【条件】概率论与数理统计知识点总结免费

【关键字】条件

《概率论与数理统计》

第一章 概率论的基本概念

§2．样本空间、随机事件

1．事件间的关系 AB 则称事件B包含事件A，指事件A发生必然导致事件B发生 AB {xxA或xB}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件AB发生

AB {xxA且xB}称为事件A与事件B的积事件，指当A，B同时发生时，事件AB发生

A—B {xxA且xB}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A—B发生

AB，则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的

AB S且AB，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件

2．运算规则 交换律ABBA ABBA

结合律(AB)CA(BC) (AB)CA(BC) 分配律A（BC）(AB)(AC) 徳摩根律ABA B ABAB

—§3．频率与概率

定义 在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数nA称为事件A发生的频数，比值nAn称为事件A发生的频率

概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），

称为事件的概率

1．概率P(A)满足下列条件：

（1）非负性：对于每一个事件A 0P(A)1 （2）规范性：对于必然事件S P(S)1

（3）可列可加性：设A1,A2,,An是两两互不相容的事件，有P(A)P(A)（n可

kkk1k1nn1文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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以取）

2．概率的一些重要性质： （i）P()0

（ii）若A1,A2,,An是两两互不相容的事件，则有P(A)P(A)（n可以取）

kkk1k1nn（iii）设A，B是两个事件若AB，则P(BA)P(B)P(A)，P(B)P(A) （iv）对于任意事件A，P(A)1

（v）P(A)1P(A) （逆事件的概率）

（vi）对于任意事件A，B有P(AB)P(A)P(B)P(AB)

§4等可能概型（古典概型）

等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件

A

包含

k

个基本事件，即A{ei1]}{ei2}{eik}，里

i1，i2,，ik是1,2，n中某k个不同的数，则有P(A)P{eij}j1kkA包含的基本事件数 nS中基本事件的总数§5．条件概率

（1） 定义：设A,B是两个事件，且P(A)0，称P(B|A)件下事件B发生的条件概率

（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件

1非负性：对于某一事件B，有P(B|A)0

2规范性：对于必然事件S，P(S|A)1

3可列可加性：设B1,B2,是两两互不相容的事件，则有

。。

P(AB)为事件A发生的条P(A)P(BiA)P(BiA)

i1i1（3） 乘法定理 设P(A)0，则有P(AB)P(B)P(A|B)称为乘法公式

（4） 全概率公式： P(A)P(B)P(A|B)

iii1n2文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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贝叶斯公式： P(Bk|A)P(Bk)P(A|Bk)P(B)P(A|B)iii1n

§6．性

定义 设A，B是两事件，如果满足等式P(AB)P(A)P(B)，则称事件A,B相互 定理一 设A，B是两事件，且P(A)0，若A，B相互，则P(B|A)PB

A与B，A与B 定理二 若事件A和B相互，则下列各对事件也相互：A与B，————第二章 随机变量及其分布

§1随机变量

定义 设随机试验的样本空间为S{e}. XX(e)是定义在样本空间S上的实值单值函数，称XX(e)为随机变量

§2离散性随机变量及其分布律

1． 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随

机变量称为离散型随机变量

P(Xxk)pk满足如下两个条件（1）pk0，（2）Pk=1

k12． 三种重要的离散型随机变量 （1）分布

设随机变量X只能取

0与1两个值，它的分布律是

分布或两

k1-kP(Xk)p（1-p），k0,1（0p1)，则称X服从以p为参数的

点分布。

（2）伯努利实验、二项分布

设实验E只有两个可能结果：A与A，则称E为伯努利实验.设

—P(A)p（0p1)，此时P(A)1-p.将E重复的进行n次，则称这一串重复的

实验为n重伯努利实验。

nkn-k P(Xk)（2）Pk=1注意n满足条件（1）pk0，kpq，k0,1,2，k1—kn-k到（pq）的展开式中出现p的那一项，我们称随机变量X服从参数pq是二项式

nknk为n，p的二项分布。 （3）泊松分布

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设随机变量X所有可能取的值为0,1,2…，而取各个值的概率为

P(Xk)X~（）

ke-k!,k0,1,2,其中0是常数，则称X服从参数为的泊松分布记为

§3随机变量的分布函数

定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，函数F(x)P{Xx},-x 称为X的分布函数

分布函数F(x)P(Xx)，具有以下性质(1) F(x)是一个不减函数 （2）

0F(x)1，且F()0,F()1 （3）F(x0)F(x),即F(x)是右连续的

§4连续性随机变量及其概率密度

连续随机变量：如果对于随机变量X的分布函数F（x），存在非负可积函数f(x)，使对于任意函数x有F(x)x-f（t）dt,则称x 为连续性随机变量，其中函数f(x)称为X

的概率密度函数，简称概率密度

1 概率密度f(x)具有以下性质，满足（1）f(x)0, (2) （3）P(x1Xx2)-f(x)dx1；

x2x1（4）若f(x)在点x处连续，则有F，f(x)dx；(x)f(x)

2,三种重要的连续型随机变量 (1)均匀分布

1，axb若连续性随机变量X具有概率密度f(x)b-a，则成X在区间(a,b)上服从

0，其他均匀分布.记为X~U（a，b）

(2)指数分布

1-xe若连续性随机变量X的概率密度为f(x)0服从参数为的指数分布。

（3）正态分布 若连续型随

，x.0，其他 其中0为常数，则称X

机变量X的概率密度为

f(x)12e2(x）22，-x，其中，（0)为常数，则称X服从参数为，的正态分布或高斯分布，记为

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X~N（，2）特别，当0，1时称随机变量X服从标准正态分布

§5随机变量的函数的分布

定理 设随机变量X具有概率密度fx(x)，-x,又设函数g(x)处处可导且恒有

g,(x)0，则

Y=g(X)是连续型随机变量，其概率密度为

fXh(y)h,(y),y fY(y)0，其他第三章 随机变量

§1二维随机变量

定义 设E是一个随机试验，它的样本空间是S{e}. XX(e)和 YY(e)是定义在S上的随机变量，称XX(e)为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量

设（X，Y）是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数

F（x，y）P{(Xx)(Yy)}记成P{Xx，Yy}称为二维随机变量（X，Y）的

分布函数

如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。

为二维离散型随机变量（X，Y）的我们称P(Xxi，Yyj)pij，i，j1,2，分布律。

对于二维随机变量（X，Y）的分布函数F（x，y），如果存在非负可积函数f（x，y），使对于任意x，y有F（x，y）yx--则称（X，Y）是连续性的随机变量，f（u，v）dudv，函数f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X和Y的联合概率密

度。

§2边缘分布

二维随机变量（X，Y）作为一个整体，具有分布函数F（x，y）.而X和Y都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为F（，依次称为二维随机变量（X，Y）（Xx),FYy）关于X和关于Y的边缘分布函数。

pi•pijP{Xxi}，i1,2，

j1p•jpijP{Yyi}，j1,2，

i1分别称pi•p•j为（X，Y）关于X和关于Y的边缘分布律。

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fX(x)f(x,y）dy fY(y)f(x,y）dx分别称fX(x)，

fY(y)为X，Y关于X和关于Y的边缘概率密度。

§3条件分布

定义 设（X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若P{Yyj}0, 则称P{XxiYyj}P{Xxi,Yyj}P{Yyj}pijp•j,i1,2,为在Yyj条件下

随机变量X的条件分布律，同样P{YyjXXi}为在Xxi条件下随机变量X的条件分布律。

P{Xxi,Yyj}P{Xxi}pijpi•,j1,2,设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为f(x,y)，（X，Y）关于Y的边缘概率密度为fY(y)，若对于固定的y，fY(y)〉0，则称

f(x,y)为在Y=y的条件下X的条件

fY(y)概率密度，记为fXY(xy)=

f(x,y)

fY(y)§4相互的随机变量

定义 设F（x，y）及FX(x)，FY(y)分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分布函数.若对于所有x,y有P{Xx,Yy}P{Xx}P{Yy}，即

F{x,y}FX(x)FY(y)，则称随机变量X和Y是相互的。

对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互的充要条件是参数0

§5两个随机变量的函数的分布

1，Z=X+Y的分布

设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y).则Z=X+Y仍为连续性随机变量，其概率密度为fXY(z)f(zy,y）dy或fXY(z)f(x,zx）dx

又若X和Y相互，设（X，Y）关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则

fXY(z)fX(zy）f（fX(x）fY(zx)dx这两个公式称为Yy)dy 和fXY(z)fX,fY的卷积公式

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有限个相互的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 2，ZY的分布、ZXY的分布 XY，ZXY X设(X,Y)是二维连续型随机变量，它具有概率密度f(x,y)，则Z仍为连续性随机变量其概率密度分别为

fYX(z)xf(x,xz)dxfXY(z)1zf(x,)dx又若X和Y相互，设（X，Y）xx关于X，Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y)则可化为fYfX(x)fY(xz)dx X(z)fXY(z)1zfX(x)fY()dx xx{X，Y}及Nmin{X,Y}的分布 3Mmax设X，Y是两个相互的随机变量，它们的分布函数分别为FX(x),FY(y)由于

Mmax{X，Y}不大于z等价于X和Y都不大于z故有P{Mz}P{Xz,Yz}又{X，Y}的分布函数为Fmax(z)FX(z)FY(z) 由于X和Y相互，得到MmaxNmin{X,Y}的分布函数为Fmin(z)11FX(z)1FY(z)

第四章 随机变量的数字特征

§1．数学期望

定义 设离散型随机变量X的分布律为P{Xxk}pk，k=1,2，…若级数

xk1kpk绝对

收敛，则称级数

xk1kpk的和为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)xkpk

i 设连续型随机变量X的概率密度为f(x)，若积分

xf(x)dx绝对收敛，则称积分

xf(x)dx的值为随机变量X的数学期望，记为E(X)，即E(X)xf(x)dx

定理 设Y是随机变量X的函数Y=g(X)(g是连续函数)

（i）如果X是离散型随机变量，它的分布律为P{Xxk}pk，k=1,2，…若

pg(x）kk1k7文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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绝对收敛则有E(Y)E(g(X))pg(x）kk1k

（ii）如果X是连续型随机变量，它的分概率密度为f(x)，若有E(Y)E(g(X))g(x)f(x)dx绝对收敛则

g(x)f(x)dx

数学期望的几个重要性质 1设C是常数，则有E(C)C

2设X是随机变量，C是常数，则有E(CX)CE(X) 3设X,Y是两个随机变量，则有E(XY)E(X)E(Y)； 4设X，Y是相互的随机变量，则有E(XY)E(X)E(Y)

§2方差

定义 设X是一个随机变量，若E{XE(X)}存在，则称E{XE(X)}为X的方

22差，记为D（x）即D（x）=E{XE(X)}，在应用上还引入量D(x)，记为(x)，

2称为标准差或均方差。

方差的几个重要性质

1设C是常数，则有D(C)0,

2设X是随机变量，C是常数，则有D(CX)CD(X)，D(XC)D(X)

3设X,Y是两个随机变量，则有D(XY)D(X)D(Y)2E{(X-E(X))(Y-E(Y))}特别，若X,Y相互，则有D(XY)D(X)D(Y)

4D(X)0的充要条件是X以概率1取常数E(X)，即P{XE(X)}1

切比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E(X)，则对于任意正数，不等式

222P{X-}2成立

§3协方差及相关系数

定义 量E{[XE(X)][YE(Y)]}称为随机变量X与Y的协方差为Cov(X,Y)，即

Cov(X,Y)E[(XE(X))(YE(Y))]E(XY)E(X)E(Y)

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而XYCov(X，Y）D(X)D(Y)称为随机变量X和Y的相关系数

对于任意两个随机变量X 和Y，D(X协方差具有下述性质

Y)D(X)D(Y)2Cov(X,Y) _1Cov(X,Y)Cov(Y,X), Cov(aX,bY)abCov(X,Y) 2Cov(X1X2,Y)Cov(X1,Y)Cov(X2,Y) 定理 1 2 当

XY1

XY1的充要条件是，存在常数a,b使P{Yabx}1

XY0时，称X和Y不相关

附：几种常用的概率分布表 分布 两点分布 二项式分布 参数 分布律或概率密度 数学期望 方差 P{Xk)pk(1p)1k,k0,1， kkP(Xk)Cnp(1p)nk,k0,1,n， 泊松分布 几何分布 均匀分布 1f(x)ba0 ,axb，其他， 指数分布 正态分布 第五章 大数定律与中心极限定理

§1． 大数定律

弱大数定理（辛欣大数定理） 设X1，X2…是相互，服从统一分布的随机变量序列，并

1n具有数学期望E(Xk)(k1,2,).作前n个变量的算术平均Xk，则对于任意

nk19文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.

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1n0，有limP{Xk}1

nnk1定义 设Y1,Y2,Yn是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意正数，有

plimP{Yna}1，则称序列Y1,Y2,Yn依概率收敛于a，记为Yna n伯努利大数定理 设fA是n次重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意正数

〉0，有limP{nfnp}1或nlimP{nfnp}0 n§2中心极限定理

定理一（同分布的中心极限定理） 设随机变量X1,X2,,Xn相互，服从同一分布，且具有数学期望和方差E(Xi), D(Xk)2（k=1,2，…），则随机变量之和

Xi1nk标准化变量， YnXk1nkE(Xk)k1nnXi1nk n，

D(Xk)k1n定理二（李雅普诺夫定理） 设随机变量X1,X2,,Xn…相互，它们具有数学期望和方差E(Xk)k, D(Xk)k0,k1,2记Bn22k1n2k

定理三（棣莫弗-拉普拉斯定理）设随机变量n(n1,2,)服从参数为n,p(0p1）的二项分布，则对任意x，有limP{nnnpnp(1p)x}x12et2dt(x)

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