝑂𝐴𝐶是直角三角形时，

第14页 共28页

◎

①∠𝐴𝑂𝐶=90∘，连接𝑂𝐵，

∴ 𝑂𝐶=√2𝑂𝐵=2√2，

∴ 𝐴𝐶=√𝑂𝐴2+𝑂𝐶2=√22+(2√2)2

=2√3； ②当△𝑂𝐴𝐶是直角三角形时，∠𝑂𝐴𝐶=90∘，连接𝑂𝐵.

∵ 𝐵𝐶是⊙𝑂的切线， ∴ ∠𝐶𝐵𝑂=∠𝑂𝐴𝐶=90∘. ∵ 𝐵𝐶=𝑂𝐴=𝑂𝐵，

∴ △𝑂𝐵𝐶是等腰直角三角形， ∴ 𝑂𝐶=2√2.

故答案为：2√2或2√3. 【答案】

2√26 【考点】

反比例函数系数k的几何意义 轴对称——最短路线问题 三角形的面积 勾股定理 【解析】

由正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长是6，得到点𝑀的横坐标和点𝑁的纵坐标为6，求得𝑀(6, 𝑘

𝑘

6)，𝑁(6, 6)，根据三角形的面积列方程得到𝑀(6, 4)，𝑁(4, 6)，作𝑀关于𝑥轴的对称点𝑀′，连接𝑁𝑀′交𝑥轴于𝑃，则𝑁𝑀′的长=𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】

解：∵ 正方形𝑂𝐴𝐵𝐶的边长是6，

∴ 点𝑀的横坐标和点𝑁的纵坐标为6， ∴ 𝑀(6, 𝑘

𝑘

6)，𝑁(6, 6)， ∴ 𝐵𝑁=6−𝑘

𝑘

6，𝐵𝑀=6−6.

第15页 共28页 ∵ △𝑂𝑀𝑁的面积为10，

∴ 6×6−1

𝑘

1

𝑘

1

𝑘

2×6×6−2×6×6−2×(6−26)=10，

∴ 𝑘=24，

∴ 𝑀(6, 4)，𝑁(4, 6).

作𝑀关于𝑥轴的对称点𝑀′，连接𝑁𝑀′交𝑥轴于𝑃，则𝑁𝑀′的长为𝑃𝑀+𝑃𝑁的最小值，

∵ 𝐴𝑀=𝐴𝑀′=4，

∴ 𝐵𝑀′=10，𝐵𝑁=2，

∴ 𝑁𝑀′=√𝐵𝑀′2+𝐵𝑁2=√102+22=2√26.

故答案为：2√26. 三、解答题

【答案】

解：(1)如图所示， 点𝐴1的坐标是(−4, 1)； (2)如图所示，

点𝐴2的坐标是(1, −4)； (3)∵ 点𝐴(4, 1)，

∴ 𝑂𝐴=√12+42=√17， ∴

线段𝑂𝐴在旋转过程中扫过的面积是：

90×𝜋×(√17)2

360

=17𝜋4

．

【考点】

扇形面积的计算 作图-旋转变换 作图-轴对称变换

【解析】

（1）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点𝐴1的坐标； （2）根据题意，可以画出相应的图形，并写出点𝐴2的坐标；

第16页 共28页

◎

（3）根据题意可以求得𝑂𝐴的长，从而可以求得线段𝑂𝐴在旋转过程中扫过的面积． 【解答】

解：(1)如图所示， 点𝐴1的坐标是(−4, 1)； (2)如图所示，

点𝐴2的坐标是(1, −4)； (3)∵ 点𝐴(4, 1)，

∴ 𝑂𝐴=√12+42=√17，

∴ 线段𝑂𝐴在旋转过程中扫过的面积是：

90×𝜋×(√17)2

=17𝜋360

4

．

【答案】

解：(1)当 𝑚=0 时，方程为 𝑥2+𝑥−1=0. 𝛥=12−4×1×(−1)=5>0， ∴ 𝑥=

−1±√52×1， ∴ 𝑥1=−1+√52

,𝑥2=

−1−√52

. (2)∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 𝛥>0，

即1−4×1×(𝑚−1) =1−4𝑚+4 =5−4𝑚>0， ∵ 5−4𝑚>0， ∴ 𝑚<5

4. 【考点】 根的判别式

解一元二次方程-公式法

【解析】 此题暂无解析 【解答】

解：(1)当 𝑚=0 时，方程为 𝑥2+𝑥−1=0. 𝛥=12−4×1×(−1)=5>0， ∴ 𝑥=

−1±√52×1， 第17页 共28页∴ 𝑥1=

−1+√52

,𝑥2=

−1−√52

. (2)∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ 𝛥>0，

即1−4×1×(𝑚−1) =1−4𝑚+4 =5−4𝑚>0， ∵ 5−4𝑚>0， ∴ 𝑚<5

4. 【答案】

解：(1)分别作𝐴𝐵，𝐴𝐶的垂直平分线，设其交点为𝑂，则𝑂为所求圆的圆心.

(2)连接𝐴𝑂交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝑂𝐵． ∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴ 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸=1

2𝐵𝐶=4.

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√52−42=3.

设⊙𝑂的半径为𝑅，在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝑂中，

𝑂𝐵2=𝐵𝐸2+𝑂𝐸2，即𝑅2=42+(𝑅−3)2， ∴ 𝑅2=16+𝑅2−6𝑅+9， ∴ 𝑅=

256

(𝑐𝑚)，

所以所求圆的半径为256

𝑐𝑚． 【考点】

垂径定理的应用

作图—尺规作图的定义 垂径定理 勾股定理

【解析】

(1)作图思路：可根据𝐴𝐵，𝐴𝐶的垂直平分线来确定圆心．

(2)本题可通过构建直角三角形来求解．连接𝐴𝑂交𝐵𝐶于𝐸．先求出𝐴𝐸的值，然后在直角三角形𝑂𝐵𝐸中，用半径表示出𝑂𝐸，𝑂𝐵，然后根据勾股定理求出半径的值．

第18页 共28页

◎

【解答】

解：(1)分别作𝐴𝐵，𝐴𝐶的垂直平分线，设其交点为𝑂，则𝑂为所求圆的圆心.

(2)连接𝐴𝑂交𝐵𝐶于点𝐸，连接𝑂𝐵． ∵ 𝐴𝐵=𝐴𝐶，

∴ 𝐴𝐸⊥𝐵𝐶，𝐵𝐸=1

2𝐵𝐶=4.

在𝑅𝑡△𝐴𝐵𝐸中，𝐴𝐸=√𝐴𝐵2−𝐵𝐸2=√52−42=3. 设⊙𝑂的半径为𝑅，在𝑅𝑡△𝐵𝐸𝑂中，

𝑂𝐵2=𝐵𝐸2+𝑂𝐸2，即𝑅2=42+(𝑅−3)2， ∴ 𝑅2=16+𝑅2−6𝑅+9， ∴ 𝑅=

256

(𝑐𝑚)，

所以所求圆的半径为256

𝑐𝑚． 【答案】 5,20,80

(2)补全条形统计图如图所示，

(3)画树状图为：

由树状图可知，共有20种等可能的结果数，

其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， 所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率𝑃=

123

20

=5

．

第19页 共28页【考点】

用样本估计总体 扇形统计图 条形统计图 列表法与树状图法 概率公式

【解析】

（1）先利用跳绳的人数和它所占的百分比计算出调查的总人数，再用总人数分别减去喜欢其它项目的人数可得到喜欢篮球项目的人数，再计算出喜欢乒乓球项目的百分比，然后用800乘以样本中喜欢篮球项目的百分比可估计全校学生中喜欢篮球项目的人数；

（2）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】

解：(1)调查的总人数为20÷40%=50（人），

所以喜欢篮球项目的同学的人数=50−20−10−15=5（人）； “乒乓球”的百分比=10

50=20%， 因为800×5

50=80，

所以估计全校学生中有80人喜欢篮球项目. 故答案为：5，20，80.

(2)补全条形统计图如图所示，

(3)画树状图为：

由树状图可知，共有20种等可能的结果数，

其中所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的结果数为12， 所以所抽取的2名同学恰好是1名女同学和1名男同学的概率𝑃=12

3

20=5．

【答案】

(1)证明：连结𝑂𝐷，如图：

第20页 共28页

◎

∵ 𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴ ∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝑂.

∵ 𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵， ∴ ∠𝐷𝐴𝐸=∠𝑂𝐴𝐷， ∴ ∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐷𝐴𝐸， ∴ 𝑂𝐷 // 𝐴𝐸. ∵ 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶，

∴ ∠𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=90∘，

∴ ∠𝑂𝐷𝐸=180∘−∠𝐸=90∘， ∴ 𝐷𝐸是⊙𝑂的切线.

(2)解：∵ 𝑂𝐷=𝑂𝐵且𝑂𝐹=1，𝐵𝐹=2， ∴ 𝑂𝐵=3，即𝑂𝐷=3. ∵ 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵， ∴ ∠𝑂𝐹𝐷=90∘. 在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐷中，

𝐷𝐹=√𝑂𝐷2−𝑂𝐹2=√32−12=2√2. 在𝑅𝑡△𝐹𝐷𝐵中，

𝐷𝐵=√𝐷𝐹2+𝐹𝐵2=√(2√2)+22=2√3， ∴ 𝐵𝐷=2√3. 【考点】 圆周角定理 角平分线的性质 切线的判定 平行线的判定 勾股定理

【解析】

（1）连接𝑂𝐷，由等腰三角形的性质及角平分线的性质得出∠𝐴𝐷𝑂＝∠𝐷𝐴𝐸，从而𝑂𝐷 // 𝐴𝐸，由𝐷𝐸 // 𝐵𝐶得∠𝐸＝90∘，由两直线平行，同旁内角互补得出∠𝑂𝐷𝐸＝90∘，由切线的判定定理得出答案；

（2）先由直径所对的圆周角是直角得出∠𝐴𝐷𝐵＝90∘，再由𝑂𝐹＝1，𝐵𝐹＝2得出𝑂𝐵的值，进而得出𝐴𝐹和𝐵𝐴的值，然后证明△𝐷𝐵𝐹∽△𝐴𝐵𝐷，由相似三角形的性质得比例式，从而求得𝐵𝐷2的值，求算术平方根即可得出𝐵𝐷的值． 【解答】

(1)证明：连结𝑂𝐷，如图：

2

∵ 𝑂𝐴=𝑂𝐷， ∴ ∠𝑂𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝑂.

∵ 𝐴𝐷平分∠𝐶𝐴𝐵， ∴ ∠𝐷𝐴𝐸=∠𝑂𝐴𝐷， ∴ ∠𝐴𝐷𝑂=∠𝐷𝐴𝐸， ∴ 𝑂𝐷 // 𝐴𝐸. ∵ 𝐷𝐸 // 𝐵𝐶，

∴ ∠𝐸=∠𝐴𝐶𝐵=90∘，

∴ ∠𝑂𝐷𝐸=180∘−∠𝐸=90∘， ∴ 𝐷𝐸是⊙𝑂的切线.

(2)解：∵ 𝑂𝐷=𝑂𝐵且𝑂𝐹=1，𝐵𝐹=2， ∴ 𝑂𝐵=3，即𝑂𝐷=3. ∵ 𝐷𝐹⊥𝑂𝐵， ∴ ∠𝑂𝐹𝐷=90∘. 在𝑅𝑡△𝑂𝐹𝐷中，

𝐷𝐹=√𝑂𝐷2−𝑂𝐹2=√32−12=2√2. 在𝑅𝑡△𝐹𝐷𝐵中，

𝐷𝐵=√𝐷𝐹2+𝐹𝐵2=√(2√2)+22=2√3， ∴ 𝐵𝐷=2√3.

【答案】

解：把三个茶杯和三个杯盖分别编号为𝐴1，𝐵1，𝐶1和𝐴2，𝐵2，𝐶2，搭配的所有情况如下表：

从表中列举可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等，全部搭配正确的只有一种， ∴ 全部搭配正确的概率为．

61

2

【考点】

列表法与树状图法 【解析】

首先把三个茶杯和三个杯盖分别编号为𝐴1，𝐵1，𝐶1和𝐴2，𝐵2，𝐶2，然后又列举法即可表示出所有等可能的结果，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】

解：把三个茶杯和三个杯盖分别编号为𝐴1，𝐵1，𝐶1和𝐴2，𝐵2，𝐶2，搭配的所有情况如下表：

从表中列举可知，所有可能出现的结果有6种，这些结果出现的可能性相等，全部搭配正确的只有一种， ∴ 全部搭配正确的概率为6．

1

第21页 共28页 ◎ 第22页 共28页

【答案】

1

解：(1)由{𝑦=2𝑥+5，𝑦=−2𝑥， 得{𝑥=−2，𝑦=4，

∴ 𝐴(−2, 4)，

∵ 反比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象经过点𝐴， ∴ 𝑘=−2×4=−8，

∴ 反比例函数的表达式是𝑦=−8

𝑥.

(2)解{𝑦=−8

𝑥

，𝑦=1

得{𝑥=−2， 或{𝑥=−8，2𝑥+5，𝑦=4，𝑦=1， ∴ 𝐵(−8, 1)，

由直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=1

2𝑥+5得到直线与𝑥轴的交点为(−10, 0)，

∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=11

2×10×4−2×10×1=15． 【考点】

反比例函数与一次函数的综合 待定系数法求反比例函数解析式 三角形的面积

【解析】

（1）联立方程求得𝐴的坐标，然后根据待定系数法即可求得；

（2）联立方程求得交点𝐵的坐标，进而求得直线与𝑥轴的交点，然后利用三角形面积公式求得即可． 【解答】

1

解：(1)由{𝑦=2𝑥+5，𝑥=−2，𝑦=−2𝑥， 得{𝑦=4，

∴ 𝐴(−2, 4)，

∵ 反比例函数𝑦=𝑘𝑥的图象经过点𝐴， ∴ 𝑘=−2×4=−8，

∴ 反比例函数的表达式是𝑦=−8

𝑥.

(2)解{𝑦=−8

𝑥

，𝑥=−2，𝑥=−8，𝑦=1

得{2𝑥+5，𝑦=4， 或{𝑦=1， ∴ 𝐵(−8, 1)，

由直线𝐴𝐵的解析式为𝑦=1

2𝑥+5得到直线与𝑥轴的交点为(−10, 0)， ∴ 𝑆△𝐴𝑂𝐵=1

12×10×4−2×10×1=15． 【答案】

第23页 共28页解：(1)∵ 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6经过点𝐴(6, 0)，𝐵(−1, 0)， ∴ {𝑎−𝑏+6=0，36𝑎+6𝑏+6=0，

∴ {𝑎=−1，𝑏=5，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6=−(𝑥−5

2)2+

494

，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6，顶点坐标为(549

2

, 4

).

(2)由(1)知，抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6，

∴ 𝐶(0, 6)， ∴ 𝑂𝐶=6. ∵ 𝐴(6, 0)， ∴ 𝑂𝐴=6， ∴ 𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=45∘.

∵ 𝑃𝐷平行于𝑥轴，𝑃𝐸平行于𝑦轴，

∴ ∠𝐷𝑃𝐸=90∘，∠𝑃𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝑂=45∘， ∴ ∠𝑃𝐸𝐷=45∘， ∴ ∠𝑃𝐷𝐸=∠𝑃𝐸𝐷， ∴ 𝑃𝐷=𝑃𝐸，

∴ 𝑃𝐷+𝑃𝐸=2𝑃𝐸，

∴ 当𝑃𝐸的长度最大时，𝑃𝐸+𝑃𝐷取最大值. ∵ 𝐴(6, 0)，𝐶(0, 6)，

∴ 直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+6， 设𝐸(𝑡, −𝑡+6)(0<𝑡<6)， 则𝑃(𝑡, −𝑡2+5𝑡+6)，

∴ 𝑃𝐸=−𝑡2+5𝑡+6−(−𝑡+6) =−𝑡2+6𝑡=−(𝑡−3)2+9，

当𝑡=3时，𝑃𝐸最大，此时，𝑦𝑃=12， ∴ 𝑃(3, 12).

(3)如图(2)，设直线𝐴𝐶与抛物线的对称轴𝑙的交点为𝐹，连接𝑁𝐹， 第24页 共28页

◎

∵ 点𝐹在线段𝑀𝑁的垂直平分线𝐴𝐶上， ∴ 𝐹𝑀=𝐹𝑁，∠𝑁𝐹𝐶=∠𝑀𝐹𝐶. ∵ 𝑙 // 𝑦轴，

∴ ∠𝑀𝐹𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=45∘，

∴ ∠𝑀𝐹𝑁=∠𝑁𝐹𝐶+∠𝑀𝐹𝐶=90∘， ∴ 𝑁𝐹 // 𝑥轴.

由(2)知，直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+6，当𝑥=5

7

2时，𝑦=2， ∴ 𝐹(572, 2)，

∴ 点𝑁的纵坐标为7

2，

设𝑁的坐标为(𝑚, −𝑚2+5𝑚+6)， ∴ −𝑚2+5𝑚+6=72，

解得，𝑚=

5+√35√352

或𝑚=

5−2

，

∴ 点𝑁的坐标为(

5+√3575−√3572

, 2)或(2

, 2)．

【考点】

等腰三角形的性质：三线合一

二次函数y=ax^2+bx+c (a≠0)的图象和性质 待定系数法求一次函数解析式 二次函数综合题

待定系数法求二次函数解析式

第25页 共28页二次函数的最值 等腰直角三角形

【解析】

（1）将点𝐴，𝐵坐标代入抛物线解析式中，解方程组即可得出结论；

（2）先求出𝑂𝐴＝𝑂𝐶＝6，进而得出∠𝑂𝐴𝐶＝45∘，进而判断出𝑃𝐷＝𝑃𝐸，即可得出当𝑃𝐸的长度最大时，𝑃𝐸+𝑃𝐷取最大值，设出点𝐸坐标，表示出点𝑃坐标，建立𝑃𝐸＝−𝑡2+6𝑡＝−(𝑡−3)2+9，即可得出结论； （3）先判断出𝑁𝐹 // 𝑥轴，进而求出点𝑁的纵坐标，即可建立方程求解得出结论． 【解答】

解：(1)∵ 抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+6经过点𝐴(6, 0)，𝐵(−1, 0)， ∴ {𝑎−𝑏+6=0，36𝑎+6𝑏+6=0，

∴ {𝑎=−1，𝑏=5，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6=−(𝑥−5

)2492+

4

，

∴ 抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6，顶点坐标为(5, 49

2

4

).

(2)由(1)知，抛物线的解析式为𝑦=−𝑥2+5𝑥+6， ∴ 𝐶(0, 6)， ∴ 𝑂𝐶=6.

∵ 𝐴(6, 0)， ∴ 𝑂𝐴=6， ∴ 𝑂𝐴=𝑂𝐶， ∴ ∠𝑂𝐴𝐶=45∘.

∵ 𝑃𝐷平行于𝑥轴，𝑃𝐸平行于𝑦轴，

∴ ∠𝐷𝑃𝐸=90∘，∠𝑃𝐷𝐸=∠𝐷𝐴𝑂=45∘， ∴ ∠𝑃𝐸𝐷=45∘， ∴ ∠𝑃𝐷𝐸=∠𝑃𝐸𝐷， ∴ 𝑃𝐷=𝑃𝐸，

∴ 𝑃𝐷+𝑃𝐸=2𝑃𝐸，

∴ 当𝑃𝐸的长度最大时，𝑃𝐸+𝑃𝐷取最大值. ∵ 𝐴(6, 0)，𝐶(0, 6)，

∴ 直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+6， 设𝐸(𝑡, −𝑡+6)(0<𝑡<6)， 则𝑃(𝑡, −𝑡2+5𝑡+6)，

∴ 𝑃𝐸=−𝑡2+5𝑡+6−(−𝑡+6) =−𝑡2+6𝑡=−(𝑡−3)2+9，

当𝑡=3时，𝑃𝐸最大，此时，𝑦𝑃=12， ∴ 𝑃(3, 12).

(3)如图(2)，设直线𝐴𝐶与抛物线的对称轴𝑙的交点为𝐹，连接𝑁𝐹，

第26页 共28页

◎

∵ 点𝐹在线段𝑀𝑁的垂直平分线𝐴𝐶上， ∴ 𝐹𝑀=𝐹𝑁，∠𝑁𝐹𝐶=∠𝑀𝐹𝐶. ∵ 𝑙 // 𝑦轴，

∴ ∠𝑀𝐹𝐶=∠𝑂𝐶𝐴=45∘，

∴ ∠𝑀𝐹𝑁=∠𝑁𝐹𝐶+∠𝑀𝐹𝐶=90∘， ∴ 𝑁𝐹 // 𝑥轴.

由(2)知，直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=−𝑥+6，当𝑥=5

7

2时，𝑦=2， ∴ 𝐹(572, 2)，

∴ 点𝑁的纵坐标为7

2，

设𝑁的坐标为(𝑚, −𝑚2+5𝑚+6)， ∴ −𝑚2+5𝑚+6=72，

解得，𝑚=

5+√35√352

或𝑚=

5−2

，

∴ 点𝑁的坐标为(

5+√3575−√3572

, 2)或(2

, 2)．

第27页 共28页 第28页 共28页 ◎