排列组合公式

排列组合公式

排列与组合都是计算“从n个元素中任取r个元素”的取法总数公式，其主要区别在于：如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式，否则用排列公式。而所谓讲究元素间的次序，可以从实际问题中得以辨别，例如两个人相互握手是不讲次序的；而两个人排队是讲次序的。

排列与组合公式的推导都基于如下两条计数原理：

（1）乘法原理（分步）

如果某件事需经k个步骤才能完成，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法……做第k步有mk种方法，那么完成这件事共有m1m2mk种方法。

譬如，甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游线路，那么从甲城经乙

城去丙城共有326条旅游线路。

（2）加法原理（分类）

如果某件事可由k类不同途径之一去完成，在第一类途径中有m1种完成方法，在第二类途径中有m2种完成方法……在第k类途径中有mk种完成方法，那么完成这件事共有

m1m2mk种方法。

譬如，由甲城到乙城去旅游有3类交通工具：汽车、火车和飞机。而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲到乙共有53210个班次供旅游者选择。

计算公式：

（1）排列

从n个不同元素中任取r（rn）个元素排成一列（考虑元素先后出现次序），称此为一个排列，此种排列的总数记为

Pnr。

按乘法原理，取出的第一个元素有n种取法，取出的第二个元素有n1种取法……取出的第r个元素有nr1种取法，所以有

n！(nr)！

Pnrn(n1)(nr1) （

Anr）

nAnrAnn！PnPnn！rn若，责称为全排列，记为，全排列 （ ）

例如：

432121

2A44(421)4A44321

例：把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法？

4A4答：4321

（2）重复排列

从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列，此种重复排列数共有n个。

r（3）组合

从n个不同元素中任取r（rn）个元素并成一组（不考虑元素间的先后次序），称此

nrCr为一个组合，此种组合的总数记为或n。

Pnrn(n1)(nr1)n！Cr！r！r！(nr)！

rn

0Cn1！1与PS. 规定0

例如：

2C44321

例：孙佳在自助餐厅就餐，这只超级能吃的猪准备挑选三种肉类中的一类，四种蔬菜中的两种，以及四种点心中的一种。若不考虑食物的挑选次序，则他可以有多少种不同的选择方法？

答：

121C3C4C472

（4）重复组合

从n个不同元素中每次取出一个，放回后再取下一个，如此连续取r次所得的组合称为

nr1r个。 重复组合，此种重复组合总数为

PS. 这里的r允许大于n。