材料力学解题指导(09机本)-晋芳伟

1、图示为某构件内危险点的应力状态〔图中应力单位为MPa〕，试分别求其第二、第四强度理论的相当应力r2、r4〔0.3〕。

解：由图可见，z60Mpa为主应力

之一。因此，可简化为二向应力状态，且有： x40Mpa,y20Mpa,xy30Mpa。 于是有：

2max40204020252.4 30{32.4MPa22 min 所以：

160MPa ， 252.4 MPa ， 332.4 MPa

 r2   1   (  2   3 )  54 Mpa

122288.8Mpar41223312

2、求如下图悬臂梁的内力方程，并作剪力图和弯距图，已知P=10KN,M=10KN·m。 解：分段考虑： 1、AC段：

〔1〕剪力方程为：Q(x)10KNm(0x1m)

〔2〕弯矩方程为：M(x)10(2x)(KNm)(0x1m) 2、CB段：

〔1〕剪力方程为：Q(x)0(1mx2m)

〔2〕弯矩方程为：M(x)10KNm(1x2m) 3、内力图如下：

Q(x) 10KN



M(x) x x 1

3、三根圆截面压杆，直径均为d=160mm，材料为A3钢〔E=206Gpa, s240Mpa,

p200Mpa，a304Mpa,b1.12Mpa〕，三杆两端均为铰支，长度分别为l1,l2,l3，且

l12l24l35m。试求各杆的临界压力。

解：1，三根杆的柔度分别为：

lll262.5331.251125 iii

2asE 2571100bp

可见：1杆适用欧拉公式，2杆适用经验公式，3杆适用强度公式。

2Ed2 Fcr1cr1A2536KN24

d2Fcr2cr2A(ab)4710KN

4

d24823KN Fcr3cr3As4

4、已知一受力构件自由外表上某一点处的两个面内主应变分别为：1=24010-6， 2=–16010-6，弹性模量E=210GPa，泊松比为 =0.3， 试求该点处的主应力及另一主应变。

所以，该点处为平面应力状态。

1E221121210109 (2400.3160)10644.3MPa210.3E212 122101096 (1600.3240)1020.3MPa210.3

144.3MPa;20;320.3MPa;2E310.366(22.344.3)1034.3102101092

7．一铸铁圆柱的直径为40mm，其一端固定，另一端受到315 N.m的力偶矩作用。假设该铸铁材料的许用拉应力为[t]30MPa，试根据强度理论对圆柱进行强度校核。

解：圆柱外表的切应力最大，即：

maxTmax/WtTmax/(d3/16)25Mpa

圆柱外表首先破坏，其上任一点的应力状态为纯剪切，见图3。

25MPa

图3

进行应力分析可得：

2max00002 2525MPa min22

 125MPa，20， 325MPa 由第一强度理论有： 125MPat

满足强度条件。

8．一根圆截面压杆两端固定，工作压力F=1.7KN，直径为d=8mm，材料为A3钢，其性能

240MPaa304MPab1.12Mpa参数为：E210GPa，s235MPa，p，，。杆的长

度为l260mm，规定的稳定安全系数是nst3.5。试校核压杆的稳定性。 解：〔1〕1d，i 24li65

2E92.9 而 1p  1，欧拉公式不成立

3

〔2〕 2as61.6 b 2

即有 21 ，宜采用经验公式  crab231.2MPa FcrcrAcr12d11.62KN 4 〔3〕 工作安全系数： nFcr11.626.8nst F1.7 压杆稳定性满足。

9、某传动轴设计要求转速n = 500 r / min，输入功率N1 = 500马力， 输出功率分别 N2 = 200马力及 N3 = 300马力，已知：G=80GPa ，[ ]=70M Pa，[ ]=1º/m ，试确定：①AB 段直径 d1和 BC 段直径 d2 ？②假设全轴选同一直径，应为多少？③主动轮与从动轮如何安排合理？

N1 A 500 N2 B 400 N3 C 解：

〔1〕计算外力偶矩

T (kNm) 4

Nm7024(Nm)n

〔4分〕

据扭转强度条件：， ， tmaxTmaxWt[]可得：

Wd163

d 180mm,d267.4mm由扭转刚度条件：

(TmaxGIp)(180/)[],Ipd/324 可得：

d184mm,d274.4mmd85mm,d275mm综上所述，可取： 1

(2) 当全轴取同一直径时，

dd185mm(3) 轴上扭矩的绝对值的越小越合理，所以，1轮和2轮应该换位。换位后,轴的扭矩如下图,此时,轴的最大直径为 75mm。

(kNm)

12．如下列图所示等截面圆轴，主动轮的输入功率PA=350kW，三个从动轮输出功率PB=100kW， PC=130kW， PD=120kW 。轴的转速n=600r/min，剪切弹性模量G80GPa，许用剪应力

60MPa，许用单位扭转角 1/m。试：画出该传动轴的扭矩图,并确定

5

该等截面圆轴的直径。〔不考虑转轴的自重和弯曲变形〕。

350kW100kW130kW120kW(a)BA1591.66CD(b)0+0T图（N m）-3979.17-1910

解：〔1〕计算外力偶矩：

mA9550mB9550PA3509550Nm5570.83Nmn600

PB1009550Nm1591.66kNmn600

P130mC9550C9550Nm2069.17Nmn600 P120mC9550C9550Nm1910Nmn600

〔2〕画扭矩图如图(b)所示。可见，内力最大的危险面在AC段内，最大扭矩值 │Tmax│∙m。 〔3〕确定轴的直径d

1〕按强度条件得：

maxTmaxT16Tmax3163979.17max60MPad13m69.mm63WP6010d116

2〕按刚度条件得

maxTmax180T180max41/md2GIPG3232180Tmax4321803979.17m73.40mm2G2801091d24

故，Dmax(d1,d2)73.40mm

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13、悬背梁之某处收到支撑，如图〔a〕所示。悬臂梁在集中载荷作用下的挠曲线方程分别为：Fx2Fx2w(3lx)，w(3bx)(0xb)。求支座B的反力，梁的抗弯刚度为EI。 6EI6EI MAFB 解：〔1〕此题为超静定问题。 建立相当系统如图〔b〕、〔c〕 所示。 〔2〕B处的挠度为0，即： yB(yB)F(yB)FBy0由叠加法得,见图〔d〕： (y F(2a)214Fa3 B)F6EI(9a2a)3EI 8F3Bya (yB)FBy 3EI 14Fa38F3Bya3EI3EI0 F7By4F

ACFAy 2a a(a)ABC(b)FABC(c)FByFABAFCAABBCC(d)(d)FBy7

M

14． 请校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。已知图中尺寸D32mm，d20mm和

h12mm，杆的许用切应力100MPa，许用挤压应力jy240MPa。

15．求图示超静定梁的支反力，并绘出剪力图和弯矩图。

解：去掉多余约束铰支座B，且B点挠度wB0，有补充方程

8

16、等截面工字形梁受力和尺寸如下图。已知梁材料的许用正应力120MPa,许用剪应

力60MPa，P=80kN，不考虑梁的自重。试：〔1〕校核的正应力强度。 〔2〕校核的剪应力强度。〔3〕采用第三强度理论校核梁B的右截面腹板上、腹板与翼板的交接处a点的强度。

120PB30a120(a)(b)V图P+700Az150.7P(c)M图-

解：〔1〕外力分析，荷载与轴线垂直，发生弯曲变形。截面水平对称轴为中性轴z轴。求截面的几何性质

Iz110.1200.1803(0.1200.015)0.12034.32105m41212

Sz,max1203075601530297000mm32.97104m3Sa1203075＝27000mm32.7104m330

〔2〕内力分析，内力图如图〔b〕、〔c〕所示。B支座的右截面的弯矩值最大，为正应力强度危险面；AB段横截面的剪力最大，为剪应力强度危险面；B支座的右截面的弯矩值、剪力都最大，为第三强度理论的危险面

MB0.78056(kNm)，VB80kN=VAB

(3) 应力分析，判危险点：

B支座的右截面的上下边缘点都是正应力强度的危险点；AB段中性层上各点是剪应力强度的危险点。B支座的右截面的a点既有正应力又有剪应力处于复杂应力状态。

〔4〕对梁进行正应力校核

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maxMmax56103(90103)ymax(Pa)116.67(MPa)120(MPa)Iz4.32105

故，正应力强度足够。

〔5〕对梁进行剪应力强度校核

maxVSz,maxIzb80103(2.97104)(Pa)36.67(MPa)60(MPa)5(4.3210)0.015

〔6〕按第三强度理论对梁B支座的右截面a点进行强度校核。

aMBIz56103ya0.0677.77106(Pa)77.77(MPa)54.321080103(2.7104)aPa33.33(MPa)Izb(4.32105)0.015VBSar324277.772433.332102.43(MPa)120MPa 故，梁的强度足够。

17．从某钢构件中取下的一个三向应力单元体状态如下图，应力单位为MPa。已知泊松比

0.3，许用应力100MPa，试求主应力及单元体内最大切应力，并按第一和第二强度理论校核其强度。

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第一强度理论〔最大拉应力理论〕1

第二强度理论〔最大拉应变理论〕123600.331.2351.2366MPa



18．已知P、h、b、l，求图示偏心拉杆的最大拉应力和最大压应力。

b h l y z P

A b h l my z P B mz y Pbmy2Pbmy2最大拉应力发生在横截面的A点； 最大压应力发生在横截面的B点

lmaxPhPbNMzMyP7P2211 2b2hbhAWzWybhbh66。



cmaxPhPbNMzMyP5P222b2hAWzWybhbhbh6620．图示杆件由两种材料在I-I斜面上用粘结剂粘结而成。已知杆件横截面面积

A2000mm2，根据粘结剂强度指标要求粘结面上拉应力不超过010MPa，剪应力不超过

假设要求粘结面上正应力与剪应力同时到达各自容许值，试给定粘结面的倾角a06MPa，

并确定其容许轴向拉伸载荷P。

21．不计自重的矩形悬臂梁尺寸、荷载如下图。两集中力大小都为P，其中一个与梁的轴线重合，另一个与轴线垂直；而均布荷载的合力也为大小P。梁采用铸铁材料制成，其许用拉

120MPa40MPa应力，许用压应力。不考虑横力弯曲的剪力对强度的影响，试

确定许可荷载P的大小。

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yBq=P/l=P/2yAPl=2mφ=30Pyo200200A单位：mm解：〔1〕外力分析判变形：梁由于受到两个平面的外力和轴向力作用，将生斜弯曲和轴向压缩变形。 〔2〕内力分析判危险面：固定端右截面弯矩的最大

11PMz,maxPylql22Pcos30223PP2.732P222My,maxPzl2Psin30P

〔3〕应力分析判危险点：固定端右截面的最上最后角B点具有最大拉应力，以及最前最

NP下角A点为危险点具有最大压应力。 〔4〕强度计算，确定截面的尺寸。

NMz,maxMy,maxP2.732PPσσBmax220.20.30.30.2AWW0.20.3zy6616.67P910.67P500Pσ40106NMz,maxMy,maxσmaxσAAWzWy616.67P910.67P500Pσ12010P28.69kNP84.07kN

故，梁的许可荷载P的大小：P28.69kN

23、图示木梁受以可移动荷载F = 40 kN10MPa,3MPa。木梁的截面为矩形,其高宽比

h3b2。试选择梁的截面尺寸。

bFA1.0myBzh 13

--Pzφ=30o( )( ) )(+ )(+zoPx300--------z ) )((++( )( )B++++--yz

由剪应力强度计算

Fsmax=40kN

max23FSmax

2bh b=, h=173mm;

由正应力强度计算

Mmax=10kN.m

maxMmax Wz b=, h=208mm

24、如下图为一T字形铸铁梁，已知受弯时抗拉许用应力t30MPa，抗压c60MPa。试校核此梁是否安全。图示截面尺寸长度单位为mm。

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