2020年四川省成都市中考数学训练试卷(一) (解析版)

一、选择题

1．4的算术平方根是（ ） A．4

B．2

C．±2

D．±4

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3．PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．2.5×105

B．2.5×106

C．2.5×10﹣5

D．2.5×10﹣6

4．方程x2﹣3x+2＝0的解是（ ） A．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2 5．下列计算正确的是（ ） A．x3+x2＝x5

B．x3•x2＝x5

C．x6÷x2＝x3

D．（x3）2＝x5

B．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2

6．如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（ ） A．﹣3

B．﹣6

C．3

D．6

8．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（ ） A．y＝2x2+3

B．y＝﹣2x2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3

9．如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

10．如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．分式方程

＝的解为 ．

2

y1）P（y2）12．已知点P（，在二次函数y＝（x+1）﹣2的图象上，则y1 y2．（填1﹣2，22，

“＞”，“＜”或“＝”）

13．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为 ．

BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线， 14．如图，若∠C＝40°，则∠A的度数为 ．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（1）计算：2cos45°﹣|﹣ （2）解不等式组：

|+（．

）0﹣（﹣2）2；

16．计算：（+）÷．

17．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）

18．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：

成绩 优秀 良好 合格 不合格

（1）该校初四学生共有多少人？

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

频数 45 a 105 60

频率 b 0.3 0.35 c

19．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（a，4），

一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．

20．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：CD•DE＝2OD•PD；

（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求PA的长．

的中点．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

21．已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为 ．

22．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组集中有且只有3个非负整数解的概率为 ．

23．在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已

的解

知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为 ． 24．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2

，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE

折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为 ．

25．如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若

＝

，则b的值为 ．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯． （1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？

（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？

27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1； （1）求证：△AA1E∽△BB1E；

（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F；

（3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．

28．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形． （1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；

（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．

参

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求） 1．4的算术平方根是（ ） A．4

B．2

C．±2

D．±4

【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．

解：∵22＝4， ∴4算术平方根为2． 故选：B．

2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C．

3．PM2.5是指大气中直径不大于0.0000025米的颗粒物，将0.0000025用科学记数法表示为（ ） A．2.5×105

B．2.5×106

C．2.5×10﹣5

D．2.5×10﹣6

﹣

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10n，与较

大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 解：0.0000025＝2.5×10﹣6， 故选：D．

4．方程x2﹣3x+2＝0的解是（ ） A．x1＝1，x2＝2 C．x1＝1，x2＝﹣2

B．x1＝﹣1，x2＝﹣2 D．x1＝﹣1，x2＝2

【分析】把方程的左边的式子进行分解，得出两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为0，这两式中至少有一式值为0”来解题． 解：原方程可化为：（x﹣1）（x﹣2）＝0 ∴x1＝1，x2＝2． 故选：A．

5．下列计算正确的是（ ） A．x3+x2＝x5

B．x3•x2＝x5

C．x6÷x2＝x3

D．（x3）2＝x5

【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方，对各选项分析判断后利用排除法求解．

解：A、x3与x2不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、x3•x2＝x5，原计算正确，故此选项符合题意； C、x6÷x2＝x4，原计算错误，故此选项不符合题意； D、（x3）2＝x6，原计算错误，故此选项不符合题意． 故选：B．

6．如图是由几个相同的小正方体组成的一个几何体，若该几何体的俯视图的面积为5，则这个几何体的主视图的面积为（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 解：根据该几何体的俯视图的面积为5，可知每个小正方体的棱长为1，

从正面看有两层，底层是三个正方形，上层是一个正方形，所以这个几何体的主视图的面积为4． 故选：B．

7．已知点A（2，m），B（﹣1，6）在反比例函数y＝的图象上，则m的值为（ ）

A．﹣3 B．﹣6 C．3 D．6

【分析】将点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出方程组，通过解方程组求得k、m的值即可．

解：把点A（2，m），B（﹣1，6）分别代入，得．

解得k＝﹣6，m＝﹣3． 故选：A．

8．将二次函数y＝x2的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的二次函数的表达式为（ ） A．y＝2x2+3

B．y＝﹣2x2﹣3

C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3

【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式． 解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，3）， 又因为平移不改变二次项系数，

所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2+3． 故选：D．

9．如图，在周长为12cm的▱ABCD中，AB＜AD，AC、BD相交于点O，OE⊥BD交AD于E，则△ABE的周长为（ ）

A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm

【分析】根据平行四边形的性质得出OB＝OD，进而利用线段垂直平分线得出BE＝ED，进而解答即可．

解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD， ∵OE⊥BD，

∴OE是BD的线段垂直平分线，

∴BE＝ED，

∵△ABE的周长＝AB+AE+BE＝AB+AE+ED＝AB+AD＝6cm． 故选：C．

10．如图，⊙O的半径为5，OC垂直弦AB于点C，OC＝3，则弦AB的长为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．8

【分析】连接OA，由垂径定理得：AC＝BC，根据勾股定理，可以求出AC的长，从而得AB的长． 解：如图，连接OA，

∵OC⊥AB于点C， ∴AC＝BC， ∵⊙O的半径是5， ∴OA＝5， 又OC＝3，

所以在Rt△AOC中，AC＝所以AB＝2AC＝8． 故选：D．

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分） 11．分式方程

＝的解为 x＝2 ．

＝

＝4，

【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解：去分母得：5x＝6x﹣2， 解得：x＝2，

经检验x＝2是分式方程的解． 故答案为：x＝2．

12．已知点P1（﹣2，y1），P2（2，y2）在二次函数y＝（x+1）2﹣2的图象上，则y1 ＜ y2．（填“＞”，“＜”或“＝”）

【分析】根据点P1、P2的横坐标结合二次函数图象上点的坐标特征，即可得出y1、y2的值，比较后即可得出结论．

解：当x＝﹣2时，y1＝（﹣2+1）2﹣2＝﹣1； 当x＝2时，y2＝（2+1）2﹣2＝7． ∵﹣1＜7， ∴y1＜y2． 故答案为＜．

13．如图，正方形ABCD的边长为2，BE平分∠DBC交CD于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCF，延长BE交DF于G，则BF的长为 6﹣2

．

【分析】过点E作EM⊥BD于点M，则△DEM为等腰直角三角形，根据角平分线以及等腰直角三角形的性质即可得出ME的长度，再根据正方形以及旋转的性质即可得出线段BF的长．

解：过点E作EM⊥BD于点M，如图所示． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BDC＝45°，∠BCD＝90°， ∴△DEM为等腰直角三角形． ∴EM＝

DE，

∵BE平分∠DBC，EM⊥BD， ∴EM＝EC， 设EM＝EC＝x， ∵CD＝2， ∴DE＝2﹣x，

∴x＝（2﹣x），

， ，

， ．

解得x＝4﹣2∴CM＝4﹣2

由旋转的性质可知：CF＝CE＝4﹣2∴BF＝BC+CF＝2+4﹣2故答案为：6﹣2

．

＝6﹣2

14．如图，BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线，若∠C＝40°，则∠A的度数为 100° ．

【分析】连接OD，根据圆周角定理求出∠BOD，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，∠ADO＝90°，根据四边形内角和等于360°计算即可． 解：连接OD，

由圆周角定理得，∠BOD＝2∠C＝80°， ∵BC是⊙O的直径，AB、AD是⊙O的切线， ∴OB⊥AB，OD⊥AD，

∴∠ABO＝90°，∠ADO＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠BOD＝100°， 故答案为：100°．

三、解答题（本大题共6个小题，共54分） 15．（1）计算：2cos45°﹣|﹣ （2）解不等式组：

|+（．

）0﹣（﹣2）2；

【分析】（1）本题涉及零指数幂、平方、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简5个知识点．在计算时，需要针对每个知识点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

（2）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可得解． 解：（1）2cos45°﹣|﹣＝2×＝

﹣

﹣

+1﹣4

|+（

）0﹣（﹣2）2

+1﹣4

＝﹣3； （2）

，

解不等式①得x＞1.5； 解不等式②得x≤3．

故不等式组的解集为1.5＜x≤3． 16．计算：（

+

）÷

．

【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果． 解：原式＝＝＝

．

•

•

17．数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆AB的高度．如图，老师测得升旗台前斜坡AC的坡度为1：10（即AE：CE＝1：10），学生小明站在离升旗台水平距离为35m（即CE＝35m）处的C点，测得旗杆顶端B的仰角α＝30°，已知小明身高CD＝1.6m，求旗杆AB的高度．（参考数据：tan30°≈0.58，结果保留整数）

【分析】首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，进而求得BE、AE的大小，再利用AB＝BE﹣AE可求出答案． 解：作DG⊥AE于G，则∠BDG＝α， 则四边形DCEG为矩形．

∴DG＝CE＝35m，EG＝DC＝1.6m

在直角三角形BDG中，BG＝DG•×tanα＝35×0.58＝20.3m， ∴BE＝20.3+1.6＝21.9m．

∵斜坡AC的坡比为iAC＝1：10，CE＝35m， ∴EA＝35×

＝3.5，

∴AB＝BE﹣AE＝21.9﹣3.5≈18m． 答：旗杆AB的高度为18m．

18．为了解今年初四学生的数学学习情况，某校在第一轮模拟测试后，对初四全体同学的数学成绩作了统计分析，绘制如下图表：请结合图表所给出的信息解答系列问题：

成绩

频数

频率

优秀 良好 合格 不合格

（1）该校初四学生共有多少人？

45 a 105 60

b 0.3 0.35 c

（2）求表中a，b，c的值，并补全条形统计图．

（3）初四（一）班数学老师准备从成绩优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中任意抽取两名同学做学习经验介绍，求恰好选中甲、乙两位同学的概率．

【分析】（1）利用合格的人数除以该组频率进而得出该校初四学生总数； （2）利用（1）中所求，结合频数÷总数＝频率，进而求出答案；

（3）根据题意画出树状图，然后求得全部情况的总数与符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

解：（1）由题意可得：该校初四学生共有：105÷0.35＝300（人）， 答：该校初四学生共有300人；

（2）由（1）得：a＝300×0.3＝90（人）， b＝c＝

＝0.15， ＝0.2；

如图所示；

（3）画树形图得：

∴一共有12种情况，抽取到甲和乙的有2种， ∴P（抽到甲和乙）＝

＝．

19．如图，一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象与反比例函数y＝的图象都经过点A（a，4），一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）将直线AB向下平移5个单位长度后与第四象限内的反比例函数图象交于点D，连接AD、BD，求△ADB的面积．

【分析】（1）先由一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0），得出3k+b＝0①，由于一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），根据三角形的面积公式可求得b的值，然后利用待定系数法即可求得函数解析式；

（2）将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3，得到E（﹣，0），解方程组得到B（6，﹣2），连接AE，BE，根据三角形的面积公式即可得到结论．

解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k＜0）的图象经过点C（3，0）， ∴3k+b＝0①，点C到y轴的距离是3， ∵k＜0， ∴b＞0，

∵一次函数y＝kx+b的图象与y轴的交点是（0，b）， ∴×3×b＝3， 解得：b＝2．

把b＝2代入①，解得：k＝﹣，则函数的解析式是y＝﹣x+2． 故这个函数的解析式为y＝﹣x+2；

把点A（a，4）代入y＝﹣x+2得，4＝﹣a+2， 解得：a＝﹣3， ∴A（﹣3，4）， ∴m＝﹣12，

∴反比例函数的解析式为y＝﹣

；

（2）∵将直线AB向下平移5个单位后得到直线ED的解析式为y＝﹣x﹣3， 当y＝0时，即0＝﹣x﹣3， 解得：x＝﹣， ∴E（﹣，0），

解得，，，

∴B（6，﹣2）， 连接AE，BE， ∵AB∥DE，

∴S△ADB＝S△AEB＝（3+）×4+

（3+）×2＝

．

20．如图，AB为⊙O的直径，P为BA延长线上一点，点C在⊙O上，连接PC，D为半径OA上一点，PD＝PC，连接CD并延长交⊙O于点E，且E是（1）求证：PC是⊙O的切线； （2）求证：CD•DE＝2OD•PD；

（3）若AB＝8，CD•DE＝15，求PA的长．

的中点．

【分析】（1）连接OC，OE，根据等腰三角形的性质得到∠E＝∠OCE，求得∠E+∠ODE＝90°，得到∠PCD＝∠ODE，得到OC⊥PC，于是得到结论； （2）连接AC，BE，BC，根据相似三角形的性质得到﹣OD2；由△ACP∽△CBP，得到

，

＝

，推出CD•DE＝AO2

得到PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，于是得到结论；

（3）由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2；把已知条件代入得到OD＝1（负值舍去），求得AD＝3，由（2）知，CD•DE＝2OD•PD，于是得到结论． 【解答】（1）证明：连接OC，OE， ∵OC＝OE， ∴∠E＝∠OCE， ∵E是∴

＝

的中点， ，

∴∠AOE＝∠BOE＝90°，

∴∠E+∠ODE＝90°， ∵PC＝PD， ∴∠PCD＝∠PDC， ∵∠PDC＝∠ODE， ∴∠PCD＝∠ODE，

∴∠PCD+∠OCD＝∠ODE+∠E＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线；

（2）证明：连接AC，BE，BC， ∵∠ACD＝∠DBE，∠CAD＝∠DEB， ∴△ACD∽△EBD， ∴

＝

，

∴CD•DE＝AD•BD＝（AO﹣OD）（AO+OD）＝AO2﹣OD2； ∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠PCO＝90°，

∴∠ACP+∠ACO＝∠ACO+∠BCO＝90°， ∴∠ACP＝∠BCO， ∵∠BCO＝∠CBO， ∴∠ACP＝∠PBC， ∵∠P＝∠P， ∴△ACP∽△CBP， ∴

，

∴PC2＝PB•PA＝（PD+DB）（PD﹣AD）＝（PD+OD+OA）（PD+OD﹣OA）＝（PD+OD）

2

﹣OA2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2，

∵PC＝PD，

∴PD2＝PD2+2PD•OD+OD2﹣OA2， ∴OA2﹣OD2＝2OD•PD， ∴CD•DE＝2OD•PD；

（3）解：∵AB＝8， ∴OA＝4，

由（2）知，CD•DE＝AO2﹣OD2； ∵CD•DE＝15， ∴15＝42﹣OD2， ∴OD＝1（负值舍去）， ∴AD＝3，

由（2）知，CD•DE＝2OD•PD， ∴PD＝

＝

，

∴PA＝PD﹣AD＝．

一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）

21．已知直线y＝ax+b经过点（﹣1，2），则a﹣b的值为 ﹣2 ．

【分析】由点的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出a﹣b的值，此题得解．解：∵直线y＝ax+b经过点（﹣1，2）， ∴2＝﹣a+b， ∴a﹣b＝﹣2． 故答案为：﹣2．

22．有四张正面分别标有数字﹣2，﹣6，2，6的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中抽取一张，将该卡片上的数字记为a；不放回，再从中抽取一张，将该卡片上的数字记为b，则使关于x的不等式组

的解

集中有且只有3个非负整数解的概率为 ．

【分析】首先根据题意可求得，所有可能结果，然后解不等式组求得不等式组的解集得

出符合要求的点的坐标，再利用概率公式即可求得答案． 解：根据题意列出树状图得：

则（a，b）的等可能结果有：（﹣2，﹣6），（﹣2，2），（﹣2，6），（﹣6，﹣2），（﹣6，2），

（﹣6，6），（2，﹣2），（2，6），（2，﹣6），（6，﹣2），（6，2），（6，﹣6）共12种；

，

解①得：x＜7， 当a＞0， 解②得：x＞，

根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解， 则3＜x＜7时符合要求， 故＝3，

即b＝6，a＝2符合要求， 当a＜0， 解②得：x＜，

根据不等式组的解集中有且只有3个非负整数解， 则x＜3时符合要求， 故＝3，

即b＝﹣6，a＝﹣2符合要求， 故所有组合中只有2种情况符合要求， 故使关于x的不等式组

的解集中有且只有3个非负整数解的概率为：

＝．

故答案为：．

23．在平面直角坐标系中，若点P（a，b）的坐标满足a＝b≠0，则称点P为“对等点”．已知二次函数y＝x2+mx﹣m的图象上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为 1 ．

【分析】设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a），代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．

解：设这两个“对等点”的坐标为（a．a）和（﹣a，﹣a）， 代入y＝x2+mx﹣m得①﹣②得2a＝2am， 解得m＝1， 故答案为1．

24．如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝2

，E是边CD上一点，将△ADE沿直线AE，

折叠得到△AFE，BF的延长线交边CD于点G，则DG的最大值为 2 ．

【分析】如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧，过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F，此时点E和点G重合，DG的最大值即为DE的长．再根据矩形性质和勾股定理即可求出DG的长．

解：如图，以点A为圆心，AD长为半径画弧， 过点B作弧的切线交CD于点G，切点为F， 此时点E和点G重合， DG的最大值即为DE的长．

∵BC＝AD＝2AB＝CD＝6， 根据翻折可知： DE＝EF＝x， AF＝AD＝2

，

，

则CE＝CD﹣DE＝6﹣x，

在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 BF＝

＝4，

则BE＝BF+EF＝4+x，

在Rt△BEC中，根据勾股定理，得 （4+x）2＝（6﹣x）2+（2解得x＝2．

则DG的最大值为2． 故答案为：2．

25．如图，直线y＝﹣x+b与x、y轴的正半轴交于点A，B，与双曲线y＝﹣交于点C（点C在第二象限内），点D，过点C作CE⊥x轴于点E，记四边形OBCE的面积为S1，△OBD的面积为S2，若

＝

，则b的值为 3 ． ）2，

【分析】根据双曲线的对称性得到BC＝AD，设BC＝AD＝a，用a表示出点C和得D的坐标，根据梯形面积公式、三角形面积公式求出a、b的关系，根据反比例函数图象上点的坐标特征列出方程，解方程求出b．

解：由题意点B的坐标为（0，b），点A的坐标为（b，0）， ∴OA＝OB＝b，

∵直线y＝﹣x+b关于直线y＝x对称，反比例函数y＝﹣关于y＝x对称， ∴BC＝AD，

设BC＝AD＝a，则C（﹣

a，b+

a），D（b+

a，﹣

a），

∵＝，

∴＝，

整理得，12a2+17解得，a1＝

ab﹣14b2＝0，

b（舍去），

b，a2＝﹣

则D（b，﹣b）， ∴b×（﹣b）＝﹣4， 解得，b1＝3，b2＝﹣3（舍去）， ∴b＝3， 故答案为：3．

二、解答题（本大题共3个小题，共30分）

26．某商场打算在年前用30000元购进一批彩灯进行销售，由于进货厂家促销，实际可以

以8折的价格购进这批彩灯，结果可以比计划多购进了100盏彩灯． （1）该商场购进这种彩灯的实际进价为多少元？

（2）该商场打算在实际进价的基础上，每盏灯加价50%的销售，但可能会面临滞销，因此将有20%的彩灯需要降价，以5折出售，该商场要想获利不低于15000元，应至少在购进这种彩灯多少盏？

【分析】（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元，根据实际比计划多购进100盏彩灯，列方程求解；

（2）设再购进彩灯a盏，根据利润＝售价﹣进价和货栈要想获得利润不低于15000元列出不等式并解答．

解：（1）设该商场实际购进每盏彩灯为x元，则实际进价为0.8x元， 依题意得：解得x＝75，

经检验x＝75是所列方程的根， 则0.8x＝0.8×75＝60（元）．

答：该货栈实际购进每盏彩灯为60元；

（2）设再购进彩灯a盏，

由（1）知，实际购进30000÷60＝500（盏），

依题意得：（500+a）（1﹣20%）×60×50%+（500+a）×20%×[60×（1+50%）×0.5﹣60]≥15000， 解得a≥

．

＝

+100，

因为a取正整数， 所以a＝215．

答：至少再购进彩灯215盏．

27．如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接AE，将△ABE绕点E顺时针旋转得到△A1B1E，点B1在正方形ABCD内，连接AA1、BB1； （1）求证：△AA1E∽△BB1E；

（2）延长BB1分别交线段AA1，DC于点F、G，求证：AF＝A1F； （3）在（2）的条件下，若AB＝4，BE＝1，G是DC的中点，求AF的长．

【分析】（1）由EB＝EB1，EA＝EA1，可得∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A，由∠BEB1＝∠AEA1，可得∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A，由此即可证明； （2）连接BF，延长EB1交AA1于M．由△MFB1∽△MEA1，推出△MEF∽△MA1B1，推出∠MFE＝∠MB1A1＝90°，即EF⊥AA1，由EA＝EA1，可得AF＝FA1； （3）首先求出AE，由cos∠GBC＝cos∠EAF＝根据AF＝AE•cos∠EAF，计算即可；

【解答】（1）证明：如图∵EB＝EB1，EA＝EA1， ∴∠EBB1＝∠EB1B，∠EAA1＝∠EA1A， ∵∠BEB1＝∠AEA1，

∴∠EBB1＝∠EB1B＝∠EAA1＝∠EA1A， ∴△AA1E∽△BB1E．

（2）证明：连接BF，延长EB1交AA1于M． ∵∠BB1B＝∠FB1M＝∠MA1E，∠FMB1＝∠EMA1， ∴△MFB1∽△MEA1， ∴

＝

，

＝

＝

，在Rt△AEF中，

∴＝，∵∠EMF＝∠A1MB1，

∴△MEF∽△MA1B1， ∴∠MFE＝∠MB1A1＝90°， ∴EF⊥AA1， ∵EA＝EA1， ∴AF＝FA1．

（3）解：在Rt△ABE中，∵AB＝4，BE＝1， ∴AE＝∵DG＝GC，

∴cos∠GBC＝cos∠EAF＝

＝

＝

， •

＝

．

＝

，

在Rt△AEF中，AF＝AE•cos∠EAF＝

28．如图，已知二次函数y＝ax2﹣8ax+6（a＞0）的图象与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，点D在抛物线的对称轴上，且四边形ABDC为平行四边形． （1）求此抛物线的对称轴，并确定此二次函数的表达式；

（2）点E为x轴下方抛物线上一点，若△ODE的面积为12，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为M，点P是抛物线的对称轴上一动点，连接PE、EM，过点P作PE的垂线交抛物线于点Q，当∠PQE＝∠EMP时，求点Q到抛物线的对称轴的距离．

【分析】（1）先求出对称轴为x＝4，进而求出AB＝4，进而求出点A，B坐标，即可得出结论；

（2）利用面积的和差建立方程求解，即可得出结论；

（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，先判断出点E，M，Q，P四点共圆，得出∠EMQ＝90°，利用同角的余角相等判断出∠EMF＝∠HGM，得出tan∠EMF＝HG＝HM＝1，进而求出Q（8，6），得出结论；

Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，先判断出△PDQ∽△EFP，得出出DP＝，PF＝2QD，即可得出结论． 解：（1）对称轴为直线x＝﹣∵四边形ABDC为平行四边形， ∴DC∥AB，DC＝AB， ∴DC＝AB＝4，

∴A（2，0），B（6，0），

把点 A（2，0）代入得y＝ax2﹣8ax+12得4a﹣16a+6＝0，解得a＝， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6；

（2）如图1，设E（m，m2﹣4m+6），其中2＜m＜6， 作EN⊥y轴于N，如图2，

∵S梯形CDEN﹣S△OCD﹣S△OEN＝S△ODE，

∴（4+m）（6﹣m2+4m﹣6）﹣×4×6﹣m（﹣m2+4m﹣6）＝12， 化简得：m2﹣11m+24＝0，解得m1＝3，m2＝8（舍）， ∴点E的坐标为（3，﹣）；

（3）Ⅰ、当点Q在对称轴右侧时，如图2， 过点E作EF⊥PM于F，MQ交x轴于G， ∵∠PQE＝∠PME，

∴点E，M，Q，P四点共圆， ∵PE⊥PQ，

＝4，则CD＝4，

，进而判断＝2，得出

∴∠EPQ＝90°， ∴∠EMQ＝90°， ∴∠EMF+∠HMG＝90°， ∵∠HMG+∠HGM＝90°， ∴∠EMF＝∠HGM，

在Rt△EFM中，EF＝1，FM＝，tan∠EMF＝＝2，

∴tan∠HGM＝2， ∴

，

∴HG＝HM＝1， ∴点G（5，0）， ∵M（4，﹣2），

∴直线MG的解析式为y＝2x﹣10①， ∵二次函数解析式为y＝x2﹣4x+6②， 联立①②解得，（舍）或

，

∴Q（8，6），

∴点Q到对称轴的距离为8﹣4＝4； Ⅱ、当点Q在对称轴左侧时，如图3，

过点E作EF⊥PM于F，过点Q作QD⊥PM于D， ∴∠DQP+∠QPD＝90°， ∵∠EPQ＝90°， ∴∠DPQ+∠FPE＝90°， ∴∠DQP＝∠FPE， ∵∠PDQ＝∠EFP， ∴△PDQ∽△EFP， ∴

，

由Ⅰ知，tan∠PQE＝＝2， ∵EF＝1，

∴＝，

∴DP＝，PF＝2QD， 设Q（n，n2﹣4n+6）， ∴DQ＝4﹣n，DH＝n2﹣4n+6，

∴PF＝DH+FH﹣DP＝n2﹣4n+6+﹣＝n2﹣4n+7， ∴n2﹣4n+7＝2（4﹣n）， ∴n＝2+

（舍）或n＝2﹣

，

． ，

∴DQ＝4﹣n＝2+

即点Q到对称轴的距离为4或2+